數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本內(nèi)涵

數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本內(nèi)涵第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)素質(zhì)的一般意義數(shù)學(xué)教育在人的素質(zhì)養(yǎng)成上具有不可替代的作用：“直觀思維、邏輯推理、精確計(jì)算以及結(jié)論的明確無誤……是每個(gè)公民的科學(xué)文化素質(zhì)”。在基礎(chǔ)教育階段，通過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練，可以使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)地思維的習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)地觀察世界、處理和解決問題的能力。數(shù)學(xué)素質(zhì)的研究應(yīng)該采用靜態(tài)與動(dòng)態(tài)相結(jié)合的方法。靜態(tài)上，要分析數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本構(gòu)成因素；動(dòng)態(tài)上，要探討處于不同發(fā)展階段的學(xué)生，其數(shù)學(xué)素質(zhì)發(fā)展變化的特征和規(guī)律第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)素質(zhì)基本構(gòu)成要素?cái)?shù)學(xué)意識(shí)——能夠從數(shù)學(xué)視角觀察周圍世界。數(shù)學(xué)思考——能夠用數(shù)學(xué)的思維方式思考問題。數(shù)學(xué)交流——會(huì)聽數(shù)學(xué)、讀數(shù)學(xué)、講數(shù)學(xué)、寫數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)應(yīng)用——能用數(shù)學(xué)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)素質(zhì)好，與通常所說的一個(gè)人有頭腦的意思差不多，歸根到底是指有數(shù)學(xué)思維方式，能從數(shù)學(xué)角度出發(fā)進(jìn)行理性思考，有尋求一般性模式、追求簡(jiǎn)潔與形式完美的思維方式和行為習(xí)慣，追求邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的可靠性的意識(shí)等。第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)精確定量思維方式數(shù)學(xué)抽象概括能力邏輯思維能力幾何直觀能力數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)反思與調(diào)節(jié)能力第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六精確定量思維方式1、“王梓坤先生指出，定量思維‘是指人們從實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問題，抽象化為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)計(jì)算求出此模型的解或近似解，然后回到現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行檢驗(yàn)，必要時(shí)修改模型使之更切合實(shí)際，最后編制解題的軟件包，以便得到更廣泛的、方便的應(yīng)用?！_定量思維方式是數(shù)學(xué)研究者必須具備的最重要的思維方式，也是數(shù)學(xué)教育所能給予學(xué)生的最重要和最基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。”第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六對(duì)王先生的話的理解按：“抽象化為數(shù)學(xué)模型”即常說的建模，但包含二個(gè)要素。一是“抽象化”，把原生態(tài)的問題淘汰無關(guān)因素變成數(shù)學(xué)問題，其中有一件必做的事是給事物“賦值”，如為全班同學(xué)分配圖書時(shí)賦予圖書自然數(shù)值的“本數(shù)”，植樹時(shí)給株距與行距賦予正有理數(shù)值，設(shè)計(jì)春游方案預(yù)測(cè)所選地點(diǎn)的天氣、客流量、經(jīng)費(fèi)開支時(shí)分別賦予它們概率值——實(shí)際上就是比值。二是選擇乃至創(chuàng)造適合于解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題的計(jì)算方式，包括計(jì)算的定義和計(jì)算規(guī)則。很多人不會(huì)量化思維，并不是找不到數(shù)學(xué)模型或不會(huì)計(jì)算，而是不會(huì)給似乎只能定性的事物賦值，在統(tǒng)計(jì)和概率類問題中尤其如此?！熬幹平忸}的軟件包”指總結(jié)量化思維成果并將其程序化、計(jì)算機(jī)化，使之能推廣應(yīng)用于新的同類問題。這是數(shù)學(xué)研究者的事，學(xué)生能總結(jié)反思、獲得經(jīng)驗(yàn)即可。此外，似可把王先生對(duì)量化思維方式的描述圖式化為：賦值——﹥建?！冇?jì)算——﹥檢驗(yàn)——﹥反思。