函數(shù)與極限重點知識歸納

函數(shù)與極限重點知識點歸納常量與變量變量的定義

我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化,我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。

注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。

變量的表示

如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。

在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：

[a，+∞)：表示不小于a的實數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；

(-∞，b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b；

(-∞，+∞)：表示全體實數(shù)R，也可記為：-∞＜x＜+∞

注：其中-∞和+∞，分別讀作"負無窮大"和"正無窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號。

鄰域

設(shè)α與δ是兩個實數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實數(shù)x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數(shù)函數(shù)的定義

如果當變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做因變量。

注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示.這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的.

注：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。函數(shù)的有界性

如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。

注意：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)

例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有

，

則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。

如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有

，

則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。

例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性

如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足

=，

則叫做偶函數(shù)；

如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足

=-，

則叫做奇函數(shù)。

注意：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。函數(shù)的周期性

對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式

對于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。

注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。

例題：函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)反函數(shù)的定義

設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即，那末變量x是變量y的函數(shù).

這個函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù).

注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理

若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴格增(減).

注：嚴格增(減)即是單調(diào)增(減)

例題：y=x2，其定義域為(-∞,+∞)，值域為[0,+∞).對于y取定的非負值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴格增(減).反函數(shù)的性質(zhì)

在同一坐標平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。

例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示：

復(fù)合函數(shù)的定義

若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。

注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。

例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。

因為對于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2），

使都沒有定義。初等函數(shù)函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)

a):不論x為何值,y總為正數(shù);

b):當x=0時,y=1.對數(shù)函數(shù)

a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點

b):當a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實數(shù)

這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。

令a=m/n

a):當m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù);

b):當m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù);

c):當m奇n偶時,y在(-∞,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))

這里只寫出了正弦函數(shù)

a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)

b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))

這里只寫出了反正弦函數(shù)

a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).

例題：是初等函數(shù)。雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是奇函數(shù)；

c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是偶函數(shù)；

c)：其圖像過點(0,1)；雙曲正切a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是奇函數(shù)；

c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：反雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).

a)：反雙曲正弦函數(shù)

其定義域為：(-∞,+∞)；

b)：反雙曲余弦函數(shù)

其定義域為：[1,+∞)；

c)：反雙曲正切函數(shù)

其定義域為：(-1,+1)；數(shù)列的極限數(shù)列

若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.

數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。第n項an叫做數(shù)列的一般項或通項.

注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù)數(shù)列的極限

一般地，對于數(shù)列來說，

若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切不等式

都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a.

記作：或

注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達出與a無限接近的意思。

且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。

注：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。

數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：

將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的ε鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：

因不等式與不等式等價，故當n＞N時，所有的點都落在開區(qū)

間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。數(shù)列的有界性

對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。

定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。

注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。

例：數(shù)列

1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…

是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。函數(shù)的極限(分兩種情況)

a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

定義：

設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式

那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當x→∞時的極限，記作：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A

任給一正數(shù)ε＞0

總可找到一正整數(shù)N

對于n＞N的所有

都滿足＜ε

則稱數(shù)列當x→∞時收斂于A

記：存在函數(shù)與常數(shù)A

任給一正數(shù)ε＞0

總可找到一正數(shù)X

對于適合的一切x

都滿足

函數(shù)當x→∞時的極限為A

記：b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

我們先來看一個例子.

例：函數(shù)，當x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？

函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個

點，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:

從中我們可以看出x→1時，→2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.

或說：只要與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當＜δ時滿足＜δ定義：

設(shè)函數(shù)在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的ε(不論其多么小)，

總存在正數(shù)δ，當0＜＜δ時，＜ε

則稱函數(shù)當x→x0時存在極限，且極限為A，記：

注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？

這是因為我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是：a):先任取ε＞0；b):寫出不等式＜ε；c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當0＜＜δ時，＜ε成立，因此函數(shù)極限的運算規(guī)則

若已知x→x0(或x→∞)時，.

則：

推論：

在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。例題：求解答：例題：求

此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算

規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。無窮大量和無窮小量

無窮大量

我們先來看一個例子：

已知函數(shù)，當x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。

為此我們可定義如下：

設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當

時，成立，

則稱函數(shù)當時為無窮大量。

記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）

同樣我們可以給出當x→∞時，無限趨大的定義：

設(shè)有函數(shù)y=，當x充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當

時，成立，

則稱函數(shù)當x→∞時是無窮大量，記為：無窮小量

以零為極限的變量稱為無窮小量。

定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式

(或)

的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，

則稱函數(shù)當(或x→∞)時為無窮小量.

記作：(或)

注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。

無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.

無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個定理

定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時有極限A，則差

是當(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。

定理二：無窮小量的有利運算定理

a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；

c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較定義：設(shè)α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，

a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮?。籦)：如果，則稱α和β是同階無窮??；

c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)例：因為，所以當x→0時，x與3x是同階無窮小；

因為，所以當x→0時，x2是3x的高階無窮??；

因為，所以當x→0時，sinx與x是等價無窮小等價無窮小的性質(zhì)

設(shè)，且存在，則.

注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。例題：1.求

解答：當x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：例題：2.求

解答：(代換只能在積商時使用)

注：問:代換是否只可以x→0時的極限使用?注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量

設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x

即：△x=x2-x1增量△x可正可負.

我們再來看一個例子：函數(shù)在點x0的鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時，函數(shù)y相

應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：

這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：

現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當△x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，

即：

那末就稱函數(shù)在點x0處連續(xù)

函數(shù)連續(xù)性的定義：

設(shè)函數(shù)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點x0處連續(xù)，

且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點.

下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：

設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，

即：=，那末我們就稱函數(shù)在點b左連續(xù).

設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，

即：=，那末我們就稱函數(shù)在點a右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。

注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).

注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？函數(shù)的間斷點定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點.它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時無極限；c)：在x→x0時有極限但不等于間斷點的分類

我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點

若x0是函數(shù)的間斷點，但極限存在，那末x0是函數(shù)的