隨機(jī)信號(hào)分析CH2習(xí)題及答案

PAGEPAGE18設(shè)有正弦隨機(jī)信號(hào)，其中，為常數(shù)，是均勻分布的隨機(jī)變量。（1）畫出該過程兩條樣本函數(shù)；（2）確定時(shí)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，并畫出其圖形；（3）當(dāng)時(shí)，求的概率密度函數(shù)。解：（1）隨機(jī)信號(hào)的任意兩條樣本函數(shù)如題解圖2.1(a)所示：題解圖2.1(a)（2）隨機(jī)過程在不同時(shí)刻是不同的隨機(jī)變量，一般具有不同的概率密度函數(shù)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在各時(shí)刻，隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)圖形如題解圖2.1(b)所示：題解圖2.1(b)（3）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)概率密度函數(shù)為：擲一枚硬幣定義一個(gè)隨機(jī)過程：設(shè)“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率相等。試求：（1）的一維分布函數(shù)，；（2）的二維分布函數(shù)；（3）畫出上述分布函數(shù)的圖形。2.3解：（1）一維分布為:(2)二維分布函數(shù)為假定二進(jìn)制數(shù)據(jù)序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利隨機(jī)序列，其每一位數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。試問，（1）連續(xù)4位構(gòu)成的串為{1011}的概率是多少？（2）連續(xù)4位構(gòu)成的串的平均串是什么？（3）連續(xù)4位構(gòu)成的串中，概率最大的是什么？2.4解：（1）（2）設(shè)連續(xù)4位數(shù)據(jù)構(gòu)成的串為B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,….其中B(n)為離散隨機(jī)變量，由題意可知，它們是相互獨(dú)立，而且同分布的。所以有：串（4bit數(shù)據(jù)）為：其矩特性為：因?yàn)殡S機(jī)變量的矩為：均值：方差：所以隨機(jī)變量的矩為：均值： 方差：如果將4bit串看作是一個(gè)隨機(jī)向量，則隨機(jī)向量的均值和方差為：串平均：串方差：（3）概率達(dá)到最大的串為正弦隨機(jī)信號(hào),其中振幅隨機(jī)變量A取值為1和0，概率分別為0.1和0.9，試問，（1）一維概率分布；（2）二維概率分布；（3）開啟該設(shè)備后最可能見到什么樣的信號(hào)？（4）如果開啟后時(shí)刻測(cè)得輸出電壓為1伏特，問時(shí)刻可能的輸出電壓是什么？概率多少？解：（1）（）（2）（）（3）因?yàn)?，所以開啟該設(shè)備后90%的情況會(huì)見到無電壓(A=0)。（4）t=1時(shí)刻，有，可得A=1；t=2時(shí)刻，有；因?yàn)樵贏=1的前提下，t=2時(shí)刻輸出電壓為確定值1，即。設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置如直線過程，其中與，并彼此獨(dú)立。試求t時(shí)刻隨機(jī)變量的一維概率密度函數(shù)、均值與方差？2.7解：獨(dú)立高斯分布的線性組合依然是高斯分布（）所以它的一維概率密度函數(shù)為:假定（-1,+1）的伯努利序列的取值具有等概特性。試求它的一維概率密度函數(shù)、均值與協(xié)方差函數(shù)？2.8解：給定隨機(jī)過程和常數(shù)，試以的自相關(guān)函數(shù)來表示差信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。2.10解：由題意可得：兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)與，其中A與B為未知分布隨機(jī)變量，Θ為0～2π均勻分布隨機(jī)變量，A、B與Θ兩兩統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，ω為常數(shù)，試問，（1）兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)；（2）討論兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的正交性、互不相關(guān)（無關(guān)）性與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性；解：（1），（2）①如果E[A]或E[B]為0，或E[A]、E[B]都為0，則，隨機(jī)信號(hào)X(t)與Y(t)正交且互不相關(guān)；②如果E[A]與E[B]均不為0，則，X(t)與Y(t)不正交，相關(guān)；但(包含與在同一時(shí)刻正交、無關(guān))③因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)X(t)與Y(t)中都有隨機(jī)變量Θ，所以X(t)與Y(t)不相互獨(dú)立?；蚨?xiàng)式隨機(jī)信號(hào)，其中是取值的伯努利隨機(jī)信號(hào)，和。試求：（1）的均值；（2）；（3）的相關(guān)函數(shù)；解：(1)的均值：因?yàn)樗?2)因?yàn)樨惻镄盘?hào)在不同時(shí)刻彼此獨(dú)立，則（）(3)的相關(guān)函數(shù)：假定正弦電壓信號(hào)，其中，服從均勻分布，服從均勻分布，它們彼此獨(dú)立。如果信號(hào)施加到RC并聯(lián)電路上，求總的電流信號(hào)及其均方值。解：由電路原理的相關(guān)知識(shí)可知： ，則零均值高斯信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為，求的一維和二維概率密度。解：(1)因?yàn)?，所以一維概率密度函數(shù)為： (2)高斯信號(hào)的二維概率密度函數(shù)為：則某高斯信號(hào)的均值，協(xié)方差，寫出