彎曲剪切計算

第1頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六本章內(nèi)容10.1

梁彎曲時橫截面上的正應力10.2

梁的正應力強度計算10.3

提高梁抗彎強度的途徑10.4

梁的剪應力和剪應力的強度計算10.5

梁的主應力第2頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六10.1梁彎曲時橫截面上的正應力圖10.1(a)所示的簡支梁，荷載與支座反力都作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，其剪力圖和彎矩圖如圖10.1(b)、(c)所示。由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為剪切彎曲(或橫力彎曲)。在梁的CD段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。第3頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.1第4頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六取一矩形截面等直梁，先在其表面畫兩條與軸線垂直的橫線Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ，以及兩條與軸線平行的縱線ab和cd(圖10.2(a))。然后在梁的兩端各施加一個力偶矩為M的外力偶，使梁發(fā)生純彎曲變形(圖10.2(b))。可以觀察到如下現(xiàn)象：

（1）梁變形后，橫線Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍為直線，并與變形后梁的軸線垂直，但傾斜了一個角度。

（2）縱向線變成了曲線，靠近頂面的ab縮短了，靠近底面的cd伸長了。10.1.1現(xiàn)象與假設第5頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的兩點假設：(1)

平面假設假設梁的橫截面變形后仍保持為平面，只是繞橫截面內(nèi)某軸轉(zhuǎn)了一個角度，偏轉(zhuǎn)后仍垂直于變形后的梁的軸線。(2)

單向受力假設將梁看成是由無數(shù)縱向纖維組成，假設所有縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，互相之間無擠壓。第6頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.2第7頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(1)

變形的幾何關系將梁變形后截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ之間的一段截取出來進行研究(圖10.3)。若把OO′縱線看成材料的一層纖維，則這層纖維既不伸長也不縮短，稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，如圖10.4所示?？v線cd的線應變?yōu)?0.1.2純彎曲梁的正應力第8頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(2)

物理關系由于假設縱向纖維之間無擠壓，只受到單向軸向拉伸或壓縮，所以在正應力不超過比例極限時，由拉壓虎克定律可得

σ=Eε=Ey/ρ對于確定的截面，E與ρ均為常數(shù)。式(b)說明，橫截面上任一點的正應力與該點到中性軸的距離成正比，即應力沿截面高度方向成線性規(guī)律分布，如圖10.5所示。第9頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(3)

靜力關系在橫截面上取一微面積dA，其微內(nèi)力為σdA，梁發(fā)生純彎曲時，橫截面上內(nèi)力簡化的結果只有彎矩M，如圖10.6所示。第10頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

計算正應力時，M和y均可代入絕對值，正應力σ的正負號直接由梁的變形來判斷。以中性層為界，梁變形后凸出邊的正應力為拉應力，取正值；凹入邊的正應力為壓應力，取負值(圖10.7)。第11頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.1】一懸臂梁的截面為矩形，自由端受集中力P作用(圖10.8(a))。已知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a點的正應力及固定端截面上的最大正應力?！窘狻?1)

計算固定端截面上的彎矩M

M=Pl=4×250kN·mm=1000kN·mm(2)

計算固定端截面上a點的正應力

Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4

σa=M/Izya=13.9MPa第12頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(3)

計算固定端截面上的最大正應力固定端截面的最大正應力發(fā)生在該截面的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以看出，上邊緣產(chǎn)生最大拉應力，下邊緣產(chǎn)生最大壓應力，其應力分布如圖10.8(b)所示。最大正應力值為

σmax=M/Iz·ymax=41.7MPa第13頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.2】簡支梁受均布荷載q作用，如圖10.9(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，該梁由10號槽鋼平置制成。試計算梁的最大拉應力σlmax和最大壓應力σymax以及它們發(fā)生的位置?！窘狻?1)

求支座反力由對稱性有

RA=RB=ql/2=5.25kN

(2)

