全微分的定義及計(jì)算

第九章*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義及計(jì)算全微分.一、全微分的定義

定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微..(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微當(dāng)函數(shù)可微時(shí):得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即.定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:因函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微,故

必存在,且有得到對x

的偏增量因此有.反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:.定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分..所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有.推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,的全微分為于是.例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.

解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分..內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義.思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無窮小量;時(shí)是無窮小量.1.選擇題.在點(diǎn)(0,0)可微.在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連

2.證明所以.同理極限不存在,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù);同理,在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).2)3)題目.4)下面證明可微:說明:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目.作業(yè)

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