高等數(shù)學(xué)教案 第九章 9-1多元函數(shù)的基本概念

南京信息工程大學(xué)孟祥瑞南京信息工程大學(xué)孟祥瑞PAGEPAGE549§91多元函數(shù)的基本概念內(nèi)容提要：理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義；多元函數(shù)極限的概念；多元函數(shù)連續(xù)的概念；有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)重點(diǎn)分析：多元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)及連續(xù)的性質(zhì)難點(diǎn)分析：二重極限的計(jì)算；二重極限不存在的判定方法；二元函數(shù)的連續(xù)性的概念一、平面點(diǎn)集n維空間一元函數(shù)x二元函數(shù)(x一、平面點(diǎn)集n維空間一元函數(shù)x二元函數(shù)(x,y)R1中的點(diǎn)集 ——>平面點(diǎn)集——>1 2Rn中點(diǎn)集

,x)nR1中的兩點(diǎn)間距離——>平面上兩點(diǎn)間距離——> Rn中兩點(diǎn)間距離R1中的區(qū)間 平面上區(qū)域 ——> Rn中開集、閉集等R1中的鄰域 R2中的鄰域 ——> Rn中的鄰域1、平面點(diǎn)集由平面解析幾何知道，當(dāng)在平面上引入了一個(gè)直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)P與有序二元實(shí)數(shù)組(x,y)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)。于是，我們常把有序?qū)崝?shù)組(x,y)與平面上的點(diǎn)P視作是等同的。這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面。二元的序?qū)崝?shù)組(x,y)的全體，即R2RR(x,y)x,yR就表示坐標(biāo)平面。平面點(diǎn)集坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，記作E(x,y)(x,y)具有性質(zhì)P。 r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是C(xy)x2y2

r2 。如果我們以點(diǎn)P表y)以O(shè)P表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距那么集合C可表成C{POPr}。鄰域P(x,

)xoyP(x,

)距離小于的點(diǎn)0 0 0 0 0 0P(xy

的鄰域，記為U(P,)，U(P,) 0

|PP0

0

0(xx)2(xx)2(yy)20 0

.P0 點(diǎn)P的去心鄰域，記為o(P,P0 0 0(xx(xx)2(yy)20 0U(P,) 0

P0|PP0

(x,y)|0

.區(qū)域內(nèi)點(diǎn)：設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)。如果存在點(diǎn)P的某一鄰域E,PEU(PEPE內(nèi)點(diǎn)EE。外點(diǎn)：若存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)E,PE則稱P為E的外點(diǎn)。E的外點(diǎn)必不屬于E。開集：若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集。E1

{(x,y)1x

y

4}即為開集。邊界點(diǎn)：PEE的點(diǎn)（P屬于E，也可以不屬于E，則稱P為E邊界點(diǎn)。如上圖E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界，記為E。DDDD是連通的。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。例如，{(xy|1x2y

4}.yox開區(qū)域連同它的邊界一起稱為yoxyo例如，{(xy|1x2yyo

4}.x對(duì)于點(diǎn)集E如果存在正數(shù)K使一切點(diǎn)PE與某一定點(diǎn)A間的距離AP不超過(guò)K，APKPEE有界點(diǎn)集無(wú)界點(diǎn)集。例如，{(xy|1x

y

4}有界閉區(qū)域；{(x,y)|xy0}無(wú)界開區(qū)域。聚點(diǎn)：E是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)P有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱P為E的聚點(diǎn)（0P的去心鄰域o(P,)內(nèi)總有E中的點(diǎn)，則稱P為E聚點(diǎn)）說(shuō)明：a.內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；b.例{(xy|0x2y

1}，(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)。c.點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E。例如,

{(x,y)|0x2y

1}，(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合。例如,

{(x,y)|x2y

2、n維空間n

n (x,

,,x) nn維空間：

為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱

元數(shù)組1 2

n 的全體為

維空間，而每個(gè)n

元數(shù)組

(x,x1

,,x)n

稱為n

維空間中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n

xi稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量的第i個(gè)分量。說(shuō)明：nRn；Rn0Rn中的坐標(biāo)原點(diǎn)或n維零向量；在Rn中定義線性運(yùn)算（和差、數(shù)乘；n設(shè)兩點(diǎn)為

P(x,x1

,,xn

), Q(y,y1

,,y),n

間的距離，記作

(x,y)

，規(guī)定1(x,y)|PQ(1

x)2(y1

x)2(y2

x)2.n特殊地當(dāng)n=1,2,3時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離。Rn中中元素x(x,x,

x0之間的距離(x,0)x（R1R2R3中1 2 n通常將x記作x，即x

x2x2

x2。1 2 n結(jié)合向量的線性運(yùn)算，可得xy(x,y).Rn中的變?cè)臉O限設(shè)x(x,x, ,x)，a(a,a, ,

Rnxa0xRn中1 2 n 1 2 n趨于固定元axa。顯然，xax1

a,x1

a2

x a。n nn 鄰域：

U(P,)0

P|PP0

,PRn內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義。二、多元函數(shù)概念定義1：設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集，稱映射f:DR為定義在D 上的二元函數(shù)，通常記為zf(x,y),(x,y)D（或記為zf(P),PD。其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x,y稱為自變量，z稱為因變量，函數(shù)值f(x,y)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記作f(D)，即f(D)zf(x,y),(x,y)D類似地可定義三元及三元以上函數(shù)。當(dāng)n2時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念。arcsin(3x2y2)xy2例1求f(xxy2

