數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第1頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六處于信息時代,我們每天要從周圍環(huán)境獲取大量的信息，例如，電視、廣播、印刷媒體、網(wǎng)絡(luò)等為人們報道世界范圍內(nèi)所發(fā)生的各種事件。這些信息通常是通過我們的感覺器官進入大腦，并被存儲下來，以作進一步的分析。由于模擬信號具有連續(xù)性，實用上難于存儲、分析和傳輸，在電子技術(shù)領(lǐng)域里，常將模擬信號進行編碼，把它轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，利用邏輯代數(shù)這一強有力的工具來分析和設(shè)計復(fù)雜的數(shù)字電路或數(shù)字系統(tǒng)，為信號的存儲、分析和傳輸創(chuàng)造硬件環(huán)境。第2頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

邏輯代數(shù)是討論邏輯關(guān)系的一門科學(xué)，在十九世紀(jì)中葉由數(shù)學(xué)家喬治·布爾創(chuàng)立，通常稱為布爾代數(shù)。早期用于分析開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，所以又稱為開關(guān)代數(shù)。隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，邏輯代數(shù)成為邏輯設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在數(shù)字電路的分析和設(shè)計中得到廣泛的應(yīng)用。邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，也是用字母A、B、C或x、y、z等來表示變量，但變量的含意和取值完全不同。邏輯代數(shù)的變量取值非常簡單，非1即0，沒有第三種可能，而且0和1之間不存在大小關(guān)系，只是代表研究的對象所具有的兩種不同的狀態(tài)。由于邏輯變量和普通變量含意不同，盡管邏輯代數(shù)運算和普通代數(shù)運算的規(guī)律有某些相似之處，其含意也是完全不同的，應(yīng)用時務(wù)必注意。第3頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

本章主要內(nèi)容*邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和基本定理*邏輯函數(shù)及其表示方法*邏輯函數(shù)的化簡方法第4頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

1.1概述模擬量和數(shù)字量1

模擬量——物理量的變化在時間上或數(shù)值上是連續(xù)的

模擬信號——表示模擬量的信號例如：正弦波、三角波、調(diào)幅波、阻尼振蕩波、指數(shù)衰減波

模擬電路——工作在模擬信號下的電子電路

第5頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六2數(shù)字量

——物理量的變化在時間上和數(shù)量上都是離散的

數(shù)字信號——表示數(shù)字量的信號

數(shù)字電路——工作在數(shù)字信號下的電子電路

例如：記錄從自動生產(chǎn)線上輸出的零件數(shù)目時，每送出一零件便給電子電路一個信號，使之記1，而沒有零件送出時記0，這樣，零件數(shù)目這個信號在時間上和數(shù)量上都是不連續(xù)的，為一數(shù)字信號第6頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

二數(shù)制和碼制

1數(shù)制——多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及從低位到高位的進位 規(guī)則 有：十進制、二進制、八進制、十六進制目前，在數(shù)字電路中應(yīng)用最廣泛的是二進制

(1)任意一個十進制數(shù)N都可以表示為按權(quán)展開式：

（N）10=ai10i

i=－m,n－1(1.1.1)n為整數(shù)的位數(shù)m為小數(shù)的位數(shù)

如：482.65=4×102+8×101+2×100+6×10-1+5×10-2

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(2)任意一個二進制數(shù)N可表示為：

（N）2=bi2i

i=－m,n－1 (1.1.2)

如：（101.11）2=1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=(5.75)10

(3)任意一個十六進制數(shù)N可表示為：

(N)16=ki16i

i=－m,n－1(1.1.3)如:(2A.7F)16=2×161+10×160+7×16-1+15×16-2=(42.4960937)10數(shù)制轉(zhuǎn)換

(1)

二－十轉(zhuǎn)換

按式(1.1.2)即可

如:(1011.01)2=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(11.25)10

第8頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六(2)

十－二轉(zhuǎn)換

基數(shù)連除、連乘法：整數(shù)部分轉(zhuǎn)換用基數(shù)連除法小數(shù)部分轉(zhuǎn)換用基數(shù)連乘法具體步驟如下：

整數(shù)部分轉(zhuǎn)換：十進制數(shù)除以基數(shù)二，余數(shù)是等值的二進制數(shù)的最低位將上一步的商再除以二，余數(shù)為等值的二進制的次低位重復(fù)第二步，直到最后所得的商等于零為止，各次除得的余數(shù)即為二進制各位的數(shù)值。除2取余第9頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六如：（173）10=(?)2

2173（1286（0243（1221（1210（025（122（021（10得：

（173）10=（10101101）2

第10頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六小數(shù)部分轉(zhuǎn)換：將十進制小數(shù)乘以基數(shù)二，其積的整數(shù)部分即為二進制小數(shù)的最高位將上一步乘積的小數(shù)部分再乘以基數(shù)二，所得乘積的整數(shù)部分即為次高位重復(fù)第二步，直至乘積的小數(shù)部分為0，或達到要求的精度為止，各次乘積的整數(shù)部分便為二進制小數(shù)的各位。例如：（0.625)10=(?)2

0.625×2=1.25b-1=10.25×2=0.5b-2=00.5×2=1.0b-3=1

(0.625)10=(0.101)2

第11頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六(3)二―十六轉(zhuǎn)換從低位到高位將每4位二進制數(shù)分為一組,不足四位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加“0”補足。寫出每組的等值十六進制數(shù),即可得到對應(yīng)的十六進制數(shù)如：（01011110.10110010)2

