微分方程建模

微分方程建模第1頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§3.1微分方程的幾個簡單實例

在許多實際問題中，當直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題，本節(jié)將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。第2頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例1（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程

（3.1）是一個兩階非線性方程，不易求解。當θ很小時，sinθ≈θ，此時，可考察（3.1）的近似線性方程：（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當時,θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程第3頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例2我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。這一問題屬于對策問題，較為復(fù)雜。討論以下簡單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為r=r(θ)，見圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，第4頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六故有:即:（3.3）解為：（3.4）先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然后按（3.4）對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：第5頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例3

一個半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為Scm2的小孔在t=0時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？解:以容器的底部O點為原點，取坐標系如圖3.3所示。令h(t)為t時刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程。設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得：易見：故有：即：這是可分離變量的一階微分方程，得RxySO圖3-3hr第6頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例4

一根長度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為T1，另一端溫度恒為T2，（T1、T2為常數(shù)，T1>T2）。金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長度為B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為T3，（T3<T2，T3為常數(shù)），導(dǎo)熱系數(shù)為α，試求金屬桿上的溫度分布T(x)，（設(shè)金屬桿的導(dǎo)熱率為λ）一般情況下，在同一截面上的各點處溫度也不盡相同，如果這樣來考慮問題，本題要建的數(shù)學(xué)模型當為一偏微分方程。但由題意可以看出，因金屬桿較細且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡便起見，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù)T(x)。熱傳導(dǎo)現(xiàn)象機理：當溫差在一定范圍內(nèi)時，單位時間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)與介質(zhì)有關(guān)。T1T2oxABT3l

dt時間內(nèi)通過距離O點x處截面的熱量為：dt時間內(nèi)通過距離O點x+dx處截面的熱量為：由泰勒公式：金屬桿的微元[x,x+dx]在dt內(nèi)由獲得熱量為：同時，微元向空氣散發(fā)出的熱量為：系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有：所以金屬桿各處溫度T(x)滿足的微分方程:這是一個兩階常系數(shù)線性方程，很容易求解第7頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。§3.2

Malthus模型與Logistic模型第8頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六模型1馬爾薩斯（Malthus）模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），既：

或（3.5）

（3.6）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時刻t0時的種群數(shù)。

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：故第9頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六模型檢驗

比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)。第10頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六模型2Logistic模型人口凈增長率應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令r(N)=r-aN

此時得到微分方程：或（3.8）（3.8）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為當種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。（3.8）可改寫成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。第11頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六圖3-5對（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：N(0)=N0

，N(t)的圖形請看圖3.5第12頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六模型檢驗

用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3.6。

圖3-6第13頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。第14頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六歷史背景:例5

贗品的鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀荷蘭名畫家揚·弗米爾（JanVeermeer）的油畫“捉奸”等賣給納粹德國戈林的中間人?？墒?，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當時震驚了全世界，為了證明自己是一個偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”，當這項工作接近完成時，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。第15頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六為了審理這一案件，法庭組織了一個由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象。科學(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗出了20世紀初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩個多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。歷史背景:第16頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認定為真跡，并以17萬美元的高價被倫布蘭特學(xué)會買下。專家小組對于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來證明他高于三流畫家。當創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當他看到這幅“在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時就不太用心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們基本上解決。歷史背景:第17頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六原理與模型測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。用N(t)表示時間t時存在的原子數(shù),則：常數(shù)λ是正的，稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù)用λ來計算半衰期T:與負增長的Malthus模型完全一樣其解為:令則有:許多物質(zhì)的半衰期已被測定，如碳14，其T=5568；軸238，其T=45億年。第18頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六與本問題相關(guān)的其他知識:

(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）

(3)從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-<1s->鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206（一種非放射性物質(zhì)）注：時間均為半衰期

(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。第19頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六簡化假定：本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設(shè)：

(1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個常數(shù)。

(2)鉛210的衰變?yōu)椋恒U210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，已無法區(qū)別）。可用前者代替后者，因釙的半衰期較短，易于測量。第20頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六建模：