作出彎矩圖，如圖10.9(b)所示。最大彎矩發(fā)生在跨中截面，其值為

Mmax=ql2/8=0.44kN·m第14頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(3)

由型鋼表查得10號槽鋼截面

Iz=25.6cm4=25.6×104mm4

y1=1.52cm=15.2mm

y2=3.28cm=32.8mm(4)

計算正應力最大拉應力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處

σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa最大壓應力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處

σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa第15頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.3第16頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.4第17頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.5第18頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.6第19頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.7第20頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.8第21頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.8第22頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.9第23頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六10.2梁的正應力強度計算在進行梁的強度計算時，必須算出梁的最大正應力值。對于等直梁，彎曲時的最大正應力一定在彎矩最大的截面的上、下邊緣。該截面稱為危險截面，其上、下邊緣的點稱為危險點。(1)

對于中性軸是截面對稱軸的梁

最大正應力的值為

σmax=Mmax/Wz式中Wz稱為抗彎截面系數(shù)

10.2.1最大正應力第24頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(2)

對于中性軸不是截面對稱軸的梁例如圖10.10所示的T形截面梁，在正彎矩M作用下，梁下邊緣處產(chǎn)生最大拉應力，上邊緣處產(chǎn)生最大壓應力，其值分別為

σlmax=M/Iz·y1

σymax=M/Iz·y2令Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2則σlmax=M/Wl，σymax=M/Wy第25頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.10第26頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(1)

當材料的抗拉和抗壓能力相同時，即［σl］=［σy］=［σ］，則梁的正應力強度條件為

σmax=Mmax/Wz≤［σ］①強度校核在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸，以及所受荷載的情況下，可以檢查梁是否滿足正應力強度條件。②截面設計當已知荷載和梁的材料時，可根據(jù)強度條件，計算所需的抗彎截面系數(shù)

Wz≥Mmax/［σ］再根據(jù)梁的截面形狀進一步確定截面的具體尺寸。10.2.2正應力強度條件第27頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六③確定許可荷載如已知梁的材料和截面尺寸，先根據(jù)強度條件，計算出梁所能承受的最大彎矩

Mmax≤Wz［σ］再由Mmax與荷載間的關系計算出許可荷載。(2)

當材料的抗拉和抗壓能力不相同時，即［σl］≠［σy］，則梁的正應力強度條件為

σlmax=Mmax/Wl≤［σl］

σymax=Mmax/Wy≤［σy］第28頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.3】重物安裝在如圖10.11(a)所示的結構上，重物P=40kN，對稱地固定在兩根同型號的工字鋼外伸梁上，已知工字鋼的許用應力［σ］=60MPa。試選擇工字鋼的型號。【解】(1)

外伸梁的計算簡圖和彎矩圖分別如圖10.11(b)、(c)所示。危險截面為A截面，最大彎矩值為

Mmax=40kN·m(2)

求抗彎截面模量

Wz≥Mmax/［σ］=40×106/60mm3=667cm3

Wz是兩根工字鋼的抗彎截面系數(shù)，對于單根的工字鋼，抗彎截面系數(shù)第29頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

Wz′=Wz/2≥667/2cm3=333cm3查型鋼表有22b號工字鋼，其抗彎截面系數(shù)Wz=325cm3，比所求略小，但誤差僅為2.4%，沒有超過5%，是允許的。故選22b號工字鋼。第30頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.4】矩形截面的木擱柵兩端擱在墻上，承受由地板傳來的荷載(圖10.12(a))。若地板的均布面荷載p=3kN/m2，木擱柵的間距a=1.2m，跨度l=5m，木材的許用應力［σ］=12MPa。試求：(1)當截面的高寬比h/b=1.5，試設計木梁的截面尺寸b、h；(2)當此木擱柵采用b=140mm、h=210mm的矩形截面時，試計算地板的許可面荷載［p］?！窘狻?1)

