無套利理論的基本思想演示文稿

無套利理論的基本思想演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有22頁\編輯于星期五無套利理論的基本思想現(xiàn)在是2頁\一共有22頁\編輯于星期五3主要講授內(nèi)容：一、數(shù)學(xué)公理化方法的優(yōu)勢和缺陷二、一般均衡理論的基本思想三、無套利理論的基本思想四、一般均衡理論與無套利理論的關(guān)系現(xiàn)在是3頁\一共有22頁\編輯于星期五4一、數(shù)學(xué)公理化方法的優(yōu)勢和缺陷

我們知道數(shù)學(xué)具有普適性、靈活性，簡單性，高效可計算性等優(yōu)點，它使得我們金融學(xué)的理解和思考更為深入。但金融經(jīng)濟學(xué)所用的數(shù)學(xué)有它自己的特點：1.數(shù)學(xué)公理化方法是用演繹邏輯而非歸納推理：（1）演繹邏輯——從作為前提的“已知”事實“必然地”推出結(jié)論一階邏輯：邏輯客體之間的同一層次的相互關(guān)系（即謂詞邏輯）高階邏輯：不同層次的相互關(guān)系（2）歸納推理——根據(jù)過去的經(jīng)驗，推出一般的規(guī)律；這源于根據(jù)過去的經(jīng)驗，我們曾經(jīng)作過正確的判斷。例如，金融學(xué)領(lǐng)域的調(diào)查、統(tǒng)計分析、計量經(jīng)濟學(xué)模型等，都是用歸納邏輯。但是，歸納邏輯在一定意義上是靠不住的（常見例子），但為什么還要去用呢？這主要因為：一是事物本身具有一定的統(tǒng)計特征、二是人們思維的慣性。

現(xiàn)在是4頁\一共有22頁\編輯于星期五52.數(shù)學(xué)公理化方法是用外延邏輯而非內(nèi)涵邏輯：（1）外延邏輯——所涉及的對象和集合都是由它們的外延（即由它們同性質(zhì)的成員）來確定的。（2）內(nèi)涵邏輯——根據(jù)對象規(guī)定的內(nèi)涵（概念所反映的事物的特性或本質(zhì)）來確定的。

例如，投資策略和投資組合在內(nèi)涵上當(dāng)然不同，但在外延上，他們都對應(yīng)相同的量，常被認(rèn)為是同樣的集合。又如，期權(quán)定價理論中的基本方法是用基本證券的組合來“復(fù)制”期權(quán)。在外延上，期權(quán)與證券組合是可以相互替代的，但在內(nèi)涵上，這兩者絕對不是一回事情。雖然，現(xiàn)代金融學(xué)融匯了大量的數(shù)學(xué)和邏輯工具，但從金融學(xué)的發(fā)展來看，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了金融學(xué)的發(fā)展需要，這使得我們對許多重要的金融問題的研究還顯得力不從心?，F(xiàn)在是5頁\一共有22頁\編輯于星期五6二、一般均衡理論的基本思想1.L.Warlas的一般經(jīng)濟均衡理論，且是唯一的對經(jīng)濟整體提出的理論。在一個經(jīng)濟體中有許多經(jīng)濟活動者，其中一部分是消費者，一部分是生產(chǎn)者。消費者追求的是消費的最大效用，生產(chǎn)者追求的是生產(chǎn)的最大利潤，他們的經(jīng)濟活動分別形成了市場上對商品的需求和供給。在這個體系下，需求和供給達(dá)到均衡，而每個消費者和每個生產(chǎn)者也都達(dá)到了他們的最大化要求。

Warlas把這一思想表達(dá)為這樣的數(shù)學(xué)問題：假定市場上有n種商品，每一種商品的供給S和需求D都是這n種商品的價格函數(shù)。于是這n種商品的供給與需求之間的平衡就得到了n個方程。由于n種商品需要一個計量單位（商品之間的比價），因此，只有n-1種商品的價格是獨立的。為此，Warlas加入了一個財務(wù)均衡關(guān)系，即所有商品供給的總價值應(yīng)該等于所有商品需求的總價值。這一關(guān)系，目前稱為“瓦爾拉斯法則”。

