教學(xué)設(shè)計(jì)：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用全國(guó)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)

3．1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用授課類型：新授課一、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)對(duì)象分析學(xué)生將在必修課程學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)典型案例的討論，了解和使用一些常用的統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)與技能通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解回歸分析的基本思想，會(huì)對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，明確建立回歸模型的基本步驟，并對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行回歸分析，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。2、過(guò)程與方法本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題去理解回歸分析的必要性，明確回歸分析的基本思想，從散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布上我們發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在明顯的不足，從中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新思路—進(jìn)行回歸分析，進(jìn)而介紹殘差分析的方法和利用R的平方來(lái)表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，從中選擇較為合理的回歸方程，最后是建立回歸模型基本步驟。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先讓顯示了解回歸分析的必要性和回歸分析的基本思想，明確回歸分析的基本方法和基本步驟，培養(yǎng)我們利用整體的觀點(diǎn)和互相聯(lián)系的觀點(diǎn)，來(lái)分析問(wèn)題，進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心。加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)兩個(gè)變量的相關(guān)系。教學(xué)中適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作與交流的機(jī)會(huì)，多從實(shí)際生活中找出例子，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時(shí)。體會(huì)與他人合作的重要性，理解處理問(wèn)題的方法與結(jié)論的聯(lián)系，形成實(shí)事求是的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握回歸分析的步驟；各相關(guān)指數(shù)、建立回歸模型的步驟；通過(guò)探究使學(xué)生體會(huì)有些非線性模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中尋找更好的模型的方法。教學(xué)難點(diǎn)：求回歸系數(shù)a,b；相關(guān)指數(shù)的計(jì)算、殘差分析；了解常用函數(shù)的圖象特點(diǎn)，選擇不同的模型建模，并通過(guò)比較相關(guān)指數(shù)對(duì)不同的模型進(jìn)行比較。四、教學(xué)策略：教學(xué)方法：誘思探究教學(xué)法學(xué)習(xí)方法：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結(jié)。教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)五、教學(xué)過(guò)程：（一）、復(fù)習(xí)引入：回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。（二）、新課:探究：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)：（),()，…，()，我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)公式分別為：（1）（2）其中，（）成為樣本點(diǎn)的中心.注：回歸直線過(guò)樣本中心.你能推導(dǎo)出這兩個(gè)計(jì)算公式嗎？從我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)知道，截距和斜率分別是使取到最小值時(shí)的值.由于注意到.在上式中，后兩項(xiàng)和無(wú)關(guān)，而前兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值均為0，即有這正是我們所要推導(dǎo)的公式．下面我們從另一個(gè)角度來(lái)推導(dǎo)的公式．人教A版選修2-2P37習(xí)題1.4A組第4題:用測(cè)量工具測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，由于工具的精度以及測(cè)量技術(shù)的原因，測(cè)得n個(gè)數(shù)據(jù).證明：用這個(gè)數(shù)據(jù)的平均值表示這個(gè)物體的長(zhǎng)度，能使這n個(gè)數(shù)據(jù)的方差最?。伎迹哼@個(gè)結(jié)果說(shuō)明了什么？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，你能說(shuō)明最小二乘法的基本原理嗎？證明：由于，所以，令,得。可以得到，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，用n個(gè)數(shù)據(jù)的平均值表示這個(gè)物體的長(zhǎng)度是合理的，這就是最小二乘法的基本原理．由最小二乘法的基本原理即得定理設(shè),,則(*)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).(*)式說(shuō)明,是任何一個(gè)實(shí)數(shù)與的差的平方的平均數(shù)中最小的數(shù).從而說(shuō)明了方差具有最小性,也即定義標(biāo)準(zhǔn)差的合理性.下面借助(*)式求的最小值.,由(*)式知,當(dāng)且僅當(dāng),且時(shí),達(dá)到最小值.由此得到,其中是回歸直線的斜率,是截距.借助和配方法,我們給出了人教A版必修3的第二章統(tǒng)計(jì)第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系中回歸直線方程的一個(gè)合理的解釋.1、回歸分析的基本步驟：(1)畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖.(2)求回歸直線方程.(3)用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào).下面我們通過(guò)案例，進(jìn)一步學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其應(yīng)用．2、舉例：例1.從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重．解：由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量x，體重為因變量y.作散點(diǎn)圖(圖3.1一1)從圖3.1一1中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來(lái)近似刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)探究中的公式（1）和（2)，可以得到.于是得到回歸方程.因此，對(duì)于身高172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為(kg).是斜率的估計(jì)值，說(shuō)明身高x每增加1個(gè)單位時(shí)，體重y就增加位，這表明體重與身高具有正的線性相關(guān)關(guān)系．如何描述它們之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？