的定義域。解：南京信息工程大學(xué)孟祥瑞南京信息工程大學(xué)孟祥瑞PAGEPAGE5543x2y21

2x2y24二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如,zsin二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如,zsinxyz例如,x2y2z2a2D{(x,y)x2y2a2}.單值分支:za2x2y2z a2x2y2.oyxxy20 xy2所求定義域?yàn)镈(x,y)2x2y24,xy2 。zf(x,y)的圖形：zf(x,y)D，對(duì)于任意取定的P(x,yDzf(x,yxyz為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)M(x,yz)xD上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集yz)zf(xy),(xy三、多元函數(shù)的極限2：zf(x,yDP(xy

)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定0 0 0的正數(shù)總存在正數(shù)使得對(duì)于適合不等式0PP 0

(xx0

)2(yy)20

的一切點(diǎn)，都有f(xyA成立，則稱Azf(xyxxyy時(shí)的0 0）極限，記為 limf(x,y)A（或f(x,y)0)這里PP）0yxxy0y0也記作limf(P)A（或f(P)APP0說(shuō)明：

PP0）。PP0

的方式是任意的；limf(x,y（yxxyy0二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似。

lim(x,y)(x,y0 0

f(x,y)；例2（p7例4） 求證lim(x2y2x0y0

1x2y2

0,(x2y20) 。1 1(x2y2)sin

0x2y2sin ,當(dāng)0 (x ,當(dāng)0 (x0)2(y0)2時(shí)，(x2y2)sin1x2y20原結(jié)論成立。3求極限limsin(x2y)。x0x2y2y0limsin(x2y) limsin(x2y) x2y , x0 x2y2 x0 x2y x2y2解：y0 y0limsin(x2y)

sinux0y0

x2y

ux2y

limu0

u 其值隨k的不同而變化，故極限不存在。確定極限不存在的方法：P(x,yykxP(x,y，若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；0 0找兩種不同趨近方式，使limf(x,yf(x,y)yxxy0y0P(xy處極限不存在。0 0sin(xy)

xy

1x2例51）lim

（）lim

（）

lim1 xyx0 y2

xy

x2y2 x xya（1）原式limsin(xy)ylimsin(xy)limy122；x0 y2

xy0

y2（2）因?yàn)?0 x

xy

11 1 x2y2 2xy 2y x又lim1

10

x

0；x2y x

x

x2y2x2yx2x2yx2y2 x2 x0,1limsin(x2y)0.x0y0x2y24證明limx3yx0x6y2y0不存在。證：ykx3limx3yx3kx3kx0x6y2y0limx0ykx3x6k2x6 1k2南京信息工程大學(xué)孟祥瑞南京信息工程大學(xué)孟祥瑞PAGEPAGE557lim

11xx

11xxy（3）原式

xxxxxya

xxx xxyalimee

xxy

lim 1x1yxya

eya x e。利用點(diǎn)函數(shù)的形式有n元函數(shù)的極限：2設(shè)nf(P的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D，P0

是其聚點(diǎn)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)0PP0

PDf(PAA為nf(PPP0

limf(P)A。PP0四、多元函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)性3：設(shè)nf(Pf(xyDP0

P0

D，如果limf(P)

lim f(x,y)f(x,

)f(P)，則稱n元函數(shù)f(x,y)在PP0

(x,y)(x,y)0 0

0 0 0P(x,y

)處連續(xù)。0 0 0若函數(shù)f(x,y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，或稱f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù)。推廣：n元函數(shù)的連續(xù)性f(PP0

P0

是函數(shù)f(P)的間斷點(diǎn)。孤立點(diǎn)：0,0(P,)0

EP0

為E的孤立點(diǎn)。zf(xy的不連續(xù)點(diǎn)。沿D內(nèi)某些曲線，函數(shù)f(x,y)沒(méi)有定義，則這些曲線上的點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)。z

1x2y21

x2y2

1沒(méi)有定義，該圓周上各點(diǎn)均是間斷點(diǎn)。x3y3x2y2

, (x,y)(0,0)例6討論函數(shù)f(x,y)

0, (x,y)

在(0,0)處的連續(xù)性。f(x,y)f(0,0)2，故lim f(x,y)f(0,0)，即函數(shù)(0,0)處連續(xù)。(x,y)(0,0) xyx2y2

, x2y20解取xcos, ysin，解取xcos, ysin，f(x,y)f(sin3cos3)2，0，當(dāng)02x2y2時(shí)，0,x2y20解ykx，limxykx2x0x2y2y0limx0x2k2x2ykxlimkx2x0x2k2x2ykx其值隨k(0,02、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1、最大值和最小值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。DP

，使得Df(Pf(Pf(P)1 2 2 1性質(zhì)2、介值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值?！再|(zhì)3、一致連續(xù)性定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)。3、多元初等函數(shù)定義4多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。注：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)