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第九章*二、全微分在近似計算中的應用應用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計算估計誤差本節(jié)內容:一、全微分的定義及計算全微分.一、全微分的定義

定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內可微..(2)偏導數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微當函數(shù)可微時:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導數(shù)存在函數(shù)可微即.定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點的偏導數(shù)同樣可證證:因函數(shù)在點(x,y)可微,故

必存在,且有得到對x

的偏增量因此有.反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:.定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導數(shù)則函數(shù)在該點可微分..所以函數(shù)在點可微.注意到,故有.推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習慣上把自變量的增量用微分表示,的全微分為于是.例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.

解:例2.計算函數(shù)的全微分..內容小結1.微分定義:2.重要關系:函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義.思考與練習函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內存在;時是無窮小量;時是無窮小量.1.選擇題.在點(0,0)可微.在點(0,0)連續(xù)且偏導數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(0,0)連續(xù);但偏導數(shù)在點(0,0)不連

2.證明所以.同理極限不存在,在點(0,0)不連續(xù);同理,在點(0,0)也不連續(xù).2)3)題目.4)下面證明可微:說明:此題表明,偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目.作業(yè)

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