中考一元二次方程創(chuàng)新試題賞析

22222222222222222222222222中一二方創(chuàng)試賞眾所周知一元二次方程是方程大家庭中的重中之重歷年各地的中考試卷都少不了而且試題的形式越來越趨于創(chuàng)新現(xiàn)就近年來中考中有關(guān)一元二次方程創(chuàng)新試題，舉幾例供同學(xué)們賞析.一、開型問題例11已知一元二次方程有一個根1，那么這個方程可以是＿＿＿（只需寫出一個方程）.（2）寫出兩個一元二次方程，使每個方程都有一個根為0并且二次項(xiàng)系數(shù)都為1＿＿＿.（3）若方程－m0整數(shù)根，則m的值可以是＿＿＿（只填一個）解析（1）因?yàn)橐辉畏匠倘绻薪?，則它一定有兩個實(shí)數(shù)解，所以有一個根為的一元二次方程有無數(shù)個如，x

＝，

－2x＝，x

－x－1＝0，等等.2）和第（1）小題一樣，有一個根為的一元二次方程有無數(shù)個，不過1必須滿足二次項(xiàng)系數(shù)都為1.=0,x－＝0，－x＝0,x－＝0…等等2（3）對于方程－m＝0要有整數(shù)根，則必須滿足m是一個非負(fù)數(shù)的完全平方數(shù)，如，014，9，等等說明

對于（）所列舉的一元二次方程只要滿足系數(shù)之和為零，都有一個根為1即對于實(shí)系數(shù)一元二次方程++＝（a+b+＝0，則必有一根為1反過來，也成.對于2）所列舉的一元二次方程只要滿足常數(shù)項(xiàng)為零，都有一根為0即對于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax

2

+c＝0（a≠0果＝0，則必有一根為0；反過來，也成立對于（3果給定的方程是x+m0形式，則要使方程有整數(shù)根，則必須滿足是非正數(shù)的完全平方數(shù).二、例2

辨別改題閱讀下列解題過程：題目：已知方程x

x+1＝0的兩個根為α、β，求

的值.解因?yàn)榉匠蘹+3x+1＝0的兩個根為x＝1/6

ac2＝2a

22222222222222＝

5，即α＝，β＝.222所以α≠β；①，得α+β－3，αβ＝1；②所以

－33；閱讀后回答問題：上面的解題過程是否正確？若不正確，指出錯在哪一步，并寫出正確的解題過程.簡析

不正確.第3)步錯.正確的解題過程是為方

+3x+1＝0兩個根為x＝

2ac25＝＝α＝2a2所以α≠得α＝30，＝＞0，所以＜，＜0所以

＝＝－－＝－

·

＝3.說明

由α＋－3＜0，＝＞，得出＜0β＜，是求解本題的一個關(guān)鍵點(diǎn)，也最容易發(fā)生差錯的地方，另外，在對二次根式特別要注意符號問題.

化簡時也應(yīng)例3

已知關(guān)于x一元二次方程x－+21＝0兩個實(shí)數(shù)根的平方和為23求m值.某同學(xué)的解答如下：解：設(shè)xx是方程的兩根由求根公式，得x＝12

2a

＝mm

2

＝

m

m

.x＝－m，x＝2－1；11由題意，得x+x12

2

＝；又xx＝(+x)－x；121所以，m－2(2m1)＝23.解之，得m＝m＝－312/6

1221222222222122212212222222221222所以，m的值為7或－3.上述解答中有錯誤，請你指出錯誤之處，并重新給出完整的解答.簡析

認(rèn)真分析某同學(xué)的解題過程發(fā)現(xiàn)有兩處錯誤：一“+x＝－m，應(yīng)該x+x＝”；二是求得的值應(yīng)滿足原方程的－，即滿足－8+4≥0，此時當(dāng)＝7，m－8m+4＜0，所以＝7應(yīng)舍去正確的解答是：設(shè)x、是的公式x＝12

bac2a

＝mm

2

＝

mm2m

.x＝mx=2m1由題意，12得xx＝；又x+x＝(x+)－2x；所以，m－2(2m1)＝23.122112解之，得m7,＝－3，m＝7時，－m+4＜0，b－4＜0，所m12＝7舍去.所以，m的值為－3.說明

本題中的“x+x＝－m這一錯誤，雖然不影響求解的答案，但它畢竟是錯誤，另外，在運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，必須保證原方程有實(shí)數(shù)根，即b－4ac例4

閱讀下列解題過程題目知方程++1＝0的兩個實(shí)數(shù)根是、q，是否存的值，使得p、q滿足在，請說明理由.

