初一數學上下冊知識點總結與重點難點、公式總結

第一冊

第一章有理數

代數初步知識

1.代數式：用運算符號“+—X+……”連接數及表示數的字母的式子稱

為代數式.注意：用字母表示數有一定的限制，首先字母所取得數應保證它所在的式

子有意義，其次字母所取得數還應使實際生活或生產有意義；單獨一個數或一個字

母也是代數式.

2.列代數式的幾個注意事項：

(1)數與字母相乘，或字母與字母相乘通常使用“?”乘，或省略不寫；

(2)數與數相乘，仍應使用“義”乘，不用”乘，也不能省略乘號；

(3)數與字母相乘時，一般在結果中把數寫在字母前面，如aX5應寫成5a；

(4)帶分數與字母相乘時，要把帶分數改成假分數形式，如ax應寫成a；

(5)在代數式中出現除法運算時，一般用分數線將被除式和除式聯(lián)系，如3+a寫

成的形式；

(6)a與b的差寫作a-b,要注意字母順序；若只說兩數的差，當分別設兩數為a、

b時，則應分類，寫做a-b和b-a.

3.幾個重要的代數式：(m、n表示整數)

(1)a與b的平方差是：a2-b2；a與b差的平方是：(a-b)2；

(2)若a、b、c是正整數，則兩位整數是：10a+b，則三位整數是：100a+10b+c；

(3)若m、n是整數，則被5除商m余n的數是：5m+n:偶數是：2n,奇數

是：2n+1；三個連續(xù)整數是：n-1、n、n+1；

(4)若b>0,則正數是:a2+b,負數是：-a2-b,非負數是：a2,非正數是：

-a2.

有理數

1.1正數和負數

以前學過的0以外的數前面加上負號“一”的書叫做負數。

以前學過的0以外的數叫做正數。

數0既不是正數也不是負數，0是正數與負數的分界。

在同一個問題中，分別用正數和負數表示的量具有相反的意義

1.2有理數

121有理數

正整數、0、負整數統(tǒng)稱整數，正分數和負分數統(tǒng)稱分數。

整數和分數統(tǒng)稱有理數。

1.2.2數軸

規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

數軸的作用：所有的有理數都可以用數軸上的點來表達。

注意事項：⑴數軸的原點、正方向、單位長度三要素，缺一不可。

⑵同一根數軸，單位長度不能改變。

一般地，設是一個正數，則數軸上表示a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長

度；表示數一a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。

1.2.3相反數

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

數軸上表示相反數的兩個點關于原點對稱。

在任意一個數前面添上“一”號，新的數就表示原數的相反數。

1.2.4絕對值

?般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值。

一個正數的絕對值是它的本身；一個負數的絕對值是它的相反數；。的絕對值是0。

在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數小于右邊的

數。

比較有理數的大小：⑴正數大于0,0大于負數，正數大于負數。

⑵兩個負數，絕對值大的反而小。

1.3有理數的加減法

1.3.1有理數的加法

有理數的加法法則：

⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小

的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€數相加得0。

⑶一個數同0相加，仍得這個數。

兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

加法交換律：a+b=b+a

三個數相加，先把前面兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

1.3.2有理數的減法

有理數的減法可以轉化為加法來進行。

有理數減法法則：

減去一個數，等于加這個數的相反數。

a—b=a+(—b)

1.4有理數的乘除法

1.4.1有理數的乘法

有理數乘法法則：

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

任何數同0相乘，都得0。

乘積是1的兩個數互為倒數。

幾個不是。的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負

數。

兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。

ab=ba

三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。

(ab)c=a(be)

一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。

a(b+c)=ab+ac

數字與字母相乘的書寫規(guī)范:

⑴數字與字母相乘，乘號要省略，或用“”

⑵數字與字母相乘，當系數是1或一1時，1要省略不寫。

⑶帶分數與字母相乘，帶分數應當化成假分數。

用字母x表示任意一個有理數，2與x的乘積記為2x,3與x的乘積記為3x,則式子2x+3x

是2x與3x的和，2x與3x叫做這個式子的項，2和3分別是著兩項的系數。

一般地，合并含有相同字母因數的式子時，只需將它們的系數合并，所得結果作為系數，再

乘字母因數，即

ax+bx=(a+b)x

上式中x是字母因數，a與b分別是ax與bx這兩項的系數。

去括號法則：

括號前是“+”，把括號和括號前的“+”去掉，括號里各項都不改變符號。

括號前是“一”，把括號和括號前的“一”去掉，括號里各項都改變符號。

括號外的因數是正數，去括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相同；括號

外的因數是負數，去括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。

1.4.2有理數的除法

有理數除法法則：

除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。

a+b=a?(b，0)