第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六2、在基礎(chǔ)教育階段，定量思維主要靠數(shù)學(xué)的精確計(jì)算來培養(yǎng)。眾所周知，計(jì)算和演繹是數(shù)學(xué)中緊密結(jié)合在一起的過程，從某種意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用是形成‘算法的思維’，培養(yǎng)按照規(guī)定的運(yùn)算程序計(jì)算的習(xí)慣和設(shè)計(jì)新的計(jì)算程序的能力（實(shí)際上，數(shù)學(xué)的公式、法則、定理等都可以理解為規(guī)定好的計(jì)算程序）。數(shù)學(xué)計(jì)算是數(shù)學(xué)課堂中的一項(xiàng)重要的教學(xué)活動(dòng)，思維的創(chuàng)造性和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力都可以從中得到培養(yǎng)。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，時(shí)刻都有構(gòu)造算法、選擇算法的需要，通過構(gòu)造算法、比較不同算法的效率并選擇算法的實(shí)踐，可以使學(xué)生逐漸地養(yǎng)成從事智力活動(dòng)的習(xí)慣：計(jì)劃自己的工作、尋找和選擇完成工作的合理途徑、對(duì)結(jié)果進(jìn)行批判和評(píng)價(jià)?！?頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)前，人們對(duì)計(jì)算有一些誤解，認(rèn)為計(jì)算就是按照各種運(yùn)算法則進(jìn)行加、減、乘、除，因此，學(xué)習(xí)計(jì)算就是把書本中給出的計(jì)算法則背誦熟練，形成一些計(jì)算的基本技巧，……實(shí)際上，按照算法規(guī)則進(jìn)行邏輯推理而獲得正確結(jié)果僅僅是計(jì)算的一個(gè)方面。更重要的，在計(jì)算中包含著對(duì)算法的構(gòu)造、設(shè)計(jì)、選擇；對(duì)算理的理解、運(yùn)用，等。這是一個(gè)‘?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)’的過程，其中包含了豐富的數(shù)學(xué)實(shí)踐，可以使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法的真諦。第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六把“計(jì)算”當(dāng)作“運(yùn)算”和“算法”來教可見計(jì)算教學(xué)決不只是教會(huì)學(xué)生“計(jì)算技能技巧”，還要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)化的思維、創(chuàng)造性思維、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的工作態(tài)度。但要實(shí)現(xiàn)計(jì)算教學(xué)的上述價(jià)值，就要把“計(jì)算”當(dāng)作“運(yùn)算”和“算法”來教——算法中的“算”指的就是“運(yùn)算”。計(jì)算的對(duì)象只是數(shù)值，運(yùn)算的對(duì)象則在數(shù)值之外還包括代數(shù)式、方程、圖形、概念、判斷等等。只有把計(jì)算當(dāng)作運(yùn)算來教，高度重視計(jì)算中的算理思考，才能發(fā)展思維。該書說得好：數(shù)學(xué)實(shí)際上就是“算法學(xué)”，數(shù)學(xué)能力實(shí)際上就是“通過選擇、構(gòu)造、應(yīng)用算法解決問題的能力”。第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六3、計(jì)算包括根據(jù)法則進(jìn)行的精確計(jì)算、心算和估算。按照運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算可以訓(xùn)練學(xué)生的推理技能，可以使學(xué)生形成按程序進(jìn)行操作的技能，可以培養(yǎng)學(xué)生按規(guī)則辦事的素養(yǎng)和習(xí)慣；心算和估算可以培養(yǎng)學(xué)生全面把握問題情境、洞察事物本質(zhì)的能力，以及對(duì)數(shù)據(jù)特點(diǎn)的準(zhǔn)確理解、對(duì)算法的合理選擇、對(duì)結(jié)果合理性的正確判斷等能力。精確計(jì)算是一種定量思維方式，……估算是對(duì)面臨情況的一種整體把握，是通過與頭腦中已有數(shù)學(xué)模型的類比而實(shí)現(xiàn)的，是對(duì)事物本質(zhì)的直覺判斷，因而是一種定性思維形式，有更大的靈活性和可變通性。估算……形成這種素質(zhì)的基礎(chǔ)是精確計(jì)算的訓(xùn)練第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六良好的心算有兩個(gè)特征：一是不用紙筆，二是快。“快”說明那個(gè)學(xué)生能整體、直覺、迅速地洞察問題情境、找到可用的數(shù)學(xué)模型、熟練地運(yùn)算，數(shù)學(xué)能力強(qiáng)；“不用紙筆”說明他思維嚴(yán)謹(jǐn)、精細(xì)且數(shù)學(xué)知識(shí)和技能熟練。反之，我們就應(yīng)該多給學(xué)生鍛煉心算的機(jī)會(huì)，以發(fā)展學(xué)生整體、直覺、迅捷、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力。估算為何是“對(duì)面臨情況的一種整體把握”、是“一種定性思維形式”？