(1)記提煉白鉛的時刻為t=0，當時每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎敃r每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個。若則（個）這些鈾約重（克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。第21頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

(2)設(shè)t時刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出，從而可求出λy0的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。第22頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表3-1）。油畫名稱210分解數(shù)（個/分）鐳226分解數(shù)（個/分）1、在埃牟斯的門徒8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計算λy0

（個/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對“在埃牟斯的門徒”，λy0≈98050（個/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會是幾十年內(nèi)偽制品，因為放射性物質(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀和二十世紀的任何作品中。判定結(jié)果：第23頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。例如對有機物（動、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測定方法是放射性碳14測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳14（C14）。有機物存活時，它們通過新陳代謝與外界進行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測定，其C14衰減數(shù)為4.09個/每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個/每克每分鐘，C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。第24頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例6

新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟學(xué)家和社會學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。

設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：還有兩個奇解:x=0和x=K

對x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：第25頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。令x’’(t0)=0，有當t<t0時，x’(t)單調(diào)增加，當t>t0時，x’(t)單調(diào)減小。在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半時，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效果。第26頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§3.3

為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？1、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星?

（1）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度假設(shè)：（i）衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運動。（ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計。分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(shè)(ii)第27頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力故又有:從而:設(shè)g=9.81米/秒2，得:

衛(wèi)星離地面高度(公里)衛(wèi)星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進力及速度的分析假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計分析：記火箭在時刻t的質(zhì)量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數(shù)），由動量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發(fā)速度u及質(zhì)量比決定。

故：由此解得：(3.11)

第28頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六（2）火箭推進力及速度的分析現(xiàn)將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：（i）mP（有效負載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量——如外殼、燃料容器及推進器）。最終質(zhì)量為mP+mS，初始速度為0，所以末速度：根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，u只能達到3公里/秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過6.6公里/秒。目前根本不可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達到要求嗎？第29頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六2、理想火箭模型假設(shè)：記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設(shè)火箭能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以λ與（1-λ）的比例同時減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推算出m0/mp約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭第30頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六3、理想過程的實際逼近——多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)記火箭級數(shù)為n，當?shù)趇級火箭的燃料燒盡時，第i+1級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級火箭。用mi表示第i級火箭的質(zhì)量，mP表示有效負載。先作如下假設(shè)：（i）設(shè)各級火箭具有相同的λ,即i級火箭中λmi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（1-λ）mi為燃料質(zhì)量。（ii）設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為k?？紤]二級火箭：

由3.11式，當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為：當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為：該假設(shè)有點強加的味道，先權(quán)作討論的方便吧第31頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六又由假設(shè)（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍設(shè)u=3公里/秒，且為了計算方便，近似取λ=0.1，則可得：要使υ2=10.5公里/秒，則應(yīng)使:即k≈11.2，而:類似地，可以推算出三級火箭：

在同樣假設(shè)下:

要使υ3=10.5公里/秒，則(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進行討論。第32頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六考慮n級火箭：

記n級火箭的總質(zhì)量（包含有效負載mP）為m0，在相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的m0/mP的值，見表3-2n（級數(shù)）12345…

∞（理想）

火箭質(zhì)量（噸）/149776560…50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最好的方案。當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級火箭。第33頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六4、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計3中已經(jīng)能說過假設(shè)(ii)有點強加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)，在各級火箭具有相同λ的粗糙假設(shè)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP記應(yīng)用（3.11）可求得末速度：記則又問題化為，在υn一定的條件下，求使k1k2…kn最小

解條件極值問題：或等價地求解無約束極值問題：可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足：火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計討論中我們得到與假設(shè)（ii）相符的結(jié)果，這說明前面的討論都是有效的！第34頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§3.4

藥物在體內(nèi)的分布

何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來研究另一問題。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布第35頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻都是均勻分布的，設(shè)t時刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布第36頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六情況1快速靜脈注射機體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期：負增長率的Malthus模型

在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：（3.12）

第37頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六情況2恒速靜脈點滴機體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物似恒速點滴方式進入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿足：（x(0)=0）