按照當(dāng)時人們熟知的線性方程組理論，這個方程組有解，其解就是一般均衡價格體系。但是，這一“數(shù)學(xué)論證”在數(shù)學(xué)上是站不住腳的。之后，這個問題經(jīng)過數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家80年的努力，才得以解決。即，在1954年，K.J.Arrow,G.Debreu,給出了一般經(jīng)濟均衡存在性的嚴(yán)格證明。至此，一般經(jīng)濟均衡理論的框架才得以正式確立。當(dāng)然，在研究的過程中，J.vonNeumann,W.Leontiev,P.Samuelson，R.Hicks等對均衡理論都做過不少貢獻?，F(xiàn)在是6頁\一共有22頁\編輯于星期五7（一）無套利理論的提出現(xiàn)代理論金融經(jīng)濟學(xué)研究的中心問題是金融資產(chǎn)定價問題。Arrow&Debreu模型回答了普通商品的定價問題：假定消費者追求最大消費效用、生產(chǎn)者追求最大生產(chǎn)利潤、然后在一定條件下，存在一個一般經(jīng)濟均衡的價格體系，使得商品的供需達(dá)到平衡。對于金融資產(chǎn)的定價似乎也應(yīng)該走這條路。但是，由于金融市場的最主要的特征在于未來的不確定性，沿“均衡定價論”的道路前進步履十分艱難。1958年，Modigliani&Miller提出了無套利假設(shè)來作為“公理”來作為金融資產(chǎn)定價的出發(fā)點。事實上，這條“公理”其實只是“均衡定價論”的推論，即達(dá)到一般均衡的價格體系一定是無套利的。這一理論十分有效：Black-Schels-Merton理論、Ross的APT理論幾乎完全基于此。不過“套利定價理論”只能就事論事，由此無法建立全市場的理論框架，它只能作為“均衡定價論”的補充。

三、無套利理論的基本思想現(xiàn)在是7頁\一共有22頁\編輯于星期五81.無套利假設(shè)怎樣用來給金融資產(chǎn)定價呢？例子：期權(quán)的定價問題期權(quán)：是賦予購買者在規(guī)定期限內(nèi)按照雙方約定的價格購買或出售一定數(shù)量的金融資產(chǎn)的權(quán)利合約。分類：看漲期權(quán)——賦予期權(quán)買者購買標(biāo)的資產(chǎn)權(quán)利的合約；看跌期權(quán)——賦予期權(quán)買者出售標(biāo)的資產(chǎn)權(quán)利的合約；另外，按照到期日的不同，可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)；（二）無套利理論的應(yīng)用現(xiàn)在是8頁\一共有22頁\編輯于星期五9期權(quán)在它被執(zhí)行時的價格很清楚：如果股票的市價高于期權(quán)規(guī)定的的執(zhí)行價格，那么期權(quán)的價格C就是市價S與執(zhí)行價格K之差；如果股票的市價低于期權(quán)規(guī)定的的執(zhí)行價格，那么期權(quán)是無用的，其價格為零。從而，期權(quán)的價格：CT=max(ST-K,0)現(xiàn)在，我們要問：期權(quán)在其被執(zhí)行前應(yīng)該怎樣定價？

S0=？

aS0(bS0)

當(dāng)前未來（執(zhí)行時刻）現(xiàn)在是9頁\一共有22頁\編輯于星期五10假定期權(quán)的執(zhí)行價格為K，那么期權(quán)在“未來”可能出現(xiàn)兩種價格：

Ca=max(aS0-K,0)Cb=max(bS0-K,0)這種“期權(quán)可能定價”體現(xiàn)了幾個假設(shè)：（1）無套利假設(shè)，或者說：提出期權(quán)定價問題，已經(jīng)默認(rèn)“每一種（未來價值不確定的）期權(quán)都有其（當(dāng)前確定的）價格”這一公理。（2）線性定價法則，例如：若干份A證券與若干份B證券在一起的證券組合的總價值，應(yīng)該等于A證券價格的同樣倍數(shù)與B證券價格的同樣倍數(shù)之和；或一個證券組合的價值應(yīng)該等于它的組成證券的價值之和（3）對于任何一種證券，都可以自由買賣；且允許賣空?，F(xiàn)在是10頁\一共有22頁\編輯于星期五112.無套利假設(shè)下的幾種金融資產(chǎn)定價方法（1）無套利假設(shè)下的對沖法