因?yàn)楣浪阈枰罁?jù)對(duì)問題結(jié)構(gòu)整體的把握、數(shù)學(xué)模型整體的選擇，還要根據(jù)問題的真實(shí)性質(zhì)作出估算或精算的結(jié)果是否合理的判定——這些都是“定性思維”。反之，因其不需要數(shù)值上的精確性，所以不是定量思維方式。盡管形成估算能力的“基礎(chǔ)”是精確計(jì)算的訓(xùn)練，但“基礎(chǔ)”不能代替一切，即估算的能力還要在估算實(shí)踐的過程中形成。）第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)抽象概括能力人們之間智力的差異，很重要的一點(diǎn)是概括的意識(shí)與能力。有概括習(xí)慣又會(huì)概括的人，學(xué)習(xí)效果會(huì)更好，因?yàn)樗麑⑷跁?huì)貫通很多零散的知識(shí)并牢牢抓住它們的核心與本質(zhì)；甚至?xí)畹酶鼝芤?，因?yàn)樗麑⑼ㄟ^概括舍棄很多生活中的瑣屑，陶然于概括所得的自我人生真諦，少了許多煩惱。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是一個(gè)概括過程，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題也是一個(gè)概括過程。學(xué)生從認(rèn)識(shí)具體數(shù)學(xué)事例的感知和表象上升到對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，主要通過抽象與概括來實(shí)現(xiàn)。沒有概括，學(xué)生就不能掌握和運(yùn)用知識(shí)；沒有概括，學(xué)生就不能形成概念，從而由概念引申的定義、定理、公式、法則等就不可能被學(xué)生掌握；沒有概括，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就無法形成。概括能力是數(shù)學(xué)思維能力的基礎(chǔ)，概括水平成為衡量學(xué)生思維發(fā)展水平高低的等級(jí)指標(biāo)，思維能力通過概括能力的提高而得到顯現(xiàn)。”第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)抽象是從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行的：在漫長(zhǎng)的過程中，兒童通過計(jì)數(shù)活動(dòng)（以模仿的形式，借助于手指、眼睛、聲音等）首先將自然數(shù)抽象出來；然后通過像把兩堆物體合在一起的操作，加法被抽象出來；再次，加法運(yùn)算本身作為一種特定的事物，與其他事物一起加入了更進(jìn)一步的抽象（按：指算律的得出、減法、乘法與除法的推出等）……這里，每一個(gè)抽象過程都伴隨著符號(hào)的使用，……這些符號(hào)實(shí)際上代表了事物的某一個(gè)公共特點(diǎn)，但卻忽略了它們的不同方面。與上述數(shù)學(xué)抽象概括過程相對(duì)應(yīng)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要經(jīng)歷如下幾個(gè)方面的抽象概括過程：第一，數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的抽象概括；第二，把概括的數(shù)學(xué)對(duì)象具體化；第三，在已有概括的基礎(chǔ)上進(jìn)行更廣泛的、更高層次的抽象概括；第四，在概括的基礎(chǔ)上把數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化。第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷的這種抽象概括過程，使學(xué)生獲得了這樣一種素養(yǎng)：面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的事物，能把注意力集中在對(duì)研究問題起關(guān)鍵作用的特征上，并善于用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@種特征，從而方便地進(jìn)行深入地思考，方便地與他人進(jìn)行交流。……這是其他學(xué)科所無法替代的。……然而，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，這個(gè)問題并沒有引起廣大教師的重視，甚至可以說是被忽視了。在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，不給學(xué)生展示知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，學(xué)生的思維沒有機(jī)會(huì)經(jīng)歷結(jié)論的抽象概括過程，基本概念、基本原理采用‘一個(gè)定義、三項(xiàng)注意’式的教學(xué)，在學(xué)生還沒有對(duì)基本概念有基本理解的時(shí)候就要求學(xué)生使用概念。顯然，這是與數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過程背道而馳的，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)也非常不利。第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六我對(duì)概括的理解1、我們自己要學(xué)會(huì)概括。學(xué)習(xí)教育理論的時(shí)候要用概括功夫，不要去死記硬背那些散點(diǎn)性的話語。