（3.13）

這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對于多次點滴，設(shè)點滴時間為T1，兩次點滴之間的間隔時間設(shè)為T2，則在第一次點滴結(jié)束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時間內(nèi)為情況1。故：（第一次）

0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點滴時的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。第38頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機體外部藥物

口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以：解得：從而藥物濃度：第39頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同。圖3-9

我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t)，當然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。第40頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長時間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗、專業(yè)機構(gòu)評審及臨床研究。當一種新藥品、新疫苗研制出來后，研究人員必須用大量實驗搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時參考。在實驗中研究人員要測定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗據(jù)估計最少也需要數(shù)年時間。在2003年春夏之交的SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療SARS的良藥或預(yù)防SARS的有效疫苗來，但這只能是一種空想。SARS的突如其來，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國內(nèi)權(quán)威機構(gòu)一度曾認為這是“衣原體”引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實上，抗生素類藥物對SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅持認為SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個月后（4月16日），世界衛(wèi)生組織正式確認SARS是冠狀病毒的一個變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認并非是由權(quán)威機構(gòu)定義的，而是經(jīng)對猩猩的多次實驗證實的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當然就更困難了，企圖幾個月解決問題注定只能是一種不切實際的幻想。第41頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

上述研究是將機體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機體事實上并不是這樣。藥物進入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)圖3-10

圖3-10表示的是一種常見的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當用實驗測定，使之盡可能地接近實際情況。當差異較大的部分較多時，可以類似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)第42頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六hy§3.5

傳染病模型傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。問題的提出：第43頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時刻共有i人得病，t時刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時間內(nèi)將疾病傳播給k個人（k稱為該疾病的傳染強度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會康復(fù)模型1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。則可導(dǎo)出：故可得：

（3.15）

第44頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六模型2記t時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時刻的病人數(shù)為i。根據(jù)病人不死也不會康復(fù)的假設(shè)及（競爭項）統(tǒng)計籌算律，其中：解得：（3.17）可得：（3.16）統(tǒng)計結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報結(jié)果比(3.15)更接近實際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線為傳染病曲線，并稱最大值時刻t1為此傳染病的流行高峰。令：得：此值與傳染病的實際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報公式。

模型2仍有不足之處，它無法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當時間趨與無窮時，模型預(yù)測最終所有人都得病，與實際情況不符。為了使模型更精確，有必要再將人群細分，建立多房室系統(tǒng)第45頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六infectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l稱為傳染病恢復(fù)系數(shù)求解過程如下：對（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：解得：記：

則：將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記t時刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：模型3第46頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：從而解得：積分得：（3.19）

不難驗證，當t→+∞時，r(t)趨向于一個常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。

為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：其中通常是一個與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。下面對

進行討論，請參見右圖如果，則有，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來。如果，則開始時，i(t)單增。但在i(t)增加的同時，伴隨地有s(t)單減。當s(t)減少到小于等于時，i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14

第47頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：（1）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流傳，僅當易受感染的人數(shù)與超過閥值時，疾病才會流傳起來。（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導(dǎo)致所有人得病。（3）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。模型檢驗：

醫(yī)療機構(gòu)一般依據(jù)r(t)來統(tǒng)計疾病的波及人數(shù)，從廣義上理解，r(t)為t時刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對模型并無影響。及：注意到：可得：（3.20）

第48頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：代入（3.20）得近似方程：積分得：其中：這里雙曲正切函數(shù)：而：對r(t)求導(dǎo)：（3.21）第49頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六曲線在醫(yī)學(xué)上被稱為疾病傳染曲線。圖3-14給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實際登錄數(shù)進行比較擬合得最優(yōu)曲線。圖3-14（a）第50頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§3.6

