高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.2 微積分基本定理學(xué)案含解

PAGEPAGE9§4.2微積分基本定理[基礎(chǔ)·初探]教材整理微積分基本定理閱讀教材P～P，完成下列問題.82 84微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)(()的導(dǎo)函數(shù)，即)()d()－aF(a).定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S，x軸下方的面積為S，則上 下(1)421當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方時(shí)，如圖421(1)，則(d＝S.a當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸下方時(shí)，如圖421(2)，則(d＝S下.a(2) (3)圖421當(dāng)曲邊梯形的面積在xx421(3)，(d＝Sa上S，若S上S下(d0.a微積分基本定理中，被積函數(shù)是原函數(shù)的導(dǎo).( )應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時(shí)，為了計(jì)算方便通常取原函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)0.( )應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時(shí)，被積函數(shù)在積分區(qū)間上必須是連續(xù)數(shù).( )【答案】(1)√(2)√(3)√2(－sin)dx等( )0A.0C.－2

2π

B.2D.4【解析】2(－sindcos cos2πcos0.0【答案】A

0[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：解惑：解惑：利用微積分基本定理求定積分計(jì)算下列定積分.利用微積分基本定理求定積分計(jì)算下列定積分.(12(2＋2＋3d(20 cosd；1 －π22＋＋1

π x(321

x

si2d.2220【思路探究】(1)、(2)先求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后利用微積分基本定理求解；(3)、(4)則需先對(duì)被積函數(shù)變形，再利用微積分基本定理求解.【自主解答】(12(2＋3dx1＝2d22xd23dx132

1 12 2 25＝＋＋3＝.3 31 1 1(20 (cos－d0 cosxd0 dx－π －π －π0 0 1＝sin － ＝－1. π－π －π22＋＋1 1 1(3) x ＝2＋ln)′21.22＋＋1 2∴21

d(＋ln＝＋ln2.x 1(4)原式1 cos(1－cos(1－220

220π π1πdx1πcosxdx

2 sin2 ＝2210π－2

－20

＝2 －2 0 0＝4.求簡(jiǎn)單的定積分應(yīng)注意兩點(diǎn)：不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；[再練一題]x－121.2xd .21112【解析】 ＝－dx2 2dx

2xlnx

1 12＝ 0ln －(ln＋1＝ln 1＝ 2＋

2－.2 2－【答案】ln21－2求分段函數(shù)的定積分計(jì)算下列定積分.sinx xπ求分段函數(shù)的定積分計(jì)算下列定積分.，0≤<2，()＝ πx 4()d；1，2≤

≤2， 0x－1，2<x≤4，(22|2－1d.0fx π 4【精彩點(diǎn)撥】(1)按再求和.

0，22，2π 2【自主解答】(14)d＝2sinxd 1d4(－1dxπ0 20 2π 242 1 ＝(－cos ＋π－0

2 2 2π2＝1＋2－2＋(4－0)＝7－2.(22|2－1d1(2)d＋2(－1)dx0 0 1 11 1 2＝－3－2.3 3 0 1(2)中被積函數(shù)n數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行.[再練一題]2.3(|3|3|d.－3【解】設(shè)f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3，3]，－4，－3≤<－， x x 32－4，－3≤<－，則f(x)＝

3 3x6，－≤≤，x2 234x，2

<x≤3.3

3 33(|23|||d-－4d26d

4xdx323－3 -33 3 3

3- 22- 2

9

33

93＝－22＋623＝－2－＋6＋＋29－＝45.34 22 4 - 2-3 2利用定積分求參數(shù)[探究共研型]利用定積分求參數(shù)探究1滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)唯一嗎？【提示】2如何求對(duì)稱區(qū)間上的定積分？【提示】(1)設(shè)函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)()＝ ＋(若fx ax2ca1fxdx（）＝x的值；0 0 0(2)已知)是一次函數(shù)，其圖像過(，4，（dx fx＝1，求()的解析式.0，然后列出關(guān)于【精彩點(diǎn)撥】(1先利用微積分基本定理求出定積dx x的，然后列出關(guān)于0方程，求出x0

0的值.(2)設(shè)出f(x)的解析式，再根據(jù)已知條件列方程組求解.【自主解答】(1)因?yàn)?＝a2(≠0)，a 3且3＋c′a，3a a1()da2)d3＋c1＝＋＝a2， 0 0x＝3x

3 0 3 03(舍去).0 3 0 3(2)依題意設(shè)一次函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝kx＋b(k≠0).∵函數(shù)圖像過點(diǎn)(3，4)，∴3k＋b＝4.①k k∵(d1(k＋)d2＋b|＝＋， 2 0 20 0k∴②2k6b2由①②得，＝，＝，5 5fx 6 2∴()＝x＋.5 5計(jì)算含有參數(shù)的定積分，必須分清積分變量與被積函數(shù)積分區(qū)間與函數(shù)F(x)等概念.[再練一題]3.已(2－3d＝0，則k等( )0A.0C.01【解析】2

B.1D.以上都不對(duì) 00＝23，∴23＝，解得k＝1或k＝0(舍去)，故選B.【答案】B[構(gòu)建·體系]—定理微積分基本定理——定積分的計(jì)算—定積分的幾何意義—定積分的幾何意義下列定積分的值等于1的是( A.xdx0

B.11dx0C.1dx0

′＝，

1D.1dx0【解析】選項(xiàng)A221 11xd＝2＝； 0 02

2

x

2

1 3選項(xiàng)2＋′＝＋1，1(＋1)2＋＝； 20 01選項(xiàng)，因?yàn)椤洌?1d＝＝1； 0 01 1 1 11 1選項(xiàng)，因′ ，所1d＝＝.2 2【答案】Cπ

2 2 20 02 (sin的值( )ππ-2A.0C.2

πB.4D.4ππ π π 2【解析】2 (sin2sin2cosππ π π π - - - -2 2 2π2＋sinx

＝2.π-2【答案】C3.計(jì)2d＝ .01

11 1【解析】′212d＝＝.31【答案】3

3 30 0已知22(k＋1)d≤，則實(shí)數(shù)k的取值范圍 .11 2

1 3 3【解析】(k1)dk＋ ＝(2＋2＝＋1所以2≤＋1≤4， 2 2 2 21 12k解得≤3

≤2.

2 【