數值計算方法地學

數值計算方法地學第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六所謂函數逼近是求一個簡單的函數,例如是一個低次多項式,不要求通過已知的這n＋1個點,而是要求在整體上“盡量好”的逼近原函數。這時,在每個已知點上就會有誤差,函數逼近就是從整體上使誤差盡量的小一些。2.數學描述“對函數類A中給定的函數，要求在另一類較簡單的便于計算的函數類B中，求函數，使與之差在某種度量意義下最小。”第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六函數類A通常是區(qū)間上的連續(xù)函數，記作；函數類B通常是代數多項式，分式有理函數或三角多項式。區(qū)間上的所有實連續(xù)函數組成一個空間，記作。的范數定義為:稱其為—范數，它滿足范數的三個性質：

I），當且僅當時才有；

II）對任意成立，為任意實數；

III）對任意，有

第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六度量標準最常用的有兩種，一種是在這種度量意義下的函數逼近稱為一致逼近或均勻逼近；

另一種度量標準是

用這種度量的函數逼近稱為均方逼近或平方逼近。這里符號及是范數。本章主要研究在這兩種度量標準下用代數多項式逼近。第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六3.維爾斯特拉斯定理用一致逼近,首先要解決存在性問題，即對上的連續(xù)函數,是否存在多項式一致收斂于？維爾斯特拉斯（Weierstrass）給出了下面定理：定理1設，則對任何,總存在一個代數多項式，使在上一致成立。

證明：略。（伯恩斯坦構造性證明）

第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六假定函數的定義區(qū)間是[0,1],可通過線性代換:

把映射到。對給定的，構造伯恩斯坦多項式,此為n次多項式:其中，且

這不但證明了定理1，而且給出了的一個逼近多項式。多項式有良好的逼近性質，但它收斂太慢，比三次樣條逼近效果差得多，實際中很少被使用。

第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六§2最佳一致逼近多項式

2-1最佳一致逼近多項式的存在性切比雪夫從另一觀點研究一致逼近問題，他不讓多項式次數n趨于無窮，而是固定n，記次數小于等于n的多項式集合為,顯然。記是上一組線性無關的函數組，是中的一組基。中的元素可表示為其中為任意實數。要在中求逼近，使其誤差第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六

這就是通常所謂最佳一致逼近或切比雪夫逼近問題。

第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六為了說明這一概念，先給出以下定義。定義1，稱為在上的偏差。

顯然的全體組成一個集合，記為,它有下界0。若記集合的下確界為則稱之為在上最小偏差。第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六定義2假定，若存在則稱是在上的最佳一致逼近多項式或最小偏差逼近多項式，簡稱最佳逼近多項式。注意，定義并未說明最佳逼近多項式是否存在，但可證明下面的存在定理。

定理2若,則總存在，使.證明略。第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六2-2切比雪夫定理為研究最佳逼近多項式的特性，先引進偏差點定義。

定義3設，若在上有則稱是的偏差點。若，稱為“正”偏差點。

若，稱為“負”偏差點。由于函數在上連續(xù)，因此,至少存在一個點，使第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六也就是說的偏差點總是存在的。下面討論最佳逼近多項式的偏差點性質。第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六定理3若是的最佳逼近多項式，則同時存在正負偏差點。證明:因是的最佳逼近多項式，故。由于在上總有偏差點存在,用反證法，無妨假定只有正偏差點，沒有負偏差點，于是對一切都有因在上連續(xù)，故有最小值大于，用表示，其中。于是對一切都有第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六故

，

即

.

它表示多項式與的偏差小于

,與是最小偏差的定義矛盾。同樣可證明只有負偏差點沒有正偏差點也是不成立的。

定理得證。

第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六下面給出反映最佳逼近多項式特征的切比雪夫定理。

定理4.是的最佳逼近多項式的充分必要條件是在上至少有n+2個輪流為“正”、“負”的偏差點，即有n+2個點，使，使

這樣的點組稱為切比雪夫交錯點組。

證明:只證充分性。假定在上有n+2個點使上式成立。要證明是在上的最佳逼近多項式。用反證法，若存在

第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六在點上的符號與一致，故也在n+2個點上輪流取“+”、“－”號。由連續(xù)函數性質，它在內有n+1個零點。但因是不超過n次的多項式，它的零點不超過n。這矛盾說明假設不對，故就是所求最佳逼近多項式。充分性得證。必要性證明較繁，思想類似定理3，此處略.