糖尿病的診斷糖尿病是一種新陳代謝疾病，它是由胰島素缺乏引起的新陳代謝紊亂造成的。糖尿病的診斷是通過葡萄糖容量測試（GTT）來檢查的，較嚴重的糖尿病醫(yī)生不難發(fā)現(xiàn)，較為困難的是輕微糖尿病的診斷。輕微糖尿病診斷時的主要困難在于醫(yī)生們對葡萄糖容許劑量的標準看法不一。例如，美國羅得島的一位內(nèi)科醫(yī)生看了一份GTT測試的報告后認為病人患有糖尿病，而另一位醫(yī)生則認為此人測試結(jié)果應(yīng)屬正常。為進一步診斷，這份檢測報告被送到波士頓，當?shù)貙＜铱戳藞蟾婧髣t認為此人患有垂體腫瘤。二十世紀60年代中期，北愛爾蘭馬由醫(yī)院的醫(yī)生Rosevear和Molnar以及美國明尼蘇達大學(xué)的Ackeman和Gatewood博士研究了血糖循環(huán)系統(tǒng)，建立了一個簡單的數(shù)學(xué)模型，為輕微糖尿病的診斷提供了較為可靠的依據(jù)。模型假設(shè)根據(jù)生物、醫(yī)學(xué)等原理，作如下假設(shè)：(1)葡萄糖是所有細胞和組織的能量來源，在新陳代謝中起著十分重要的作用。每個人都有自己最適當?shù)难菨舛?，當體內(nèi)的血糖濃度過渡偏離這一濃度時，將導(dǎo)致疾病甚至死亡。(2)血糖濃度是處于一個自我調(diào)節(jié)系統(tǒng)之中的，它受到生理激素和其他代謝物的影響和控制，這些代謝物包括胰島素、高血糖素、腎上腺素、糖皮質(zhì)激素、生長激素、甲狀腺素等，統(tǒng)稱為內(nèi)分泌激素。(3)內(nèi)分泌激素中對血糖起主要影響的是胰島素，葡萄糖只有在胰島素的作用下才能在細胞內(nèi)進行大量的生化反應(yīng)，降低血糖濃度。此外，高血糖素能將體內(nèi)過量的糖轉(zhuǎn)化為糖元儲存于肝臟中，從而降低血糖的濃度。第51頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六模型用一、兩個參數(shù)來區(qū)分正常人與輕微病人（測量若干次），根據(jù)上述假設(shè)，建模時將研究對象集中于兩個濃度：葡萄糖濃度和激素濃度。以G表示血糖濃度，以H表示內(nèi)分泌激素的濃度。根據(jù)上述假設(shè)血糖濃度的變化規(guī)律依賴于體內(nèi)現(xiàn)有的血糖濃度及內(nèi)分泌激素的濃度，記這一依賴關(guān)系為函數(shù)F(G,H)。而內(nèi)分泌激素濃度的變化規(guī)律同樣依賴于體內(nèi)現(xiàn)有的血糖濃度以及內(nèi)分泌激素的濃度，記其依賴關(guān)系為函數(shù)F(G,H)，故有：=(G,H)+J(t)

=(G,H)（3.19）其中J(t)為被檢測者在開始檢測后服下的一定數(shù)量的葡萄糖。病人在檢測前必須禁食，故可設(shè)檢測前病人血糖濃度及內(nèi)分泌激素的濃度均已處于平衡狀態(tài)

第52頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六即可令t=0時G=G0,H=H0且F1

(G0,H0)=0F2(G0,H0)=0從而有

在測試過程中G,H均為變量，而我們關(guān)心的卻只是它們的改變量，故令g=G–G0,h=H–H0,在（3.19）中將展開，得到其中、是g和h的高階無窮小量。第53頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

很小時（即檢測者至多為輕微病人時），為求解方便，我們考察不包含它們的近似方程組

方程組（3.20）是一個非線性方程組，較難求解。當

、

首先，我們來確定右端各項的符號。從圖中可看出，當J(t)=0時,若g＞0且h=0，則此人血糖濃度高于正常值，內(nèi)分泌激素將促使組織吸收葡萄糖，并將其存儲進肝臟，此時有﹤0，從而應(yīng)有：<0第54頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六其激素濃度將增加以抑制血糖濃度的增高，因而又有：:＞0反之，當J(t)=0而g=0且h＞0時，此人激素濃度高于正常值，血糖濃度及激素濃度均將減少，從而必有將方程組（3.20）改寫成其中均為正常數(shù)。第55頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六（3.21）是關(guān)于g、h的一階常系數(shù)微分方程組，因激素濃度不易測得，對前式再次求導(dǎo)化為：由于故或(3.22),,令則(3.22)可簡寫成

