數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)第一節(jié)

數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)第一節(jié)第1頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六即一個(gè)輸出序列是其過去點(diǎn)的線性組合加上當(dāng)前輸入序列與過去點(diǎn)輸入序列的線性組合。除了與當(dāng)前的輸入有關(guān)，同時(shí)還與過去的輸入和過去的輸出有關(guān)，系統(tǒng)是帶有記憶的。

對(duì)于上面的算式，可以化成不同的計(jì)算形式，如直接計(jì)算、分解為多個(gè)有理函數(shù)相加、分解為多個(gè)有理函數(shù)相乘等等，不同的計(jì)算形式也就表現(xiàn)出不同的計(jì)算結(jié)構(gòu)，而不同的計(jì)算結(jié)構(gòu)可能會(huì)帶來不同的效果，或者是實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，編程方便，或者是計(jì)算精度較高等等。

第2頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)字信號(hào)是通過采樣和轉(zhuǎn)換得到的，而轉(zhuǎn)換的位數(shù)是有限的（一般6、8、10、12、16位），所以存在量化誤差，另外，計(jì)算機(jī)中的數(shù)的表示也總是有限的，經(jīng)此表示的濾波器的系數(shù)同樣存在量化誤差，在計(jì)算過程中因有限字長(zhǎng)也會(huì)造成誤差。量化誤差主要有三種誤差：①A/D變換量化效應(yīng)；②系數(shù)的量化效應(yīng)；③數(shù)字運(yùn)算的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。第3頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六IIR、FIR的系統(tǒng)函數(shù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式軟、硬件實(shí)現(xiàn)DF需要考慮的問題：計(jì)算的效率，即完成整個(gè)濾波所需要的乘法和加法次數(shù)；需要的存儲(chǔ)量濾波器系數(shù)的量化影響運(yùn)算中的舍入和截?cái)嗾`差、飽和和溢出第4頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

5.1.1數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖表示

差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作：①加法，②乘法,③延遲。為了表示簡(jiǎn)單，通常用信號(hào)流圖來表示其運(yùn)算結(jié)構(gòu)。對(duì)于加法、乘法及延遲這三種基本運(yùn)算。第5頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第6頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六節(jié)點(diǎn)是表示系統(tǒng)中變量或信號(hào)的點(diǎn)支路表示信號(hào)傳輸?shù)穆窂?，是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的定向線段。只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)，7；只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)，8；既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做混合節(jié)點(diǎn)。通路是指從源點(diǎn)到阱點(diǎn)之間沿著箭頭方向的連續(xù)的一串支路，通路增益是該通路上各支路增益的乘積?；芈肥侵笍囊粋€(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著支路箭頭方向到達(dá)同一個(gè)節(jié)點(diǎn)的閉合通路，它象征著系統(tǒng)中的反饋回路。組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益。第7頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)函數(shù)求解方法：列寫線性方程（節(jié)點(diǎn)）組梅遜(Mason)公式式中Tk為從輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）到輸出節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）的第k條前向通路增益；Δ為流圖的特征式Δk是不接觸第k條前向通路的特征式余因子，它是除去與第k條前向通路相接觸的環(huán)路外，余下的特征余式k表示由源點(diǎn)到阱點(diǎn)之間的第k條前向通路的標(biāo)號(hào)

為所有不同回路增益之和.為每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和

第8頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例:利用梅遜公式計(jì)算圖中的系統(tǒng)函數(shù)有兩條前向通路：

一個(gè)回路，其回路增益為則系統(tǒng)函數(shù)

第9頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)置定理：對(duì)于單個(gè)輸入、單個(gè)輸出的系統(tǒng)，通過反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖相同的系統(tǒng)函數(shù)。第10頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六信號(hào)流圖轉(zhuǎn)置的作用：