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何?個不等于0的數，都得0。

因為有理數的除法可以化為乘法，所以可以利用乘法的運算性質簡化運算。乘除混合運算往

往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

1.5有理數的乘方

1.5.1乘方

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做幕。在an中，a叫做底數，n叫

做指數，當an看作a的n次方的結果時;也可以讀作a的n次幕。

負數的奇次第是負數，負數的偶次第是正數。

正數的任何次第都是正數，0的任何正整數次事都是0。

有理數混合運算的運算順序：

⑴先乘方，再乘除，最后加減；

⑵同級運算，從左到右進行；

⑶如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行

1.5.2科學記數法

把一個大于10的數表示成ax1On的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數）,

使用的是科學記數法。

用科學記數法表示一個n位整數，其中10的指數是n—1。

1.5.3近似數和有效數字

接近實際數目，但與實際數目還有差別的數叫做近似數。

精確度：一個近似數四舍五入到哪一位，就說精確到哪一位。

從一個數的左邊第?個非0數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數的有效數字。

對于用科學記數法表示的數ax10n,規(guī)定它的有效數字就是a中的有效數字。

第二章一元一次方程

2.1從算式到方程

2.1.1一元一次方程

含有未知數的等式叫做方程。

只含有一個未知數（元），未知數的指數都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。

分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程，是數學解決實際問題的一種方

法。

解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解。

2.1.2等式的性質

等式的性質1等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。

等式的性質2等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。

2.2從古老的代數書說起——一元一次方程的討論⑴

把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

2.3從“買布問題”說起——一元一次方程的討論⑵

方程中有帶括號的式子時，去括號的方法與有理數運算中括號類似。

解方程就是要求出其中的未知數（例如X）,通過去分母、去括號、移項、合并、系數化為1

等步驟，就可以使一元一次方程逐步向著x=a的形式轉化，這個過程主要依據等式的性質

和運算律等。

去分母：

⑴具體做法：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數

⑵依據：等式性質2

⑶注意事項：①分子打上括號

②不含分母的項也要乘

2.4再探實際問題與一元一次方程

第三章圖形認識初步

3.1多姿多彩的圖形

現實生活中的物體我們只管它的形狀、大小、位置而得到的圖形，叫做幾何圖形。

3.1.1立體圖形與平面圖形

長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等都是立體圖形。此外棱柱、棱錐也是常見的立體圖形。

長方形、正方形、三角形、圓等都是平面圖形。

許多立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們適當地剪開，就可以展開成平面圖形。

3.1.2點、線、面、體

幾何體也簡稱體。長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體。

包圍著體的是面。面有平的面和曲的面兩種。

面和面相交的地方形成線。

線和線相交的地方是點。

幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素。

3.2直線、射線、線段

經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

兩點確定條直線。

點C線段AB分成相等的兩條線段AM與MB,點M叫做線段AB的中點。類似的還有線段

的三等分點、四等分點等。

直線桑一點和它一旁的部分叫做射線。

兩點的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點之間，線段最短。

3.3角的度量

角也是一種基本的幾何圖形。

度、分、秒是常用的角的度量單位。

把一個周角360等分，每一份就是一度的角，記作1；把1度的角60等分，每份叫做1分的角，

記作1；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，記作1。

3.4角的比較與運算

3.4.1角的比較

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。類似的，

還有叫的三等分線。

3.4.2余角和補角

如果兩個角的和等于90（直角），就說這兩個角互為余角。

如果兩個角的和等于180（平角），就說這兩個角互為補角。

等角的補角相等。

等角的余角相等。

本章知識結構圖

第四章數據的收集與整理

收集、整理、描述和分析數據是數據處理的基本過程。

4.1喜愛哪種動物的同學最多——全面調查舉例

用劃記法記錄數據，“正''字的每一劃（筆畫）代表一個數據。

考察全體對象的調查屬于全面調查。

4.2調查中小學生的視力情況一抽樣調查舉例

抽樣調查是從總體中抽取樣本進行調查，根據樣本來估計總體的一種調查。

統(tǒng)計調查是收集數據常用的方法，一般有全面調查和抽樣調查兩種，實際中常常采用抽樣調

查的方式。調查時，可用不同的方法獲得數據。除問卷調查、訪問調查等外，查閱文獻資料

和實驗也是獲得數據的有效方法。

利用表格整理數據，可以幫助我們找到數據的分布規(guī)律。利用統(tǒng)計圖表示經過整理的數據，

能更直觀地反映數據規(guī)律。

4.3課題學習調查“你怎樣處理廢電池？”

調查活動主要包括以下五項步驟：

一、設計調查問卷

⑴設計調查問卷的步驟

①確定調查目的；

②選擇調查對象：

③設計調查問題

⑵設計調查問卷時要注意：

①提問不能涉及提問者的個人觀點；

②不要提問人們不愿意回答的問題；

③提供的選擇答案要盡可能全面；

④問題應簡明；

⑤問卷應簡短。

二、實施調查

將調查問卷復制足夠的份數，發(fā)給被調查對象。

實施調查時要注意：

⑴向被調查者講明哪些人是被調查的對象，以及他為什么成為被調查者;

⑵告訴被調查者你收集數據的目的。

三、處理數據

根據收回的調查問卷，整理、描述和分析收集到的數據。

四、交流

根據調查結果，討論你們小組有哪些發(fā)現和建議？

五、寫一份簡單的調查報告

第二冊

第五章相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

有一個公共的頂點，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做鄰補角。

兩條直線相交有4對鄰補角。

有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。

兩條直線相交，有2對對頂角。

對頂角相等。

5.1.2

兩條直線相交，所成的四個角中有個角是直角，那么這兩條直線互相垂直。其中一條直線

叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

注意：⑴垂線是一條直線。

⑵具有垂直關系的兩條直線所成的4個角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情況。

（4）垂直的記法：alb,AB±CD?