設計木擱柵的截面尺寸木擱柵支承在墻上，可簡化為簡支梁計算(如圖10.12(b))。每根木擱柵的受荷寬度a=1.2m，所以其承受的均布線荷載為第31頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

q=pa=3×1.2kN/m=3.6kN/m最大彎矩發(fā)生在跨中截面

Mmax=ql2/8=3.6×52/8kN·m=11.25kN·m由強度條件可得所需的抗彎截面系數(shù)為

Wz≥Mmax/［σ］=937.5×103mm3由于h=1.56，有

Wz=bh2/6=b(1.5b)2/6=2.25b3/6所以2.25b3/6≥937.5×103得b≥136mm為施工方便，取b=140mm，則

h=1.5b=210mm第32頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(2)

求地板的許可面荷載［p］當木擱柵的截面尺寸為b=140mm、h=210mm時，抗彎截面系數(shù)為

Wz=bh2/6=140×2102/6mm3=1.029×106mm3木擱柵能承受的最大彎矩為

Mmax≤Wz［σ］=1.029×106×12N·mm

=12.3×106N·mm=12.3kN·m而Mmax=ql2/8=pal2/8即pal2/8≤12.3kN·m

p≤12.3×8/1.2×52kN/m2=3.25kN/m2所以，地板的許可面荷載［p］=3.25kN/m2。第33頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.5】T形截面外伸梁的受力如圖10.13(a)所示。已知材料的許用拉應力［σl］=32MPa，許用壓應力［σy］=70MPa。試按正應力強度條件校核梁的強度?！窘狻?1)

畫出M圖如圖10.13(b)，由圖中可知，B截面有最大的負值彎矩，C截面有最大的正值彎矩。(2)

計算截面形心的位置及截面對中性軸的慣性矩。取下邊界為參考軸z0，確定截面形心C的位置(圖10.13(c))

yC=∑yiAi/∑Ai=139mm計算截面對中性軸z的慣性矩

Iz=40.3×106mm4

第34頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(3)

校核強度由于梁的抗拉強度與抗壓強度不同，且截面中性軸z不是對稱軸，所以梁的最大負彎矩和最大正彎矩截面都需校核。校核B截面的強度：

B截面為最大負彎矩截面，其上邊緣產(chǎn)生最大拉應力，下邊緣產(chǎn)生最大壓應力。

σlmax=MB/Izy上=30.3MPa<［σl］

σymax=MB/Izy下=69MPa<［σy］校核C截面強度：第35頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

C截面為最大正彎矩截面，其上邊緣產(chǎn)生最大壓應力，下邊緣產(chǎn)生最大拉應力。

σymax=MC/Izy上=5.1MPa<［σy］

σlmax=MC/Izy下=34.5MPa＞［σl］所以梁的強度不夠。C截面彎矩的絕對值雖不是最大，但因截面的受拉邊緣距中性軸較遠，而求得的最大拉應力較B截面大。因此對于抗拉與抗壓性能不同的脆性材料，當截面中性軸z不是對稱軸時，對梁的最大正彎矩與最大負彎矩截面均要校核強度。第36頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.11第37頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.12第38頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.13第39頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六10.3提高梁抗彎強度的途徑一般情況下，梁的設計是以正應力強度條件為依據(jù)。由等直梁的正應力強度條件

σmax=Mmax/Wz≤［σ］可以看出，梁橫截面上最大正應力與最大彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比。所以提高梁的彎曲強度主要從降低最大彎矩值和增大抗彎截面系數(shù)這兩方面進行。第40頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(1)

合理布置梁的支座以簡支梁受均布荷載作用為例(圖10.14(a))，跨中最大彎矩Mmax=1/8ql2，若將兩端的支座各向中間移動0.2l(圖10.14(b))，最大彎矩將減小為Mmax=ql2/40，僅為前者的1/5。因而在同樣荷載作用下，梁的截面可減小，這樣就大大節(jié)省材料，并減輕自重。10.3.1降低最大彎矩值第41頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(2)