第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六定理4說明用逼近的誤差曲線是均勻分布的。由這定理可得以下重要推論。推論1若,則在中存在唯一的最佳逼近多項式。推論2若，則其最佳逼近多項式就是的一個拉格朗日插值多項式。證明

由定理4可知，在上要么恒為0，要么有n+2個輪流取“正”、“負”的偏差點，于是存在n+1個點，使。第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六以為插值節(jié)點的拉格朗日插值多項式就是。第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六2-3最佳一次逼近多項式定理4給出了最佳逼近多項式的特性，但要求出卻相當困難。下面先討論n=1的情形。假定，且在內不變號，求最佳一次逼近多項式。根據定理4可知至少有3個點，使第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六代入方程2，得這就得到最佳一次逼近多項式。幾何意義。第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六最佳一致逼近多項式定理4.充分必要條件是至少有n+2個輪流為“正”、“負”的偏差點第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六§3函數平方逼近用均方誤差最小作為度量標準，研究函數的逼近多項式，就是最佳平方逼近問題。若存在，使

就是在上的最佳平方逼近多項式.第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六由于是關于的二次函數，利用多元函數求極值的必要條件于是有

(內積定義)第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六這是關于的線性方程組，稱為法方程，由于線性無關，故系數行列式，于是此方程組有唯一解，從而得到第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六定理5.在上線性無關的充分必要條件是它的克來姆（Gramer）行列式，其中證：在上線性無關，則由方程

知

第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六將此方程兩邊分別乘以之后再積分，便得到下列方程組：即

此齊次方程組只有零解，故其系數行列式的值一定不為0，即。反之，若，同樣對可經過適當變換得到在上線性無關。證畢第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六證明為最佳平方逼近函數,即對任何，有

為此只考慮第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六由于的系數是方程的解，故從而上式第二個積分為0，于是這就證明了是在中的最佳平方逼近函數。

第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六若令，則平方誤差為由于

所以第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六若取，則要在中求n次最佳平方逼近多項式

若用H表示對應的矩陣，即第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六此為希爾伯特（Hilbert）矩陣，記，則的解即為所求。

第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六例:設，求[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式。解:利用公式得

方程組為解出

第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六平方誤差最大誤差

用做基，求最佳平方逼近多項式，當n較大時，系數矩陣是高度病態(tài)的，求法方程的解，舍入誤差很大，這時要用正交多項式做基，才能求得最小平方逼近多項式。第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六§4正交多項式若首項系數的n次多項式,滿足就稱多項式序列，在[a,b]上帶權正交，并稱是[a,b]上帶權的n次正交多項式。

第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六構造正交多項式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定義的多項式集合是區(qū)間[a,b]上關于權函數的正交函數族。

第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多項式。解：

構造正交多項式

第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六最佳一致逼近:最佳平方逼近第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六4-1勒讓德多項式當區(qū)間為［－1,1］，權函數時，由正交化得到的多項式就稱為勒讓德(Legendre)多項式，并用表示。是n次多項式，對其n次求導后得第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六首項的系數

顯然最高項系數為1的勒讓德多項式為

第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六勒讓德(Legendre)多項式具體表達式為第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六性質1正交性證明：反復用分部積分公式，略。

性質2奇偶性n為偶數時為偶函數，n為奇數時為奇函數。

性質3遞推關系證明略。

第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六性質4在所有最高項系數為1的n次多項式中，勒讓德多項式在［－1，1］上與零的平方誤差最小。證：設是任意一個最高項系數為1的多項式，可表示為于是

證畢。性質5在區(qū)間［－1，1］內有n個不同的實零點。

第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六4-2第一類切比雪夫（Chebyshev）多項式

當區(qū)間為[-1,1]，權函數時，由序列正交化得到的正交多項式就是第一類切比雪夫（Chebyshev）多項式。它可表示為若令當在[-1,1]上變化時，對應的在［0，π］上變化，其可改寫成第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六具體表達式為是首項系數為的n次多項式。第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六性質1遞推關系這只要由三角恒等式

性質2最高項系數為1的對零的偏差最小。即在區(qū)間[-1,1]上所有最高項系數為1的一切n次多項式中，與零的偏差最小，偏差為其

第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六例：求在[-1,1]上的最佳2次逼近多項式。解：最佳逼近多項式應滿足由性質2知，當即時，與零偏差最小，故就是在［-1,1］上的最佳2次逼近多項式。第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六性質3切比雪夫多項式在區(qū)間[-1,1]上帶權正交，且第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六性質4只含的偶次冪，只含的奇次冪.

性質5在區(qū)間［-1，1］上有個n零點第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六可用的線性組合表示，其公式為具體表達式為

第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六4-3其他常用的正交多項式

一般說，如果區(qū)間[-1,1]及權函數不同,則得到的正交多項式也不同。除上述兩種最重要的正交多項式外，下面再給出三種較常用的正交多項式。1、第二類切比雪夫多項式在區(qū)間[-1,1]上帶權的正交多項式稱為第二類切比雪夫多項式，其表達式為第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六由，可得即是[-1,1]上帶權的正交多項式族，還可得到遞推關系式第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六2.拉蓋爾多項式

在區(qū)間上帶權的正交多項式稱為拉蓋爾（Laguerre）多項式，其表達式為

它也具有正交性質

和遞推關系第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六

3、埃爾米特多項式在區(qū)間上帶權的正交多項式稱為埃爾米特（Hermite）多項式，其表達式為它滿足正交關系并有遞推關系第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六4-4函數按正交多項式展開設，用正交多項式作基，求最佳平方逼近多項式由的正交