為什么可以用對沖法呢？

——賣出股票與買入期權(quán)是兩種風(fēng)險方向相反的投資行為，適當(dāng)?shù)慕M合這兩種投資行為，可以達(dá)到完全保值的作用。這樣，假設(shè)：C0為“當(dāng)前”的期權(quán)價格，S0為“當(dāng)前”的股票價格

Ca(Cb)為T期的期權(quán)價格，aS0(bS0)為T期的的股票價格投資策略：賣出一份股票，買入x份期權(quán)，這樣使得組合風(fēng)險完全對沖，價值完全確保。

由此，得到兩個方程：-S0+xC0=-aS0+xCa

-S0+xC0=-bS0+xCb

推出：C0=(Ca-Cb+aCb-bCa)/(a-b)

現(xiàn)在是11頁\一共有22頁\編輯于星期五12

（2）無套利假設(shè)下的“復(fù)制”思想

為什么？——由CT=max(ST-K,0)可以看出，期權(quán)的“未來”價值雖然是不確定的，但是它完全依賴于股票的不確定性；由此來看，期權(quán)本身可以通過股票交易和銀行存款的組合來“復(fù)制”。假設(shè)：C0為“當(dāng)前”的期權(quán)價格，S0為“當(dāng)前”的股票價格

Ca(Cb)為T期的期權(quán)價格，aS0(bS0)為T期的的股票價格

“復(fù)制”方法：一份期權(quán)相當(dāng)于y元銀行存款與z份股票的組合。于是，這種組合的“未來價值”與期權(quán)價值一致。由線性定價法則可以得到兩個方程：Ca=y+zaS0Cb=y+zbS0由此，求得y和z的值。而當(dāng)前價格C0=？利用無套利假設(shè)，C0=y+zS0，可以求出。

現(xiàn)在是12頁\一共有22頁\編輯于星期五13（3）概率意義下的期權(quán)定價思想

為什么？——在假定“未來”可能有的兩種情況時，并未規(guī)定它們的可能性（概率）有多大。并且，投資可以根據(jù)自己所掌握的信息對這兩種可能性作出自己的估計（主觀概率）。這樣，我們給出無套利假設(shè)下的幾個假設(shè)：（１）系數(shù)a和b必然有一個大于１，另一個小于１；（２）投資者總有一定的資金可以支配，且股市允許賣空；（３）“當(dāng)前”與“未來”的貨幣價值一樣時，不存在未來價值高于當(dāng)前價值的證券組合。在以上假設(shè)下，就存在一種未來的可能估計，使得“未來”的股價的平均值恰好就等于“當(dāng)前”的股價。有上文知道，a>1,b<1,必然存在q(在０和１之間）使得，

aq+(1-q)b=1然而，“當(dāng)前”的期權(quán)價格應(yīng)該就是在這種可能性估計下的“未來”的期權(quán)價格的平均值：

C0=qCa+(1-q)Cb

現(xiàn)在是13頁\一共有22頁\編輯于星期五143.無套利假設(shè)下的幾種期權(quán)定價方法比較（１）假設(shè)的強度有差異雖然以上三種觀點的期權(quán)定價結(jié)果完全一樣，但第三種觀點在模型的假設(shè)上要比前兩種觀點要強。例如，在前兩種觀點中，要求a和b是不相等的；而在第三種還要求1在a和b之間，否則不可能解釋為一種狀態(tài)發(fā)生的概率。而通常說的無套利假設(shè)是指要求最高的無套利假設(shè)。Black-Scholes的期權(quán)定價模型主要也是采用第三個觀點。其中，最為重要的一點是在于他們假設(shè)（１）時間的變化是連續(xù)的，股價的變化也是連續(xù)的（用數(shù)學(xué)上的幾何布朗運動來表示）；（２）有一種其價值作指數(shù)增長的無風(fēng)險證券來作為股價的參照物。需要注意的是，Black-Scholes的原始論文中用的是第一個觀點：股票交易與期權(quán)交易的適當(dāng)組合可以對沖風(fēng)險，從而成為一種無風(fēng)險證券。由此，得到一個偏微分方程，其解就是Black-Scholes定價公式。現(xiàn)在是14頁\一共有22頁\編輯于星期五15