改善荷載的布置情況若結構上允許把集中荷載分散布置，可以降低梁的最大彎矩值。例如簡支梁在跨中受一集中力P作用(圖10.15(a))，其Mmax=1/4Pl。若在AB梁上安置一根短梁CD(圖10.15(b))，最大彎矩將減小為Mmax=1/8Pl，僅為前者的1/2。又如將集中力P分散為均布荷載q=P/l(圖10.15(c))，其最大彎矩減小為Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原來的1/2。第42頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(3)

合理布置荷載作用位置將荷載布置在靠近支座處比布置在跨中時，最大彎矩值要小得多。例如承受集中力P作用的簡支梁，荷載作用在梁中點時(圖10.16(a))，最大彎矩Mmax=1/4Pl，若荷載靠近支座作用(圖10.16(b))，則最大彎矩Mmax=5/36Pl，減小近一半，且隨著荷載離支座距離的縮小而繼續(xù)減小。第43頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(4)

適當增加梁的支座由于梁的最大彎矩與梁的跨度有關，增加支座可以減小梁的跨度，從而降低最大彎矩值。例如均布荷載作用的簡支梁，在梁中間增加一個支座(圖10.17)，則｜Mmax｜=1/32ql2，只是原梁的1/4。第44頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.14第45頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.15第46頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.16第47頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.17第48頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(1)

選擇抗彎截面系數(shù)Wz與截面面積A比值高的截面梁所能承受的彎矩與抗彎截面系數(shù)Wz成正比，Wz不僅與截面的尺寸有關，還與截面的形狀有關。梁的橫截面面積愈大，Wz也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面應該是用最小的面積得到最大的抗彎截面系數(shù)。表10.1列出幾種常用截面形狀Wz/A的比值。從表中可看出，圓形截面的比值最小，矩形截面次之，工字鋼及槽鋼較好。10.3.2選擇合理的截面形狀第49頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(2)

根據(jù)材料的特性選擇截面由正應力強度條件

σlmax=Mmax/Wl=Mmax/I·y1≤［σl］

σymax=Mmax/Wy=Mmax/I·2≤［σy］可知，當截面的最大拉應力與壓應力同時達到其許用值時，材料才能得到充分利用，故同時滿足以上兩式的截面形狀才是合理的。由以上兩式取等號相比得

［σl］/［σy］=y1/y2第50頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

對于抗拉和抗壓強度相等的塑性材料，由于［σl］=［σy］，則要求y1=y2，應采用對稱于中性軸的截面，如矩形、圓形、工字形等截面。

對于抗拉和抗壓強度不相等的脆性材料，由于［σl］≠［σy］，則要求y1≠y2，應采用不對稱于中性軸的截面，如T形、槽形等截面。還應注意脆性材料的［σy］往往比［σl］大得多，因此受壓邊緣離中性軸的距離y2應較大。第51頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六表10.1幾種常用截面Wz/A的比值第52頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩Mmax確定的，其他截面由于彎矩小，最大應力都未達到許用應力值，材料未得到充分利用。為了充分發(fā)揮材料的潛力，在彎矩較大處采用較大截面，而在彎矩較小處采用較小截面。這種橫截面沿梁軸線變化的梁稱為變截面梁。若變截面梁各橫截面上的最大正應力都恰好等于材料的許用應力，稱為等強度梁。等強度梁的Wz(x)沿梁軸線變化的規(guī)律為

Wz(x)=M(x)/［σ］10.3.3采用變截面梁第53頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

從強度觀點看，等強度梁是最理想的，但因截面變化，這種梁的施工較困難。因此在工程上常采用形狀簡單的變截面梁，來代替理論上的等強度梁。

例如，在房屋建筑中的陽臺及雨篷挑梁，如圖10.18所示，梁的截面高度是變化的，自由端較小，固定端較大。第54頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.18第55頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六10.4梁的剪應力和剪應力的強度計算(1)