(3.23)其中,,第56頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)在t=0時患者開始被測試，他需在很短時間內(nèi)喝下一定數(shù)量的外加葡萄糖水，如忽略這一小段時間，此后方程可寫成(3.24)（注：要考慮這一小段時間的影響可利用Dirac的δ函數(shù)）(3.24)式具有正系數(shù)，且當t趨于無窮時g趨于0，（體內(nèi)的葡萄糖濃度將逐漸趨于平衡值），不難證明G將趨于g（t）的解有三種形式，取決于的符號。＜0時可得(1)當其中，所以

(3.25)(3.25)式中含有5個參數(shù)，即、A、α、和δ，用下述方法可以確定它們的值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖濃度應(yīng)為（檢查前患者是禁食的）,可先作一次測試將其測得。第57頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六進而，取t=(i=1、2、3、4)各測一次，將測得的值代入（3.25），得到一個方程組，由此可解得相應(yīng)的參數(shù)值。一般，為了使測得的結(jié)果更準確，可略多測幾次，如測5-6次，再根據(jù)最小平方誤差來求參數(shù)，即求解min解出所需的參數(shù)當≥0時可類似加以討論。實際計算時不難發(fā)現(xiàn)，G的微小誤差會引起α的很大偏差，故任一包含α的診斷標準都將是不可靠的。同時也可發(fā)現(xiàn)G對并不十分敏感（計算結(jié)果與實際值相差較?。士捎玫臏y試結(jié)果作為GTT檢測值來判斷此人是否真的患有輕微的糖尿病。為了判斷上的方便，一般利用所謂自然周期T作為判別標準根據(jù)人們的生活習(xí)慣，兩餐之間的間隔時間大體為4小時。臨床應(yīng)用顯示，在T＜4（小時）時一般表示為正常情況，當T明顯大于4小時時一般表示此人的確患有輕微的糖尿病。由于內(nèi)分泌激素濃度不易測量，在上面的建模過程中對各種不同激素未加以一一區(qū)別，即對其采用了集中參數(shù)法。這樣做雖大大簡化了模型，但也在一定程度上影響了模型的應(yīng)用效果。臨床應(yīng)用時發(fā)現(xiàn)，在患者飲下葡萄糖水大約3-5小時后，測得的數(shù)據(jù)有一定的偏差，其原因可能是內(nèi)分泌激素的作用造成的，因而，要得到更精確的結(jié)果，當然要考慮到內(nèi)分泌激素濃度的變化，建立更精確的模型。羅德島醫(yī)院已找到一種測量內(nèi)分泌濃度的方法，相信在此基礎(chǔ)上一定可以設(shè)計出診斷輕微糖尿病的更好方法。第58頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§3.7

穩(wěn)定性問題

在研究許多實際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。第59頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點或奇點。第60頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例7本章第2節(jié)中的Logistic模型共有兩個平衡點：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。

當No<K時，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當No>K時，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標的空間Rn。特別，當n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn的點集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。第61頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點，稱：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的ε>0，存在一個δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點N=0則是不穩(wěn)定的。第62頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當x與xo充分接近時，有：由于xo是平衡點，故f(xo)=0。若，則當x<xo時必有f(x)>0，從而x單增；當x>xo時，又有f(x)<0，從而x單減。無論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡單介紹一下兩階微分方程組平衡點的穩(wěn)定性判別方法。第63頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六考察兩階微分方程組：（3.29）

令，作一坐標平移，不妨仍用x記x’，則平衡點xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點展開，（3.29）又可寫成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：第64頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當p>0時，零點不穩(wěn)定；當p<0時，零點穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0當c1=0時，零點穩(wěn)定當c1≠0時,零點為不穩(wěn)定的鞍點③q=0，此時λ1=p，λ2=0，零點不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:λ有兩個線性無關(guān)的特征向量當p>0時，零點不穩(wěn)定當p<0時，零點穩(wěn)定第65頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六②如果λ只有一個特征向量當p≥0時，零點不穩(wěn)定當p>0時，零點穩(wěn)定（2）△<0，此時若a>0，零點穩(wěn)定若a=0，有零點為中心的周期解