在必修3中，我們介紹了用相關(guān)系數(shù)；來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法．本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常，當(dāng)r的絕對(duì)值大于0.75時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．在本例中，可以計(jì)算出r=0.798．這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的．顯然，身高172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg.圖3.1一2中的樣本點(diǎn)和回歸直線的相互位置說(shuō)明了這一點(diǎn)．由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一條直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可用下面的線性回歸模型來(lái)表示：,(3)這里a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與之間的誤差．通常e為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差，它的均值E(e）=0，方差D（e）=＞0．這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為：(4)在線性回歸模型（4）中，隨機(jī)誤差e的方差護(hù)越小，通過(guò)回歸直線(5)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高．隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間的誤差的原因之一，大小取決于隨機(jī)誤差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中和為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因．思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么?一個(gè)人的體重值除了受身高的影響外，還受許多其他因素的影響．例如飲食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)動(dòng)、度量誤差等．事實(shí)上，我們無(wú)法知道身高和體重之間的確切關(guān)系是什么，這里只是利用線性回歸方程來(lái)近似這種關(guān)系．這種近似以及上面提到的影響因素都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因．因?yàn)殡S機(jī)誤差是隨機(jī)變量，所以可以通過(guò)這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征來(lái)刻畫它的一些總體特征．均值是反映隨機(jī)變量取值平均水平的數(shù)字特征，方差是反映隨機(jī)變量集中于均值程度的數(shù)字特征，而隨機(jī)誤差的均值為0，因此可以用方差來(lái)衡量隨機(jī)誤差的大?。疄榱撕饬款A(yù)報(bào)的精度，需要估計(jì)護(hù)的值．一個(gè)自然的想法是通過(guò)樣本方差來(lái)估計(jì)總體方差．如何得到隨機(jī)變量的樣本呢？由于模型（3）或（4）中的隱含在預(yù)報(bào)變量y中，我們無(wú)法精確地把它從y中分離出來(lái)，因此也就無(wú)法得到隨機(jī)變量的樣本．解決問(wèn)題的途徑是通過(guò)樣本的估計(jì)值來(lái)估計(jì)．根據(jù)截距和斜率的估計(jì)公式（1）和（2),可以建立回歸方程,因此是（5）中的估計(jì)量．由于隨機(jī)誤差，所以是的估計(jì)量．對(duì)于樣本點(diǎn)（),()，…，()而言，相應(yīng)于它們的隨機(jī)誤差為,其估計(jì)值為,稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差（residual)．類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作為的估計(jì)量，其中和由公式（1)(2）給出，Q（,）稱為殘差平方和（residualsumofsquares)．可以用衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度．通常，越小，預(yù)報(bào)精度越高．在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)．然后，可以通過(guò)殘差來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)．這方面的分析工作稱為殘差分析．表3一2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)．編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差我們可以利用圖形來(lái)分析殘差特性作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．圖3.1一3是以樣本編號(hào)為橫坐標(biāo)的殘差圖．從圖3.1一3中可以看出，第1個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤．如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因．另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．另外，我們還可以用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：顯然，取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中，表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率．越接近于1，表示回歸的效果越好（因?yàn)樵浇咏?，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）．如果對(duì)某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同的回歸方程進(jìn)行回歸分析，也可以通過(guò)比較幾個(gè)，選擇大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型．在例1中，=0.64，表明“女大學(xué)生的身高解釋了64％的體重變化”，或者說(shuō)“女大學(xué)生的體重差異有64％是由身高引起的”.用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問(wèn)題：1．回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體．例如，不能用女大學(xué)生的身高和體重之間的回歸方程，描述女運(yùn)動(dòng)員的身高和體重之間的關(guān)系．同樣，不能用生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回歸方程，描述北方干旱地區(qū)的樹木的高與直徑之間的關(guān)系．2．我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性．例如，不能用20世紀(jì)80年代的身高體重?cái)?shù)據(jù)所建立的回歸方程，描述現(xiàn)在的身高和體重之間的關(guān)系．3．樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍．例如，我們的回歸方程是由女大學(xué)生身高和體重?cái)?shù)據(jù)建立的，那么用它來(lái)描述一個(gè)人幼兒時(shí)期的身高和體重之間的關(guān)系就不恰當(dāng)（即在回歸方程中，解釋變量x的樣本的取值范圍為［155cm,170cm〕，而用這個(gè)方程計(jì)算x-70cm時(shí)的y值，顯然不合適．)4．不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值．事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值．一般地，建立回歸模型的基本步驟為：(1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）;(3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a);(4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）;(5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．