矩形截面梁的剪應力矩形截面梁橫截面上各點處的剪應力方向都與剪力Q的方向一致，距中性軸z距離為y的任意一點處的剪應力

τ=QSz/(Izb)剪應力沿截面寬度方向均勻分布，沿截面高度方向按拋物線規(guī)律分布，如圖10.19(b)、(c)所示。在中性軸處剪應力最大，其值為

τmax=3Q/2A10.4.1梁橫截面上的剪應力第56頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(2)

工字形截面梁的剪應力工字形截面由腹板和翼緣組成。腹板是一個狹長的矩形，其剪應力可按矩形截面的剪應力公式計算，距中性軸距離為y處的剪應力

τmax=QSz/（Izd）剪應力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布，最大剪應力產(chǎn)生在中性軸處，如圖10.20(b)所示，其值為第57頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(3)

圓形截面梁的最大剪應力圓形截面梁橫截面上的剪應力分布較復雜，但最大剪應力仍產(chǎn)生在中性軸處，其方向與剪力Q的方向相同，如圖10.21(a)所示，其值為

τmax=4Q/3A薄壁圓環(huán)形截面梁，最大剪應力也產(chǎn)生在中性軸上，如圖10.21(b)所示，其值為

τmax=2Q/A第58頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.6】一矩形截面的簡支梁，在跨中受集中力P=50kN的作用(圖10.22(a))。已知l=10m，b=100mm，h=200mm。試求：

(1)m-m截面上距中性軸y=50mm處K點的剪應力；

(2)比較梁的最大正應力和最大剪應力；

(3)若采用32a號工字鋼梁，計算最大剪應力；

(4)計算工字鋼梁m-m截面上腹板與翼緣交界處E點的剪應力?！窘狻?1)計算m-m截面上K點的剪應力畫出梁的剪力圖和彎矩圖(圖10.22(b)、(c))，m-m截面的剪力為

Q=25kN第59頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六計算Iz和Sz

Iz=bh3/12=100×2003/12mm4=66.7×106mm4

Sz=100×50×75mm3=375×103mm3

K點的剪應力為

τK=QSz/Izb=25×103×375×103/66.7×106×100MPa

=1.41MPa(2)

比較梁的σmax和τmax梁的最大剪力為

Qmax=25kN所以最大剪應力為

τmax=3/2Qmax/A

=3/2×25×103/(100×200)MPa=1.88MPa第60頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六抗彎截面系數(shù)

Wz=bh2/6=100×2002/6mm3=66.7×104mm3所以最大正應力為

σmax=Mmax/Wz=125×106/66.7×104MPa=187MPa故σmax/τmax=187/1.88=99.5可見，梁中的最大正應力比最大剪應力大得多，故在梁的強度計算中，正應力強度計算是主要的。(3)

計算32a號工字鋼梁的最大剪應力由型鋼表查得

Iz/Szmax=27.5cmd=0.95cm第61頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

h=32cmb=13cm

t=1.5cmIz=11075.5cm4最大剪應力為

τmax=Qmax/(Iz/Szmax·d)=9.58MPa(4)

計算m-m截面上E點的剪應力

E點以下截面對中性軸的靜矩為

Sz=bt(h/2-t/2)=130×15×(320/2-15/2)mm3

=297.4×103mm3所以，E點的剪應力為

τE=QSz/Izd=7.06MPa

第62頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.19第63頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.20第64頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.21第65頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.22第66頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六梁的最大剪應力產(chǎn)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，所以梁的剪應力強度條件為

τmax=QmaxSzmax/Izb≤［τ］在以下幾種特殊情況下，需作剪應力強度校核：

(1)

梁的跨度較短；

(2)

在支座附近有較大荷載；

(3)

工字形截面的梁其腹板厚度很?。?/p>

(4)

對于木梁中順紋的［τ］較［σ］小很多。10.4.2梁的剪應力強度計算第67頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.7】簡支梁AB如圖10.23(a)所示。已知l=2m，a=0.2m；梁上的荷載q=20kN/m，P=190kN；材料的許用應力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa。試選擇工字鋼梁的型號?！窘狻?1)