綜上所述：僅當p<0且q>0時，（3.30）零點才是漸近穩(wěn)定的；當p=0且q>0時（3.30）有周期解，零點是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點也是不穩(wěn)定的。第66頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§3.8

捕食系統(tǒng)的Volterra方程問題背景：

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對捕食者有利而不是對食餌有利呢？他百思不得其解，無法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當時著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個數(shù)學(xué)模型研究這一問題。第67頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨立生存將按增長率為r1的指數(shù)律增長（Malthus模型），既設(shè)：由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競爭項的統(tǒng)計籌算律），即：對于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力第68頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六對于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開食餌獨立存在時的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競爭來實現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來分析該方程組。第69頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六2、模型分析方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個平衡點，即：Po(0,0)是平凡平衡點且明顯是不穩(wěn)定，沒必要研究方程組還有兩組平凡解：和和所以x1、x2軸是方程組的兩條相軌線。當x1(0)、x2(0)均不為零時，，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。第70頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六求（3.31）的相軌線將兩方程相除消去時間t，得：分離變量并兩邊積分得軌線方程：（3.32）令兩者應(yīng)具有類似的性質(zhì)用微積分知識容易證明：有：同理：對有：第71頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六圖3-20(b)圖3-20(a)與的圖形見圖3-20易知僅當時（3.32）才有解記：討論平衡點的性態(tài)。當時，軌線退化為平衡點。當時，軌線為一封閉曲線（圖3-21），即周期解。圖3-21證明具有周期解。只需證明：存在兩點及，<

當<x1<時，方程（3.32）有兩個解，當x1=或x1=時，方程恰有一解，而在x1<或x1>時，方程無解。第72頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六事實上，若，記，則由的性質(zhì)，，而，使得：。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當<x1<時。此時：由的性質(zhì)，，使成立。當x1=或時，，僅當時才能成立。而當x1<或x1>時，由于，故無解。得證。第73頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六確定閉曲線的走向用直線將第一象限劃分成四個子區(qū)域在每一子區(qū)域，與不變號，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22）圖3-22將Volterra方程中的第二個改寫成：將其在一個周期長度為T的區(qū)間上積分，得等式左端為零，故可得：同理：平衡點P的兩個坐標恰為食用魚與食肉魚在一個周期中的平均值。第74頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六解釋D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象引入捕撈能力系數(shù)ε，（0<ε<1），ε表示單位時間內(nèi)捕撈起來的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：平衡點P的位置移動到了：由于捕撈能力系數(shù)ε的引入，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下降，ε越大，平衡點的移動也越大。食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！第75頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對直理，但在一定程度上是附合客觀實際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因為殺蟲劑在殺死害蟲的同時也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來，使用殺蟲劑的結(jié)果會適得其反，害蟲更加猖獗了。（3）捕魚對食用魚有利而對食肉魚不利，多捕魚（當然要在一定限度內(nèi)，如ε<r1）能使食用魚的平均數(shù)量增加而使食肉魚的平均數(shù)量減少。根據(jù)P-P模型，我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論：（1）食用魚的平均量取決于參數(shù)r1與λ1（2）食用魚繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚平均量的減小，食肉魚捕食能力λ1的增大也會使自己的平均量減小；反之，食肉魚死亡率r2的降低或食餌對食肉魚供養(yǎng)效率λ2的提高都將導(dǎo)致食用魚平均量的減少。第76頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§3.9

較一般的雙種群生態(tài)系統(tǒng)

Volterra的模型揭示了雙種群之間內(nèi)在的互相制約關(guān)系，成功解釋了D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。然而，對捕食系統(tǒng)中存在周期性現(xiàn)象的結(jié)論，大多數(shù)生物學(xué)家并不完全贊同，因為更多的捕食系統(tǒng)并沒有這種特征。