例2.現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表：溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325(1)試建立y與x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。(2)你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？探究：方案1（學(xué)生實(shí)施）：（1）選擇變量，畫散點(diǎn)圖。（2）通過(guò)計(jì)算器求得線性回歸方程:=（3）進(jìn)行回歸分析和預(yù)測(cè)：R2=r2≈=預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為28時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為92個(gè)。這個(gè)線性回歸模型中溫度解釋了%產(chǎn)卵數(shù)的變化。困惑：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加，氣溫為28時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)應(yīng)該低于66個(gè)，但是從推算的結(jié)果來(lái)看92個(gè)比66個(gè)卻多了26個(gè)，是什么原因造成的呢？方案2：(1)找到變量t=x2，將y=bx2+a轉(zhuǎn)化成y=bt+a；(2)利用計(jì)算器計(jì)算出y和t的線性回歸方程：y=轉(zhuǎn)換回y和x的模型：(4)y=（5）計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈這個(gè)回歸模型中溫度解釋了%產(chǎn)卵數(shù)的變化。預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為28時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為85個(gè)。困惑：比66還多19個(gè)，是否還有更適合的模型呢？方案3：(1)作變換z=lgy，將轉(zhuǎn)化成z=c2x+lgc1（線性模型）。(2)利用計(jì)算器計(jì)算出z和x的線性回歸方程：z=(3)轉(zhuǎn)換回y和x的模型：(4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈這個(gè)回歸模型中溫度解釋了%產(chǎn)卵數(shù)的變化。預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為28時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為42個(gè)。解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（圖3.1一4).在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中和是待定參數(shù)．現(xiàn)在，問(wèn)題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù)和．我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系．令，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線的周圍．這樣，就可以利用線性回歸模型來(lái)建立y和x之間的非線性回歸方程了．由表3一3的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表3一4，圖一5給出了表3一4中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖．從圖一5中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合．x21232527293235z由表3一4中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程.因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程為.(6)另一方面，可以認(rèn)為圖3.1一4中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線的附近，其中和為待定參數(shù)．因此可以對(duì)溫度變量做變換，即令，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程．表3一5是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方，圖3.1一6是相應(yīng)的散點(diǎn)圖．t44152962572984110241225x711212466115325從圖一6中可以看出，y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來(lái)擬合它，即不宜用二次曲線來(lái)擬合y和x之間的關(guān)系．這個(gè)結(jié)論還可以通過(guò)殘差分析得到，下面介紹具體方法．為比較兩個(gè)不同模型的殘差，需要建立兩個(gè)相應(yīng)的回歸方程．前面我們已經(jīng)建立了y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程，下面建立y關(guān)于x的二次回歸方程．用線性回歸模型擬合表3一5中的數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于t的線性回歸方程,即y關(guān)于x的二次回歸方程為.(7)可以通過(guò)殘差來(lái)比較兩個(gè)回歸方程（6）和（7）的擬合效果．用xi表示表3一3中第1行第i列的數(shù)據(jù)，則回歸方程（6）和（7）的殘差計(jì)算公式分別為;.表3一6給出了原始數(shù)據(jù)及相應(yīng)的兩個(gè)回歸方程的殘差．從表中的數(shù)據(jù)可以看出模型(6）的殘差的絕對(duì)值顯然比模型（7）的殘差的絕對(duì)值小，因此模型（6）的擬合效果比模型（7)的擬合效果好．x21232527293235y711212466115325在一般情況下，比較兩個(gè)模型的殘差比較困難．原因是在某些樣本點(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對(duì)值比另一個(gè)模型的小，而另一些樣本點(diǎn)的情況則相反．這時(shí)可以通過(guò)比較兩個(gè)模型的殘差平方和的大小來(lái)判斷模型的擬合效果．殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好．由表3一6容易算出模型（6）和（7）的殘差平方和分別為.因此模型（6）的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模型（7）.類似地，還可以用尸來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越大，擬合的效果越好．由表3一6容易算出模型（6）和（7）的R2分別約為0.98和0.80，因此模型（6）的效果好于模型（7)的效果．對(duì)于給定的樣本點(diǎn)（),()，…，()，兩個(gè)含有未知參數(shù)的模型和,其中a和b都是未知參數(shù)．可以按如下的步驟來(lái)比較它們的擬合效果：(1)分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程與,，其中和分別是參數(shù)a和b的估計(jì)值；(2)分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和與;(s）若，則的效果比的好；反之，的效果不如的好．例2：（提示后做練習(xí)、作業(yè)）研究某灌溉渠道水的流速y與水深x之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：水深xm流速ym/s（1）求y對(duì)x的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)水深為1。95m時(shí)水的流速是多少？解：依題意，把溫度作為解釋變量x，產(chǎn)卵個(gè)數(shù)y作為預(yù)報(bào)變量,作散點(diǎn)圖，由觀察知兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系。但樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)y=c1ec2x周圍.令z=lny,a=lnc1,b=c2則z=bx+a此時(shí)可用線性回歸來(lái)擬合z=因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對(duì)溫度的非