理論力學課件ch6i力系的平衡

§6力系的平衡（1）力系的平衡條件。（2）求剛體系統(tǒng)平衡時的約束力或平衡時的位置。（3）求桁架(二力直桿系統(tǒng)）的內(nèi)力。（4）帶有摩擦的平衡問題。本章內(nèi)容是靜力學部分的核心，包括：關于“平衡”的概念（1）物體或物體系統(tǒng)的平衡——相對于慣性參考空間靜止或勻速直線平移。（2）平衡力系——即零力系，力系的主矢和主矩均為零?！铩?注意

區(qū)分以下幾個概念：力系的平衡，單個剛體的平衡，剛體系的平衡，變形體的平衡（1）單個剛體的平衡力系的平衡力系的平衡單個剛體的平衡（2）剛體系的平衡力系的平衡力系的平衡剛體系的平衡（3）變形體的平衡剛化后仍平衡力系平衡變形體的平衡剛化后仍平衡力系平衡（4）僅在靜力學中：單個剛體的平衡力系的平衡2§6.1力系的平衡條件及平衡方程1.空間力系的平衡方程平衡力系所要滿足的條件稱為力系的平衡條件；任意空間力系平衡的充要條件是：力系的主矢和對任一確定點O的主矩全為零。即3在O點建立Oxyz直角坐標系，以上兩個矢量方程可寫為6個獨立的代數(shù)方程：ODixyzl1l3l2注意（1）解題時，矩心O可任選；力的投影軸、取矩軸也可斜交；力的投影軸、取矩軸也可不一致，但要保證6個方程是獨立的。（2）巧妙選擇投影軸、取矩軸，可使每個方程只含一個未知量，避免解聯(lián)立方程組。4（3）任意空間力系，獨立的力的投影方程只有3個，但矩方程最多可有6個。特殊的空間力系及獨立平衡方程個數(shù)：（1）空間匯交力系——3個獨立方程∵各力交于O點平衡方程僅有即（2）空間力偶系——3個獨立方程OO平衡方程僅有即5（3）空間平行力系

xyz設各力平行于z軸，則有平衡方程僅有—3個獨立方程（4）其他例如：空間各力與某軸l相交l——僅有5個獨立的平衡方程各力對l軸之矩恒為零O62.平面任意力系的平衡方程（1）在平面內(nèi)任取點A：xyO各力均位于Oxy平面內(nèi)，故六個平衡方程中A稱它為平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只有一個力矩式，故常稱一矩式。一矩式故平面任意力系的平衡方程為：平面任意力系的平衡方程還有以下三種常用形式：7（2）在平面上任取A,B兩點及不垂直于AB連線的x軸：由力系平衡因此，對任一軸x，且同理必要性得證。二矩式且x軸與不垂直證明：已知平面力系平衡，證明二矩式成立。(a)必要性：O8(b)充分性：二矩式成立，則平面力系平衡。由將A、B點視為簡化中心，則力系不可能簡化為力偶，而只能是通過A、B兩點的合力。又由于x軸與不垂直，若不為零，則其在x軸的投影必不為零；這與矛盾。所以充分性得證。