畫出梁的Q圖和M圖，如圖10.23(b)、(c)所示。(2)

根據(jù)正應力強度條件選擇工字鋼型號由M圖可見，最大彎矩為

Mmax=48kN·m由正應力強度條件

Wz≥Mmax/［σ］=48×106/160mm3=300cm3查型鋼表，選用22a號工字鋼，其Wz=309cm3。第68頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(3)

剪應力強度校核由型鋼表中查出22a號工字鋼：

Iz/Szmax=18.9cm，d=0.75cm由Q圖知，最大剪力為

Qmax=210kN由剪應力強度條件

τmax=Qmax/(Iz/Szmax·d)=148MPa>［τ］因τmax遠大于［τ］，應重新選擇更大的截面。現(xiàn)以25b號工字鋼進行試算，由型鋼表查得：

Iz/Szmax=21.27cm，d=1cm第69頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六再次進行剪應力強度校核

τmax=Qmax/(Iz/Szmax·d)

=210×103/21.27×10×10MPa

=98.6MPa<［τ］最后確定選用25b號工字鋼。第70頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.8】施工吊車軌道矩形截面枕木如圖10.24(a)所示。已知矩形截面尺寸的比例為b∶h=3∶4，枕木的許用應力［σ］=15.6MPa，［τ］=1.8MPa，吊車車輪壓力P=55kN。試選擇枕木截面尺寸?！窘狻?1)

畫出梁的Q圖和M圖，如圖10.24(c)、(d)所示。(2)

根據(jù)正應力強度條件設計截面尺寸由M圖可知，最大彎矩為

Mmax=55×0.2=11kN·m由正應力強度條件

Wz≥Mmax/［σ］=11×106/15.6mm3

=705.1×103mm3第71頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六由于b∶h=3∶4，有

Wz=bh2/6=h3/8所以h3/8≥705.1×103mm3得h≥178mm取h=140mm，則

b=3/4h=3/4×140mm=135mm(3)

剪應力強度校核由Q圖可知，最大剪力為

Qmax=55kN最大剪應力為

τmax=3Qmax/2A=3.40MPa>［τ］=1.8MPa第72頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六原設計的截面尺寸不能滿足剪應力強度條件，必須根據(jù)剪應力強度條件重新設計截面尺寸。(4)

根據(jù)剪應力強度條件設計截面尺寸

τmax=3Qmax/2A=≤1.8得h2≥3×55×103×4/2×3×1.8mm2=61111mm2

h≥247mm取h=248mm，則

b=3/4h=186mm最后確定的枕木矩形截面尺寸為h=248mm，b=186mm。第73頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.8】一民用房屋的三角形屋架，桁條采用圓木，桁條間距為90cm，屋面上總荷載(包括瓦、屋面板、桁條等重量)為1.1kN/m2，木材的許用應力［σ］=12MPa，［τ］=1.3MPa。試選擇桁條的梢徑d0。【解】(1)

桁條的計算簡圖如圖10.25(c)，荷載q為

q=1.1×0.9kN/m=0.99kN/m(2)

畫出桁條的Q圖和M圖，如圖10.25(d)、(e)所示。(3)

根據(jù)正應力強度條件設計桁條直徑d由M圖可知，

Mmax=1/8ql2=1/8×0.99×42kN·m=1.98kN·m第74頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六由正應力強度條件

Wz≥Mmax/［σ］

=1.98×106/12mm3=165×103mm3

Wz=πd3/32≥165×103mm3

d≥118.9mm=11.89cm圓木直徑是沿長度變化的，一般變化規(guī)律是直徑沿每米長度變化為0.9cm。圓木直徑一般用梢徑表示，而上面求出的d是跨中的直徑，故梢徑d0為

d0=11.89-0.9×4/2=10.09cm取梢徑d0=11cm。第75頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六(4)

