數(shù)學(xué)八年級下冊導(dǎo)學(xué)案17.2 第2課時 勾股定理的逆定理的應(yīng)用

第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第2課時勾股定理的逆定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實際問題；2.將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.重點：靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實際問題.難點：將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)一、知識回顧1.你能說出勾股定理及其逆定理的內(nèi)容嗎？快速填一填：(1)已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為_______三角形，_________是最大角;(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC邊上的高是__________cm.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：勾股定理的逆定理的應(yīng)用典例精析例1如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？分析：題目已知“遠(yuǎn)航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離，實質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角，由此容易聯(lián)想到勾股定理的逆定理.方法總結(jié):解決實際問題的步驟：構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解.變式題如圖，南北方向PQ以東為我國領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時28分，我邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷懔⒓赐ㄖ赑Q上B處巡邏的103號艇注意其動向，經(jīng)檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時，則可疑船只最早何時進(jìn)入我領(lǐng)海？分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖所示,這個零件符合要求嗎？練一練1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？2.如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學(xué)知識幫他檢驗一下挖的是否合格？探究點2：勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用典例精析例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.分析：連接AC，把四邊形分成兩個三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.方法總結(jié):四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.變式題1如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.變式題2如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點，CD=1，BC＝，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．航海問題二、課堂小結(jié)航海問題與勾股定理結(jié)合解決不規(guī)則圖形等問題應(yīng)用與勾股定理結(jié)合解決不規(guī)則圖形等問題應(yīng)用勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理的應(yīng)用認(rèn)真審題,畫出符合題意的圖形,熟練運用勾股定理及其逆定理來解決問題方法認(rèn)真審題,畫出符合題意的圖形,熟練運用勾股定理及其逆定理來解決問題方法當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測1.醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m,公園到醫(yī)院的距離為400m.若公園到超市的距離為500m,則公園在醫(yī)院的北偏東______的方向.2.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是（）ABCD如圖，某探險隊的A組由駐地O點出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個方向前進(jìn)，2h后同時停下來，這時A，B兩組相距30km．此時，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請說明理由.如圖，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線AD=15，試說明：AB=AC.在尋找某墜毀飛機(jī)的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，同時，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時的速度向著目標(biāo)B出發(fā)，1.5小時后，他們同時分別到達(dá)目標(biāo)A、B．此時，他們相距30海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？如圖，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向點以每秒2cm的速度移動，點Q從點C沿CB邊向點B以每秒1cm的速度移動，如果同時出發(fā)，則過3秒時，求PQ的長．參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識回顧1.勾股定理：Rt△ABC，∠C是直角，a2+b2=c2(a，b為直角邊，c為斜邊).勾股定理的逆定理：a2+b2=c2(a，b為直角邊，c為斜邊)，Rt△ABC，∠C是直角.2.(1)直角∠A(2)8課堂探究一、要點探究探究點1：勾股定理的逆定理的應(yīng)用典例精析例1解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°.由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.變式題1解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/時，6.4÷12.8=0.5(小時)=30(分鐘)，∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時58分進(jìn)入我領(lǐng)海.例2解：解：在△ABD中，AB2＋AD2＝32+42=25=52＝BD2∴△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2＋BC2＝52+122=169=132＝CD2∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個零件符合要求.練一練：1.解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2.即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．2.解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2+BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．探究點2：勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用典例精析例3解：連接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.變式題1解：連接BD.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm，∴BC2=CD2+BD2.∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－AB?AD=×(5×12－3×4)=24(cm2)．變式題2解：∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm,S△ACD=CD?AC=×12×AC=30(cm2),∴AC=5cm.又∵AB2＋BC2＝32+42=25=52＝AC2,∴△ABC是直角三角形，∠B是直角.∴S△ABC=AB?BC=×3×4=6(cm2).例4解：(1)證明：∵CD=1，BC＝，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形.(2)解：設(shè)腰長AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得當(dāng)堂檢測65°2.D3.解：∵出發(fā)2小時，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又∵A，B兩組相距30km，且有242+182=302，∴A，B兩組行進(jìn)的方向成直角．4.解：∵BC=16，AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC.5.解：根據(jù)題意得OA=16×1.5=24(海里)，OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2.∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O(如圖)沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．6.解：設(shè)AB