畫已知直線的垂線有無數條。

過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最短。

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

5.2平行線

5.2.1平行線

在同一平面內，兩條直線沒有交點，則這兩條直線互相平行，記作：a〃b。

在同一平面內兩條直線的關系只有兩種：相交或平行。

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

5.2.2直線平行的條件

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線的同一方，截線的同一旁，這樣的兩個角叫做同

位角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的兩側，這樣的兩個角叫做內錯角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的同一旁，這樣的兩個角叫做同旁內

角。

判定兩條直線平行的方法：

方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：

同位角相等，兩直線平行。

方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：

內錯角相等，兩直線平行。

方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。簡單說成:

同旁內角互補，兩直線平行。

5.3平行線的性質

平行線具有性質:

性質1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。

性質2兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內錯角相等。

性質3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內角

互補。

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做著兩條平行線的距離。

判斷一件事情的語句叫做命題。

5.4平移

⑴把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到?個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完

全相同。

⑵新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點，連接各

組對應點的線段平行且相等。

圖形的這種移動，叫做平移變換，簡稱平移。

第六章平面直角坐標系

6.1平面直角坐標系

6.1.1有序數對

有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對。

6.1.2平面直角坐標系

平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。水平的數軸稱為x軸或橫

軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸取2向上方向為正方向；兩坐標軸

的交點為平面直角坐標系的原點。

平面上的任意一點都可以用一個有序數對來表示。

建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分為了I、II、III、IV四個部分，分

別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐標軸上的點不屬于任何象限。

6.2坐標方法的簡單應用

621用坐標表示地理位置

利用平面直角坐標系繪制區(qū)域內一些地點分布情況平面圖的過程如下:

⑴建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定X軸、y軸的正方向；

⑵根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度；

⑶在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱。

622用坐標表示平移

在平面直角坐標系中，將點（x,y）向右（或左）平移a個單位長度，可以得到對應點（x

+a,y）（或（x—a,y））；將點（x,y）向上（或下）平移b個單位長度，可以得到對應

點（x,y+b）（或（x,y—b））。

在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加（或減去）一個正數a,相應的

新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或

減去）一個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度。

第七章三角形

7.1與三角形有關的線段

7.1.1三角形的邊

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。相鄰兩邊組成的

角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。

頂點是A、B、C的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”。

三角形兩邊的和大于第三邊。

7.1.2三角形的高、中線和角平分線

7.1.3三角形的穩(wěn)定性

三角形具有穩(wěn)定性。

7.2與三角形有關的角

7.2.1三角形的內角

三角形的內角和等于180。

7.2.2三角形的外角

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。

7.3多邊形及其內角和

7.3.1多邊形

在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

n邊形的對角線公式：

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

7.3.2多邊形的內角和

n邊形的內角和公式：180(n-2)

多邊形的外角和等于360。

7.4課題學習鑲嵌

第八章二元一次方程組

8.1二元一次方程組

含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1的方程叫做二元一次方程

把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

8.2消元

由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數用含有另一未知數的式子表示出來，再代入

另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱

代入法。

兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減,

就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

8.3再探實際問題與二元一次方程組

第九章不等式與不等式組

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

用,或號表示大小關系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式解的集合，簡稱解集。

含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式。

9.1.2不等式的性質

不等式有以下性質：

不等式的性質1不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

不等式的性質2不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

不等式的性質3不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

9.2實際問題與一元一次不等式

解一元一次方程，要根據等式的性質，將方程逐步化為x=a的形式；而解一元一次不等式,

則要根據不等式的性質，將不等式逐步化為x<a（或x>a）的形式。

9.3一元一次不等式組

把兩個不等式合起來，就組成了一個一元??次不等式組。

兒個不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式的解集。解不等式就是求它的解

集?

對于具有多種不等關系的問題，可通過不等式組解決。解一元一次不等式組時。一般先求出

其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解

集?

一元一次方程

1.等式與等量：用“=”號連接而成的式子叫等式.注意：”等量就能代入”！

2.等式的性質：

等式性質1：等式兩邊都加上（或減去）同??個數或同一個整式，所得結果仍是等式；

等式性質2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的數，所得結果仍是等式.

3.方程：含未知數的等式，叫方程.

4.方程的解：使等式左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解；注意：”方程的解就能代入”!

5.移項：改變符號后，把方程的項從一邊移到另一邊叫移項.移項的依據是等式性質1.

6.一元一次方程：只含有一個未知數，并且未知數的次數是1,并且含未知數項的系數不

是零的整式方程是一元一次方程.

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