9(3)在平面上任取三點A，B，C不共線:上述三組方程，每組中獨立的平衡方程的個數(shù)均為3，若找到第四個方程，則必是前3個方程的線性組合，不是獨立的。因此，對于單個剛體，在平面力系作用下的平衡問題，只能寫出3個獨立的平衡方程，求解3個未知量；當未知量超過3個時，問題無法求解。例如：三矩式103、特殊平面力系的平衡方程（1）平面匯交力系：設匯交點為A或(A、B、C三點不共線)或（AB連線不垂直于x軸）（2）平面力偶系：（各力偶Mi作用面相互平行即可）兩個獨立方程！一個獨立方程！AxyBC11（3）平面平行力系：設各力與y軸平行或其中與各不平行。兩個獨立方程！AB12例題1§6力系的平衡例題AB求A、B處的約束力。已知支架受力如圖，其中，13解：取梁AB為分離體，畫受力圖。由例題1§6力系的平衡例題ABABF列出該梁的平衡方程。（以逆時針為正）選矩心為A點：(方向如圖)（平面任意力系3個獨立方程）14例題1§6力系的平衡例題若取矩心為B點，則有：該式不再獨立，可作為校核。ABF(→)(↑)由由15求一端固支、一端自由的梁(懸臂梁)固支端的約束力。解：取AB為分離體，畫出受力圖。由由由例題2§6力系的平衡例題均布載荷（同向平行力系）合力為(↑)()AB16例題3§6力系的平衡例題起重機的配重問題已知軌距b＝3m，機重G＝500kN，e＝1.5m,最大起重量P＝250kN，l=10m,a=6m。求起重機滿載與空載時均不翻倒的配重Q值。17解:(1)滿載情況P=250kN;取起重機為分離體畫受力圖，滿載不翻倒限制條件則=361kN例題3§6力系的平衡例題平面平行力系,2個獨立方程，以B點為矩心：18(2)空載情況：P=0空載不翻倒限制條件=375kN361kN375kN∴例題3§6力系的平衡例題以A點為矩心：19例題4§6力系的平衡例題均質(zhì)長方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球鉸鏈固定，角B處嵌入固定的光滑水平滑槽內(nèi)，滑槽約束了角B在x,z方向的運動，EC為鋼索，將板支持在水平位置上，試求板在A，B處的約束力及鋼索的拉力。ACDxyzEB4m2m2m20例題4§6力系的平衡例題ACDxyzEB4m2m2m解：1.以板為對象畫出受力圖，ACDxyzEB4m2m2mP21例題4§6力系的平衡例題2.列出板的平衡方程解法一空間任意力系，6個獨立方程。ACDxyzEB4m2m2mP(拉力)22例題4§6力系的平衡例題ACDxyzEB4m2m2mP23ACDxyzEB4m2m2mP例題4§6力系的平衡例題解法二分別取AC，BC，AB，l1，l2，z為矩軸：l1l2(拉力)24例題4§6力系的平衡例題ACDxyzEB4m2m2mPl1l225例題5§6力系的平衡例題ABCDEq圖示支架結(jié)構，AB=AC=BC=2l，D，E分別為AB，BC的中點，桿DE上作用有三角形分布載荷，B點作用有鉛垂集中力，P=ql，試求DE桿在D，E兩處的約束力。26例題5§6力系的平衡例題ABCDEqq解：剛體系統(tǒng)的平衡問題。1.受力分析：根據(jù)所求，以桿DE為研究對象取分離體：4個未知力，3個方程；以BC桿為研究對象取分離體：DEBCE增加3個未知力、3個方程；27例題5§6力系的平衡例題ABCDEqql/2以整體為研究對象取分離體：增加2個未知力、3個方程；共9個未知力，9個方程。2.以整體為研究對象，取A點為矩心：(↑)DEBCEq28例題5§6力系的平衡例題3.以DE桿為研究對象：(↑)DEql/2由（s）式（←）（負表示←）(↑)(→)29例題5§6力系的平衡例題4.以BC桿為研究對象：ABCDEql/2BCE(s)30例題6§6力系的平衡例題aaaaaABCDEGHM支架結(jié)構受力如圖，已知：M=Fa/2,求鉸支座A，B處的約束力。31a例題6§6力系的平衡例題MaaaaaABCDEGHM解：1.受力分析以整體為研究對象，A，B處共4個未知力，3個獨立方程；32例題6§6力系的平衡例題aaaaaABCDEGHM以ED桿為研究對象，三力匯交，增加1個未知力、2個獨立方程；取出DC桿，為二力桿，增加2個未知力、1個獨立方程；ED33例題6§6力系的平衡例題aaaaaABCDEGHM取出EHB桿為研究對象，增加2個未知力、3個獨立方程；EDEHB34例題6§6力系的平衡例題ED4.以ED為對象,列平衡方程:(↗)5.以EHB為對象,列平衡方程:(負號表示←)EHB35例題6§6力系的平衡例題6.以整體為對象,列平衡方程(1)(2)(3)MHEABCD36(負號表示↓)(↑)(→)例題7§6力系的平衡例題已知F=2qa，M=3qa2,不計摩擦和自重，試求固定端B處的約束力。3a2aaaABCDEM3aGq例題7§6力系的平衡例題ABCDEMGq解：整體為對象，受力分析5個未知力CG為對象，受力分析AC為對象:例題7§6力系的平衡例題BEMBD為對象:剛體系統(tǒng)平衡問題的分析步驟1.求解思路（1）根據(jù)所求的未知約束力，先對所涉及的剛體進行受力分析.（2）找出二力構件，減少未知量。（3）先整體，再局部，從未知量最少的部件開始。（注意各方程的獨立性）。40（4）可通過求出部分未知力為突破口解題。2.關于獨立的平衡方程個數(shù)注意：剛體系統(tǒng)中如果每個剛體的平衡方程全部成立，則整體的平衡方程為恒等式，不再提供獨立的方程。3.注意利用矩形式的平衡方程，可通過選擇適當?shù)木匦氖沟梅匠讨斜M量少出現(xiàn)未知力。求解所用到的全部方程必須是相互獨立的。4142例如圖所示平面結(jié)構，AB為鉛垂方向，其上作用一逆時針轉(zhuǎn)向的力偶，其矩為且CD上作用一個最大的集度為q的分布載荷，忽略所有摩擦以及各桿自重，試求固定端A、鉸支座D提供的約束力?！?.2桁架內(nèi)力的計算6.2.1桁架的特點及內(nèi)力