11若存在，求出m的值；若不存pq解：存在滿足題意的m值由求根公式求得p+q＝mpq1.1m1∴m.∵∴＝ppq1p閱讀后回答下列問題：上面的解題過程是否正確？若不正確，寫出正確的解題過程.簡析

不正解.認(rèn)真分析上面的解題過程發(fā)現(xiàn)錯誤是+q＝m，應(yīng)該是“pq＝－m，這樣代入

11可求得m－，當(dāng)＝－時，原方程求根公式p中b－4ac＜0，沒有實(shí)數(shù)根，所以不存的值，使pq足3/6

11.正確p

222222222222222222222222222222的解法是：不存在滿足題意的值利用求根公式可求得pq＝－，pq1.以111因?yàn)樗裕剑?.當(dāng)m－1時方程pqpqp的b－4ac＜0，所以不存在的值，使得、滿足三、方模擬型

11.p閱讀材料：例5已知p－－1＝0,1－－＝且≠1，求

pqq

的值.解由－－1＝0及1－q－q＝0,可知≠0,≠0又因?yàn)閜q所以p

1q

，1所以－q－q＝可變形為的特征，所以與是方程x－xq－1＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則

1pq即qq根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答已知：2

－5－1＝0,

15,且n求：的值.n2nmn簡析通過閱讀題設(shè)提供的方法我們可以仿照此法使問題獲解由m－5－＝知m，因m，

115，，mm1511與的特征即與是方程+5－2＝0的兩個相2m2m11等的實(shí)數(shù)根，所以mn15說明本題也可以這樣求解：由得－5－＝，根據(jù)mn2－5－1＝0與2n－5－＝的特征且≠n，所以與n是方程x－－1＝

5的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即mn，所以2251mm24/6

2121212112121212121121四、猜歸納題例6

觀察下列方程1）+

2612＝3）＝）x+＝7；…按x此規(guī)律寫出關(guān)于的第n個方程為＿＿＿；此程的解為＿＿＿.簡析

由左邊分式的分子212可知第個方程的分子應(yīng)是（n+1而右邊是35…可知第n個方程的右邊應(yīng)是，所以關(guān)x的第n個方程為x

n＝2n；解關(guān)的方程+＝2n+1用兩種方法，即xx2方法，先分別求出方程（）x＝3）＝5）＝7的解，然x后找出其中的規(guī)律即得=n=n+1方法2直接解關(guān)于x的方程+12＝2n+1同樣也可以獲解

nx說明

求解此類問題一定要根據(jù)已知條件從中找到規(guī)律從而得到一般的結(jié)論使問題獲解.例7

先閱讀下列一段文字，然后解答問題.下面是一類方程和它的解的情況：111x－＝1的解是x＝2，＝－；1212x－＝2的解是x＝，x＝－；313x－3的解是x＝4，＝－；4414x－＝4的解是x＝，x＝－；5110問題觀察上述方程及其解再猜想出方程x－＝的解并寫出檢驗(yàn)111121簡析因?yàn)椋?－，＝－，3＝4，＝－，而10＝224511111－所以由此可以猜想出方程x－＝的解是x＝11＝－.驗(yàn)：1111111101當(dāng)x＝11，x－＝－＝10，當(dāng)＝－時，x－＝－－＝x1111x11110110，所以＝11，x＝－都是方程－＝10的解1111說明

處理這類問題一定要認(rèn)真閱讀分析，靈活應(yīng)用所學(xué)知識求解.5/6

五、自應(yīng)用題例8

實(shí)際生產(chǎn)、生活中存在大量如下關(guān)系式：路程＝速度時間；工作量＝工作效率×工作時間；…，即三個量a、、之間存在數(shù)量關(guān)系＝，現(xiàn)在請編一道含有這種關(guān)系的應(yīng)用題，要求：（1）用行程問題”