①轉(zhuǎn)變運(yùn)算結(jié)構(gòu)；②驗(yàn)證計(jì)算流圖的系統(tǒng)函數(shù)的正確與否。運(yùn)算結(jié)構(gòu)對(duì)濾波器的實(shí)現(xiàn)很重要，尤其對(duì)于一些定點(diǎn)運(yùn)算的處理機(jī)，結(jié)構(gòu)的不同將會(huì)影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性以及運(yùn)算速度等許多重要的性能。對(duì)于無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點(diǎn)，因此我們?cè)谙旅鎸?duì)它們分別加以討論。第11頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

5.1.2IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：存在反饋環(huán)路，遞歸型結(jié)構(gòu)。同一系統(tǒng)函數(shù)，有各種不同的結(jié)構(gòu)形式。其主要結(jié)構(gòu)有：

(1)直接型直接由IIRDF的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。第12頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上述結(jié)構(gòu)缺點(diǎn)：①需要2N個(gè)延遲器（z-1），太多。②系數(shù)ai、bi對(duì)濾波器性能的控制不直接，對(duì)極、零點(diǎn)的控制難，一個(gè)ai、bi的改變會(huì)影響系統(tǒng)的零點(diǎn)或極點(diǎn)分布。③對(duì)字長(zhǎng)變化敏感（對(duì)ai、bi的準(zhǔn)確度要求嚴(yán)格）。④不穩(wěn)定，階數(shù)高時(shí)，上述影響更大。第13頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）直接Ⅱ型

上面直接型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)(H1(z)和H2(z)),兩部分串接構(gòu)成總的系統(tǒng)函數(shù)：由系統(tǒng)函數(shù)的不變性（系統(tǒng)是線性的），得

第14頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六兩條延時(shí)鏈中同一水平線上的兩個(gè)延時(shí)單元的內(nèi)容完全相同，因而可共用一組延時(shí)單元

先經(jīng)過反饋網(wǎng)絡(luò)bi，再通過前向支路組成的網(wǎng)絡(luò)ai第15頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六直接II型(正準(zhǔn)型)優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：延遲線減少一半，為N個(gè)，可節(jié)省寄存器或存儲(chǔ)單元。缺點(diǎn)：同直接型。通常在實(shí)際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)（一、二階）來實(shí)現(xiàn)。第16頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（3）級(jí)聯(lián)型（串聯(lián)）

一個(gè)N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點(diǎn)表示，即把它的分子、分母都表達(dá)為因子形式

由于系數(shù)、都是實(shí)數(shù)，極、零點(diǎn)為實(shí)根或共軛復(fù)根，所以有

第17頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

、——實(shí)根、——復(fù)根且將共軛因子合并為實(shí)系數(shù)二階因子，單實(shí)根因子看作二階因子的一個(gè)特例，則

、——為實(shí)系數(shù)。

用若干二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)構(gòu)成濾波器，二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié)，可用正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。

第18頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第19頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn)：

優(yōu)點(diǎn)：①簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)，用一個(gè)二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)；②極、零點(diǎn)可單獨(dú)控制、調(diào)整，調(diào)整、可單獨(dú)調(diào)整第對(duì)零點(diǎn)，調(diào)整、可單獨(dú)調(diào)整第對(duì)極點(diǎn)；③各二階節(jié)零、極點(diǎn)的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差；缺點(diǎn)：二階節(jié)電平難控制，電平大易導(dǎo)致溢出，電平小則使信噪比減小。第20頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（4）并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式之和，可用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器：將上式中的共軛復(fù)根成對(duì)地合并為二階實(shí)系數(shù)的部分分式，上式表明，可用L個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)、M個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)以及一個(gè)常數(shù)并聯(lián)組成濾波器H（z），結(jié)構(gòu)如下圖：第21頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六特點(diǎn)：①系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單；②極點(diǎn)位置可單獨(dú)調(diào)整；③運(yùn)算速度快（可并行進(jìn)行）；④各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對(duì)字長(zhǎng)要求低。缺點(diǎn)：不能直接調(diào)整零點(diǎn)，因多個(gè)二階節(jié)的零點(diǎn)并不是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí)，級(jí)聯(lián)型最合適。第22頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

