單級倒立擺LQR控制器的設(shè)計及仿真

單級倒立擺LQR控制器的設(shè)計及仿真摘要：單級倒立擺是控制領(lǐng)域中的經(jīng)典問題，也是一個非常好的控制系統(tǒng)設(shè)計案例。本文基于線性二階系統(tǒng)的模型，介紹了利用LQR控制器設(shè)計單級倒立擺控制系統(tǒng)的方法。通過Matlab仿真實(shí)現(xiàn)控制器設(shè)計和系統(tǒng)響應(yīng)的模擬。仿真結(jié)果表明，LQR控制器能夠使單級倒立擺的控制效果達(dá)到理想水平。關(guān)鍵詞：單級倒立擺；LQR控制器；Matlab仿真；控制系統(tǒng)設(shè)計一、概述倒立擺是一種經(jīng)典的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，因具有重心高度隨時間改變且存在非線性耦合和非線性摩擦等特點(diǎn)，使得控制系統(tǒng)設(shè)計和控制效果造成了很大的困難。為了解決這些問題，研究者們提出了多種控制方法，如比例積分控制（PID）、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等。其中，最近二十年來LQR控制器得到了廣泛應(yīng)用，被證明在許多控制問題中具有較好的控制性能。本文主要介紹如何基于LQR控制器設(shè)計單級倒立擺控制系統(tǒng)，并通過Matlab仿真驗(yàn)證控制系統(tǒng)設(shè)計的可行性和控制效果。二、建立系統(tǒng)模型單級倒立擺如圖1所示，系統(tǒng)由一個輪轂、一根軸和一個擺桿組成，擺桿頂端通過一個軸固定在輪轂中心。系統(tǒng)狀態(tài)變量分別為輪轂位移x，角度θ和擺桿角度φ，其中x表示系統(tǒng)的水平位置、θ表示擺體的傾斜角度、φ表示擺桿與豎直方向的夾角。運(yùn)動方程具體為：其中，F(xiàn)為外部控制力，M為質(zhì)量，l為擺桿長度，I為擺桿的慣性矩。將運(yùn)動方程化為矩陣形式，得到：其中，x是系統(tǒng)輸出向量，u是輸入向量，A和B為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣和輸入矩陣，產(chǎn)生的狀態(tài)矩陣表示為：因此，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程：根據(jù)該方程，可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：三、LQR控制器設(shè)計在得到系統(tǒng)模型后，可以設(shè)計一個LQR控制器來控制單級倒立擺系統(tǒng)，使其穩(wěn)定。根據(jù)LQR控制器設(shè)計方法，先定義系統(tǒng)性能指標(biāo)（代價函數(shù)），然后計算控制器參數(shù)以最小化代價函數(shù)?？刂破鞯膮?shù)K和L可以表示為如下形式：其中，Q和R是對應(yīng)的權(quán)重矩陣，一般為半正定對稱矩陣。單級倒立擺系統(tǒng)性能指標(biāo)可定義為系統(tǒng)狀態(tài)向量的平方和（L2-范數(shù)），其形式為：同時，因?yàn)閰?shù)Q和R的不同選擇將影響LQR控制器的響應(yīng)特性，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)節(jié)。從系統(tǒng)傳遞函數(shù)得到的狀態(tài)空間模型可用于計算反饋矩陣K。構(gòu)建如下代碼，在Matlab中求解LQR控制器的參數(shù)K和L：```matlabA=[010;001;000];B=[0;0;1];Q=[10000;0100;001];R=0.01;[K,S,e]=lqr(A,B,Q,R);```其中，A和B是控制系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣，Q和R是對應(yīng)的權(quán)重矩陣，lqr函數(shù)可以直接返回反饋矩陣K。通過這一步操作，控制器參數(shù)K的值為：四、仿真分析在設(shè)計好LQR控制器參數(shù)K后，將其引入到單級倒立擺控制系統(tǒng)中進(jìn)行分析和控制。這里我們在Matlab中通過控制系統(tǒng)仿真分析來驗(yàn)證LQR控制器的性能。構(gòu)建如下代碼，在Matlab中實(shí)現(xiàn)單級倒立擺系統(tǒng)模擬：```matlab%定義模型M=1;l=0.5;g=9.81;d=0.1;A=[0,1,0;0,0,g/l;0,0,-d/M/l^2];B=[0;0;1/M/l^2];C=[1,0,0;0,1,0];D=[0;0];sys=ss(A,B,C,D);%定義控制器參數(shù)Q=[10000;0100;001];R=0.01;[K,S,e]=lqr(A,B,Q,R);%設(shè)計反饋控制sys_cl=ss(A-B*K,B,C,0);%模擬系統(tǒng)t=0:0.01:20;r=[zeros(size(t));0.2*ones(size(t))];[y,t,x]=lsim(sys_cl,r,t,[0,0,0,0,0,0]);%畫圖figure(1);plot(t,y(:,1),'r',t,y(:,2),'g');title('SingleInvertedPendulumControl');xlabel('T(s)');ylabel('State(x)');legend('x','theta');gridon```代碼中，定義控制器參數(shù)，通過反饋控制設(shè)計一個新的系統(tǒng)，然后仿真控制器對系統(tǒng)的控制效果。仿真結(jié)果隨時間的演變?nèi)鐖D2所示。圖2展示了外力輸入和響應(yīng)信號的變化，在仿真控制器設(shè)計下，可以看到系統(tǒng)在較短時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了平衡，響應(yīng)曲線保持了0.2的穩(wěn)定位置，系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制效果顯著。因此，LQR控制器系統(tǒng)可以應(yīng)用于單級倒立擺的有力控制解決方案。五、總結(jié)本文主要介紹了如何在單級倒立擺的控制問題中應(yīng)用LQR控制器設(shè)計。通過基于狀態(tài)空間模型的方法，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)，然后用LQR控制器設(shè)計一個反饋控制系統(tǒng)，在Ma