（２）第二種觀點隱含著一種“完全市場”的假設(shè)。因為，只有在“完全市場”中，每一種價值取決于股價變化的衍生證券，都可以通過某種股市交易策略來“復(fù)制”，從而它們的價格就可以由股價和交易策略根據(jù)線性定價法則來決定。（３）資產(chǎn)定價基本理論。第三種觀點表達(dá)成嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式后，就稱為資產(chǎn)定價基本理論。也就是說，（完整的）無套利假設(shè)等價于存在對未來的不確定性的一種估計，使得任何時候的股價都等于未來股價的平均值。注：完全市場是指滿足如下條件的市場:(1)同質(zhì)產(chǎn)品；(2)眾多的買者與賣者；(3)買者和賣者可以自由進入市場；(4)所有買者和賣者都掌握當(dāng)前物價的完全信息，并能預(yù)測未來物價；(5)就總成交額而言，市場各個經(jīng)濟主體的購銷額是無關(guān)緊要的；(6)買者與賣者無串通合謀行為；(7)消費者追求效用最大化，生產(chǎn)者追求利潤最大化；(8)商品可轉(zhuǎn)讓?，F(xiàn)在是15頁\一共有22頁\編輯于星期五16四、一般均衡理論與無套利理論的關(guān)系下面，我再對無套利假設(shè)從另外一個角度來進行討論。我們已經(jīng)看到，通過線性定價法則或（和）無套利假設(shè)，可以用基本證券來為衍生品證券定價。這樣的定價方法曾經(jīng)長期為人們所不解。原因在于：傳統(tǒng)的定價理論的觀點——根據(jù)經(jīng)濟活動著的需求和供給，在一般經(jīng)濟均衡框架中形成的；當(dāng)前的定價觀點——而前文的定價方法中，只不過是通過股票的價格和貨幣的絕對保值來為期權(quán)“相對定價”。它并不關(guān)心股票價格本身怎樣形成這一問題（這里我們完全看不到市場中的經(jīng)濟活動者）。為弄清楚從這個角度來看資產(chǎn)定價基本定理的合理性，我們來構(gòu)造一個十分簡單的投資—消費模型來加以說明。

現(xiàn)在是16頁\一共有22頁\編輯于星期五17（一）投資—消費模型的構(gòu)建S0=？

aS0(bS0)

當(dāng)前未來

準(zhǔn)備工作：（1）假設(shè)：“當(dāng)前”和“未來”既無通貨膨脹，也無銀行業(yè)利息；（2）效用函數(shù)的構(gòu)建：一名投資—消費者A，他所追求的目標(biāo)是他的消費效用最大。為此，定義一個靜態(tài)的效用函數(shù)u(c),其中，c是他所消費的價值。同時假定，u是c的增函數(shù)（對A來說，錢花得越多越好）。對A來說，由于有“當(dāng)前”和“未來”兩個時刻，還需要通過當(dāng)前的確定消費和將來的不確定消費，來構(gòu)成一個綜合的效用函數(shù)。

現(xiàn)在是17頁\一共有22頁\編輯于星期五18（一）投資—消費模型的構(gòu)建（續(xù)）S0=？

aS0(bS0)

當(dāng)前未來第一、未來消費效用函數(shù)的構(gòu)建。如前面討論，我們看到，衍生證券的定價與股票的兩種狀態(tài)發(fā)生的概率是沒有關(guān)系的。但是在這里，當(dāng)A要進行決策時，就不得不根據(jù)他所掌握的信息，對“未來”有一個估計。于是他估計股票價值為aS0的概率為p,而為bS0的概率就是1-p。這個（p,1-p）可能是確實要發(fā)生的“客觀概率”，也可能是A根據(jù)自己掌握的信息來判斷的“主觀概率”。根據(jù)所謂的“vonNeumann-Morgenstern”的期望效用理論，A的未來不確定消費的效用就等于其不確定效用的數(shù)學(xué)期望，具體而言，如果A在狀態(tài)a的消費價值為ca,在狀態(tài)b的消費價值為cb,那么，其未來消費的效用就是p*u(ca)+(1-p)*u(cb).這里，我們假定未來的消費效用函數(shù)與當(dāng)前消費效用函數(shù)是一樣的。

現(xiàn)在是18頁\一共有22頁\編輯于星期五19第二，總效用函數(shù)的構(gòu)建。如果我們再假定,A的總消費效用函數(shù)就是他的當(dāng)前消費與未來消費效用之和，那么，他的總效用函數(shù)就是：