剪應力強度校核由Q圖知，最大剪力為

Qmax=1/2ql=1/2×0.99×4=1.98kN最大剪應力為

τmax=4Qmax/3A=0.28MPa<［τ］=1.3MPa滿足剪應力強度條件。第76頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.23第77頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.24第78頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.25第79頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六10.5梁的主應力前面研究了梁在橫截面上的應力分布規(guī)律及其計算，并建立了橫截面正應力和剪應力的強度條件：

σmax≤［σ］，τmax≤［τ］但實際上梁還可能沿斜截面發(fā)生破壞。

例如圖10.26所示的鋼筋混凝土梁，在荷載作用下，除了在跨中產(chǎn)生豎向裂縫外，支座附近會發(fā)生斜向裂縫。這說明在梁的斜截面上也存在著導致破壞的應力。第80頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.26第81頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六當研究梁內(nèi)任意一點A斜截面上的應力時，圍繞點A取出一個邊長為dx的無限小的單元體abcd(圖10.27)。由于單元體的邊長為無窮小，可以認為各平面上的應力是均勻分布的，且平行面上的應力是相同的。單元體兩橫截面ab、dc上的應力σ和τ分別為

σ=M/Iy，τ=QSz/Izb單元體上、下面ad、bc上的應力可由剪應力互等定律得到(圖10.27(b))。取任意斜截面ef，其外法線n與x軸的夾角為α，規(guī)定由x軸轉(zhuǎn)到外法線n為逆時針轉(zhuǎn)向時，則α為正。10.5.1梁內(nèi)一點斜截面上的應力第82頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六取ebf為研究對象(圖10.27(d))。若ef面的面積為dA，則eb面和bf面的面積分別為dAcosα和dAsinα

(圖10.27(e))。取垂直和平行于斜截面的坐標軸n和τ。列平衡方程∑Fn=0

σαdA+(τdAcosα)sinα-(σdAcosα)cosα+(τdAsinα)cosα=0即σα-σcos2α+2τsinαcosα=0第83頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

∑Fτ=0

ταdA-(τdAcosα)cosα-(σdAcosα)sinα+(τdAsinα)sinα=0即

τα-σcosαsinα-τ(cos2α-sin2α)=0將三角公式

cos2α=(1+cos2α)/2

2sinαcosα=sin2α

cos2α-sin2α=cos2α第84頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六代入(a)、(b)兩式，簡化整理后得

σα=σ/2+σ/2cos2α-τsin2α

τα=σ/2sin2α+τcos2α運用式(10.13)和式(10.14)可求得梁內(nèi)一點任意斜截面上的應力σα和τα。第85頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.27第86頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六圖10.27第87頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六對式(10.13)取導數(shù)并令dσα/dα=0得σ/2sin2α+τcos2α=0剪應力等于零的截面稱為主平面，主平面上的應力稱為主應力。主平面的位置可由上式確定，即tan2α0=-2τ/σ

求得最大主應力σ1和最小主應力σ3：10.5.2梁的主應力及最大剪應力第88頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六

表明最大剪應力等于最大主應力與最小主應力之差的一半。比較式(10.15)和式(10.17)可以看出

tan2α1=-cot2α0=tan(2α0+90°)可見剪應力極值所在的平面與主平面的夾角為45°。第89頁，共101頁，2023年，2月20日，星期六【例10.10】求圖10.28(a)所示梁內(nèi)某點單元體的主應力值及其所在的位置?！窘狻?1)

計算主應力值根據(jù)公式(10.16)，可得

σ1==(-20+20√2)MPa=8.28MPa

σ3=(-20-20√2)MPa=-48.28MPa(2)

計算主平面的位置根據(jù)公式(10.15)，可得tan2α0=-2τ/σ=-2×10/-20=1由三角函數(shù)知2α0=45°，α0=22.5°則α0′=α0+90°=22.5°+90°=1