一個捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未必適用于另一捕食系統(tǒng)，捕食系統(tǒng)除具有共性外，往往還具有本系統(tǒng)特有的個性，反映在數(shù)學(xué)模型上也應(yīng)當有所區(qū)別?，F(xiàn)考察較為一般的雙種群系統(tǒng)。第77頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六一般的雙種群系統(tǒng)

仍用x1(t)和x2(t)記t時刻的種群量（也可以是種群密度），設(shè)Ki為種群i的凈相對增長率。

Ki隨種群不同而不同，同時也隨系統(tǒng)狀態(tài)的不同而不同，即Ki應(yīng)為x1、x2的函數(shù)。Ki究竟是一個怎樣的函數(shù)，我們沒有更多的信息。不妨再次采用一下工程師們的原則，采用線性化方法。這樣，得到下面的微分方程組：（3.33）不僅可以用來描述捕食系統(tǒng)。也可以用來描述相互間存在其他關(guān)系的種群系統(tǒng)。（3.33）第78頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六（3.33）式的一些說明式中a1、b2為本種群的親疏系數(shù)，a2、b1為兩種群間的交叉親疏系數(shù)。a2b1≠0時，兩種群間存在著相互影響，此時又可分為以下幾類情況：（i）a2>0，b1>0，共棲系統(tǒng)。（ii）a2<0，b1>0（或a2>0，b1<0），捕食系統(tǒng)。（iii）a2<0，b1<0，競爭系統(tǒng)。（i）—（iii）構(gòu)成了生態(tài)學(xué)中三個最基本的類型，種群間較為復(fù)雜的關(guān)系可以由這三種基本關(guān)系復(fù)合而成。第79頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六（3.33）是否具有周期解不同的系統(tǒng)具有不同的系數(shù)，在未得到這些系數(shù)之前先來作一個一般化的討論。首先，系統(tǒng)的平衡點為方程組:（3.34）的解。如果系統(tǒng)具有非平凡平衡點則它應(yīng)當對應(yīng)于方程組均為平凡平衡點。的根第80頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六解得：P存在時，P一般是穩(wěn)定平衡點，此時平凡平衡點常為不穩(wěn)定的鞍點。證明：記（無圈定理）若方程組（3.33）的系數(shù)滿足（i）A=a1b2－a2b1≠0（ii）B=a1b0（a２－b2）－a０b2（a1－b１）≠０

則(3.33)不存在周期解定理3作函數(shù)，并記f(x1,x2)=x1(a0+a1x1+a2x2)，g(x1,x2)=x2(b0+b1x1+b2x2)，容易驗證：假設(shè)結(jié)論不真，則在x1~x2平面第一象限存在（3.33）的一個圈Γ，它圍成的平面區(qū)域記為R。第81頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六于是由K（x1,x2）>0且連續(xù)以及AB≠0可知，函數(shù)在第一象限中不變號且不為零，故二重積分：（3.35）但另一方面，由格林公式注意到，，又有:（3.36）其中T為周期。（3.35）與（3.36）矛盾，說明圈Γ不可能存在。對于Voltera方程，由a1=b2=0，得B=0；所以無圈定理不適用于Volterra方程。第82頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六對于一般的生態(tài)系統(tǒng)，如果通過求解的微分方程來討論常常會遇到困難。怎樣來討論一般的生態(tài)系統(tǒng)如果困難的話可以研究種群的變化率，搞清軌線的走向來了解各種群數(shù)量的最終趨勢。第83頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六簡化模型，設(shè)競爭系統(tǒng)的方程為：其中αβ不為0，否則為Logistic模型。方便討論取α=β=1，但所用方法可適用一般情況。（競爭排斥原理）若K1>K2，則對任一初態(tài)（x1(0),x2(0)），當t→+∞時，總有（x1(t),x2(t)）→（K1,0），即物種2將絕滅而物種1則趨于環(huán)境允許承擔的最大總量。定理4第84頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六作直線l1:x1+x2=K1及l(fā)2:x1+x2=