教學設計1：導數(shù)在實際生活中的應用-“黃岡杯”一等獎

《導數(shù)在實際生活中的應用》教學設計教學目標：通過生活中優(yōu)化問題的學習，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用，促進學生全面認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值；通過實際問題的研究，促進學生分析問題、解決問題以及數(shù)學建模能力的提高．教學重點：如何建立實際問題的目標函數(shù)．教學難點：如何建立實際問題的目標函數(shù)．教學過程：一、問題情境問題1把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長寬各為多少時面積最大?問題2把長為100cm的鐵絲分成兩段，各圍成正方形，怎樣分法，能使兩個正方形面積之和最小？問題3做一個容積為256L的方底無蓋水箱，它的高為多少時材料最?。慷?、新課引入導數(shù)在實際生活中有著廣泛的應用，利用導數(shù)求最值的方法,可以求出實際生活中的某些最值問題．1．幾何方面的應用（面積和體積等的最值）．2．物理方面的應用（功和功率等最值）．3．經(jīng)濟學方面的應用（利潤方面最值）．三、知識應用例1在邊長為6060606060說明1解應用題一般有四個要點步驟：設－列－解－答．說明2用導數(shù)法求函數(shù)的最值，與求函數(shù)極值方法類似，加一步與幾個極值及端點值比較即可．例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最省？變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最?。空f明1這種在定義域內(nèi)僅有一個極值的函數(shù)稱單峰函數(shù)．說明2用導數(shù)法求單峰函數(shù)最值，可以對一般的求法加以簡化，其步驟為：S1列：列出函數(shù)關系式；S2求：求函數(shù)的導數(shù)；S3述：說明函數(shù)在定義域內(nèi)僅有一個極大（?。┲?，從而斷定為函數(shù)的最大（?。┲?，必要時作答．例3在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為，電動勢為．外電阻為多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？說明求最值要注意驗證等號成立的條件，也就是說取得這樣的值時對應的自變量必須有解．例4強度分別為的兩個光源，它們間的距離為，試問：在連接這兩個光源的線段上，何處照度最??？試就時回答上述問題．（照度與光的強度成正比，與光源的距離的平方成反比）例5在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為；出售單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為；稱為利潤函數(shù)，記為．（1）設，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際成本最低？（2）設，產(chǎn)品的單價，怎樣的定價可使利潤最大？變式已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為C＝100＋4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式，再用導數(shù)求最大利潤．四、課堂練習1．將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分成______和___．2．在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽闀r，它的面積最大．3．有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形邊長應為多少？4．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l＝AB＋BC＋CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b．五、回顧反思（1）解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實際意義．（2）根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較．（3）相當多有關最值的實際問題用導數(shù)方法解決較簡單．六、課外作業(yè)1．課本第96頁第1，2，3，4題．2．補充練習：為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）