[例]已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出其直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。第23頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六直接型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為第24頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六級(jí)聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為一階、二階實(shí)系數(shù)分式之積第25頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為部分分式之和的形式第26頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

FIRDF特點(diǎn)：主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，無反饋，但在頻率采樣結(jié)構(gòu)等某些結(jié)構(gòu)中也包含有反饋的遞歸部分。它的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程一般有如下形式：三、FIRDF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式基本的結(jié)構(gòu)形式有下幾種：（1）直接型（卷積型、橫截型）卷積型：差分方程是信號(hào)的卷積形式；橫截型：差分方程是一條輸入x(n)延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)。第27頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六直接由差分方程可畫出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：直接型的轉(zhuǎn)置：第28頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）級(jí)聯(lián)型（串聯(lián)型）當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實(shí)系數(shù)因子的形式：于是可用二階節(jié)級(jí)聯(lián)構(gòu)成，每一個(gè)二階節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)。缺點(diǎn)：①所需要的系數(shù)a比直接型的h(n)多；②乘法運(yùn)算多于直接型。第29頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（3）線性相位型

FIR的重要特點(diǎn)是可設(shè)計(jì)成具有嚴(yán)格線性相位的濾波器，此時(shí)滿足偶對(duì)稱或奇對(duì)稱條件。偶對(duì)稱時(shí)，N為偶數(shù)，N為奇數(shù)，由上兩式，可得到線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu),如圖。優(yōu)點(diǎn)：線相相位型結(jié)構(gòu)的乘法次數(shù)減為（N偶數(shù)）(橫截型結(jié)構(gòu)乘法次數(shù):N次)

（N奇數(shù)）第30頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第31頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（4）頻率采樣型第二章討論了有限長(zhǎng)序列可以進(jìn)行頻域采樣?，F(xiàn)是長(zhǎng)為的序列，因此也可對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上作等分采樣，這個(gè)采樣值也就是的離散傅里葉變換值H(k)。根據(jù)上一章的討論，用頻率采樣表達(dá)z函數(shù)的內(nèi)插公式為：(4.59)第32頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六H(z)由兩部分級(jí)聯(lián)而成，第一部分（部分）:

這是一個(gè)由節(jié)延時(shí)器組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有個(gè)等分的零點(diǎn)：其頻響為梳狀濾波器頻響第33頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

第二部分（IIR部分）是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)：

此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn)：

該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為，是一個(gè)諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點(diǎn)正好各自抵消一個(gè)梳狀濾波器的零點(diǎn)，從而使這個(gè)頻率點(diǎn)的響應(yīng)等于。兩部分級(jí)聯(lián)后，就得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu)，

第34頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

這一結(jié)構(gòu)的最大特點(diǎn)是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應(yīng)，因此，控制濾波器的頻率響應(yīng)很直接。兩個(gè)主要的缺點(diǎn)：①所有的系數(shù)和都是復(fù)數(shù)，計(jì)算復(fù)雜。②所有諧振器的極點(diǎn)都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化的影響，有些極點(diǎn)實(shí)際上不能與梳狀濾波器的零點(diǎn)相抵消，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。

第35頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

為了克服這兩個(gè)缺點(diǎn)，作兩點(diǎn)修正：1）將所有零點(diǎn)和極點(diǎn)移到半徑為的圓上，略小于1，同時(shí)頻率采樣點(diǎn)也移到該圓上，以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時(shí)圖抽樣點(diǎn)改在r<1的圓上第36頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2）共軛根合并，將一對(duì)復(fù)數(shù)一階子網(wǎng)絡(luò)合并成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。這些共軛根在圓周上是對(duì)稱點(diǎn)即同樣，h(m)因是實(shí)數(shù)，其DFT也是圓周共軛對(duì)稱的，因此可將第k及第N-k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)第37頁(yè)，共42頁(yè)，202