1.桁架的特點（1）全部為直桿，各直桿兩端鉸接組成結(jié)構，構成平面桁架或空間桁架。（2）各桿不計自重，且全部載荷（主動力）均作用在節(jié)點處。（3）各桿均為二力桿（拉桿或壓桿）432.桁架的內(nèi)力研究桁架結(jié)構中的任意二力桿，如AB，有:假想在O處將AB切斷，則BO對AO的作用為一分布力系，該力系可簡化為一個力同理，OB段受AO的作用力為根據(jù)AO或OB的平衡方程有：44通常約定二力桿的內(nèi)力未知時按受拉假設：當求得二力桿的內(nèi)力為正時，即為受拉，當求得二力桿的內(nèi)力為負時，即為受壓。

或稱為二力桿的內(nèi)力?？捎么鷶?shù)值FO表示。二力桿內(nèi)力的符號規(guī)定：二力桿的內(nèi)力以拉力為正，壓力為負。ABAB桿內(nèi)力FAB為正CDCD桿內(nèi)力FCD為負453.桁架內(nèi)力分析步驟（1）判斷桁架是否為靜定結(jié)構(2)先從桁架中找出零桿和等軸力桿零桿——內(nèi)力為零的二力桿等軸力桿——內(nèi)力相同的二力桿（3）利用節(jié)點法或截面法求解桿的內(nèi)力作為一個整體的桁架中，桿數(shù)為S，節(jié)點數(shù)為n，靜定桁架：S=2n-3靜不定(超靜定)桁架：S>2n-3桁架若可以作為一個整體，外界的支承條件是否為靜定？★桁架作為一個整體本身是否為靜定桁架？★46可判斷出零桿和等軸力桿的情況：無主動力的三桿節(jié)點，其中二桿共線0桿等軸力桿無主動力的不共線二桿節(jié)點0桿0桿不共線的二桿節(jié)點，主動力沿其中一桿0桿無主動力，共線的二桿節(jié)點或兩兩共線的四桿節(jié)點等軸力桿兩對等軸力桿47還可利用對稱性：等軸力桿求桁架的內(nèi)力通常有兩種方法：節(jié)點法和截面法。注意：桁架中的零桿，不承擔載荷，只起到維持結(jié)構幾何穩(wěn)定性的作用。故雖列平衡方程時零桿不起作用，但不可將零桿去掉。486.2.2節(jié)點法因各桿間通過銷釘聯(lián)接，取銷釘為研究對象，外力及各桿對銷釘?shù)淖饔昧閰R交力系。以節(jié)點D為例：當各桿的內(nèi)力設為受拉時，各桿對銷釘?shù)淖饔昧Φ姆较蛴晒?jié)點指向外，沿桿的方向作用。從桁架中取出銷釘D為分離體，畫出受力圖。49每個節(jié)點可建立2個平衡方程，對有n個節(jié)點、S根桿的靜定桁架，共有2n個獨立方程，此外，對桁架整體，共有S+3個未知力(S個未知內(nèi)力、3個對桁架整體的未知外部約束力），各桿的內(nèi)力可根據(jù)各節(jié)點的平衡方程一步步求得。節(jié)點法的求解步驟：（1）先列桁架整體的平衡方程，求出支座約束力。（2）依次對各節(jié)點取分離體列平衡方程。（3）首先取只有二桿的節(jié)點，再依次取只有二個

未知力的節(jié)點。（4）各桿內(nèi)力統(tǒng)一設為拉力（即各節(jié)點處力矢從節(jié)點向外）。50例題8§6力系的平衡例題判斷結(jié)構中的零桿和等軸力桿。ABCO51例題8§6力系的平衡例題解：此桁架整體為靜定結(jié)構（簡支），桁架本身S=21，n=12,故2n-3=24-3=21=S，為靜定桁架。對整體列平衡方程：ABCO①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩111220131415161718192152ABCO例題8§6力系的平衡例題000000判斷零桿和等軸力桿：①=②=⑤=⑥③=④，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩1112201314151617181921零桿：⑦，⑧，⑨，13，14，15等軸力桿：16=17=18=19=20=21，⑩=1253例題9§6力系的平衡例題ABCDEG桁架結(jié)構受力如圖，桿AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a，求各桿的內(nèi)力。54例題9§6力系的平衡例題解：ABCDEG結(jié)構整體對外約束靜定；桁架S=9,n=6,2n-3=12-3=9=S,為靜定桁架；1.對整體取分離體(←)AB(↑)(↓)ED桿為零桿，AE