先分析、抽象，清理某本書的體系，看究竟講了那些基本原理；再概括，把繁多的概念、原理爭(zhēng)取概括成一句話——事實(shí)上每個(gè)理論都可以概括成一句話，建構(gòu)主義不過是“讓學(xué)生自己去建立知識(shí)結(jié)構(gòu)”，多元智能不過是“讓不同學(xué)生的智能結(jié)構(gòu)個(gè)性化地、揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短地發(fā)展”；最后爭(zhēng)取把這一句話逐層展開，分解為若干個(gè)基本原理，以及每個(gè)原理所包含的若干基本概念。花過這種功夫后，這個(gè)理論就被你“吃進(jìn)去”了。第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六2、努力讓學(xué)生學(xué)會(huì)概括。要重視讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、原理的抽象概括過程之外，還提兩點(diǎn)建議：一是鼓勵(lì)、指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常概括自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，每天小概括、一月中概括、一期大概括、畢業(yè)前總概括。這樣才能讓他們?nèi)辗e月累地養(yǎng)成概括習(xí)慣、增長(zhǎng)概括能力。二是設(shè)計(jì)好復(fù)習(xí)課。復(fù)習(xí)課不能只是做題，而要高度重視指導(dǎo)學(xué)生對(duì)上階段所學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象、概括——也就是建構(gòu)主義所主張的“建立知識(shí)結(jié)構(gòu)”。這樣才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，包括概括能力。第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六邏輯思維能力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要學(xué)習(xí)作為“合格公民”所必須學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)雙基，而且還要學(xué)習(xí)并掌握數(shù)學(xué)的思想方法，獲得數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)邏輯思維能力，形成數(shù)學(xué)思維方式。邏輯思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，主要包括：比較、分析、綜合、抽象、概括等形成概念的能力；歸納、演繹、類比、推廣、特殊化等進(jìn)行推理與證明的能力；分類與系統(tǒng)化等形成知識(shí)體系的能力。數(shù)學(xué)中，邏輯與直覺、推理與猜想總是相伴相隨的。第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六人們通過學(xué)期前人的經(jīng)驗(yàn)

積累產(chǎn)生一些有意義的聯(lián)想

歸納、抽象、邏輯推理產(chǎn)生對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六邏輯思維能力的好處嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練不但可以培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)規(guī)則進(jìn)行邏輯推理能力，使他們養(yǎng)成正直誠實(shí)、客觀公正而又堅(jiān)定不移的為人品格，形成嚴(yán)密而精確的思維習(xí)慣，而且還可以培養(yǎng)他們迅速把握事物主要關(guān)系的能力，洞察事物本質(zhì)、把握問題全局、明辨是非的能力，快速反應(yīng)、靈活應(yīng)變的能力，從而提高對(duì)不斷變化的世界的適應(yīng)能力。第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六幾何直觀能力幾何直觀是一種“思想上的實(shí)驗(yàn)”，對(duì)于沒有厚薄的平面，沒有粗細(xì)的直線，沒有“維”的點(diǎn)，對(duì)于“純粹形式”，我們無法通過做實(shí)驗(yàn)來得出結(jié)論，只有用直覺思維和邏輯推理的方法從一些結(jié)論到處新結(jié)論，而且最終一定要通過邏輯推理和證明來得出幾何定理。第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力數(shù)學(xué)語言已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于社會(huì)生活、生產(chǎn)和科研的各個(gè)領(lǐng)域?！\(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)和交流的能力成為人的綜合素質(zhì)的標(biāo)志之一?！褂脭?shù)學(xué)語言可以使人在表達(dá)思想時(shí)做到清晰、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，在處理問題時(shí)能夠?qū)栴}中各種因素之間的復(fù)雜關(guān)系表述得條理清楚、結(jié)構(gòu)分明?！睂?duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的方法，則簡(jiǎn)略地提到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中要讓學(xué)生“親身實(shí)踐、主動(dòng)建構(gòu)……數(shù)學(xué)交流……組織學(xué)生討論”