=(5E.B2)16(4)

十六―二轉(zhuǎn)換

將十六進制的每一位用等值的4位二進制數(shù)代替如:(8FA.C6)16

=(100011111010.11000110)2

111011.10101B=3B.A8H第12頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六(5)

十六―十轉(zhuǎn)換

可據(jù)(1.1.3)式將各位按權(quán)展開后相加求得 (N)16=ki16i

i=－m,n－1(1.1.3)如:(8A3D.C)16=8163+10162+3161+13160+1216-1=(35389.75)10

(6)十―十六轉(zhuǎn)換

十二十六注意：一般， 16進制數(shù)用H（Hexadecimal）； 八進制數(shù)用O（Octal）; 十進制數(shù)用D（Decimal）; 二進制數(shù)用B（Binary）第13頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六3碼制

當(dāng)數(shù)碼不再表示數(shù)量大小的差別，而只是代表不同事物時，這些數(shù)碼稱為代碼。編制代碼時遵循的一定規(guī)則，稱為碼制。*BCD代碼：用４位二進制數(shù)碼表示１位十進制數(shù)的０~９十個狀態(tài)，稱這些代碼為二－十進制代碼，即BCD(BinaryCodedDecimal)代碼。*格雷碼*

字符編碼第14頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六二－十進制編碼：BCD碼

1.BCD碼的特點要用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數(shù)，至少要用4位二進制數(shù)。

4位二進制數(shù)有16種組合，可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進制的0～9十個數(shù)。

選哪10種組合，有多種方案，這就形成了不同的BCD碼。二-十進制代碼：用4位二進制數(shù)b3b2b1b0來表示十進制數(shù)中的0～9十個數(shù)碼。簡稱BCD碼(BinaryCodedDecimal)第15頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六8421碼是BCD代碼中最常用的一種。若把每一個代碼都看成是一個四位二進制數(shù)，各位的權(quán)依次為8，4，2，1。另外，每個代碼的數(shù)值恰好等于它所表示的十進制數(shù)的大小。2421BCD碼也是一種有權(quán)碼，它的另兩個特點是：編碼方案不唯一（如十進制數(shù)“5”可以編碼為“1011”或“0101”）；0－9、1－8、2－7等數(shù)字編碼互為按位取反結(jié)果，這有助于十進制的運算簡化。余3碼被看成4位二進制數(shù)時，則它的數(shù)值要比它所表示的十進制數(shù)碼多3。如果將兩個余3碼相加，所得的和將比十進制數(shù)和所對應(yīng)的二進制數(shù)多6。因此，在用余3碼作十進制加法運算時，若兩數(shù)之和為10，正好等于二進制數(shù)的16，于是從高位自動產(chǎn)生進位信號。余3循環(huán)碼是一種無權(quán)碼，其特點是：每兩個相鄰編碼之間只有一位碼元不同。這一特點使數(shù)據(jù)在形成和傳輸時不易出現(xiàn)錯誤。2.BCD碼的種類第16頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六常用的幾種BCD碼

十進制數(shù)8421BCD碼2421BCD碼5121BCD碼余3碼余3循環(huán)碼000000000000000110010100010001000101000110200100010001001010111300110011011001100101401000100011101110100501011011100010001100601101100100110011101701111101101010101111810001110101110111110910011111111111001010第17頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六3.BCD碼的存放：組合BCD碼與非組合BCD碼 上述編碼方式是針對“一位”十進制數(shù)字而言的，一個多位的十進制數(shù)與相應(yīng)的8421BCD碼之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下例所示：00110000100100013091十進制數(shù)：對應(yīng)的8421BCD碼：

組合BCD碼格式：每位十進制數(shù)字對應(yīng)的BCD編碼以四個二進制位來存放； （3091）10＝（0011000010010001）BCD

非組合BCD碼格式：每位十進制數(shù)字對應(yīng)的BCD編碼以八個二進制位來存放， 其中低四位存放真正的BCD碼，高四位根據(jù)具體應(yīng)用的不同定義為不同的值——如無特殊要求，高四位通常為全0； （3091）10＝（00000011000000000000100100000001）BCD注意：如無特別說明，本課程中的BCD碼一概指組合的8421BCD碼。這樣得到的BCD碼在存放或處理時有兩種格式：第18頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六格雷碼（Gray）任意兩個相鄰碼組之間只有一位碼元不同（0和最大 數(shù)之間也只有一位不同），因此格雷碼也稱為循 環(huán)碼；這種編碼在形成和傳輸時不易出錯。

比如：十進制3轉(zhuǎn)換為4時，對應(yīng)二進制的每一位變化，都會產(chǎn)生很大的尖峰電流脈沖最高位的0和1只改變一次。若以最高位的0和1的交 界為軸，其他低位的代碼以此軸對稱，利用這一 特點可以很容易地構(gòu)成位數(shù)不同的格雷碼。格雷碼是一種無權(quán)碼，不易直接進行運算，但可以 很容易地與二進制進行換算。格雷碼有許多形式，如余3循環(huán)碼等。第19頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六一種典型的格雷碼兩位格雷碼000111100000010110101101111011000000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000三位格雷碼四位格雷碼00011110101101000110100101111110010011001000000001011010110111101100第20頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六字符代碼數(shù)字系統(tǒng)處理、存儲及顯示的信息，包括數(shù)字，文字符號，字母和特殊符號等都必須用二進制數(shù)進行編碼。目前常用的是ASCII碼（美國標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼）和Unicode碼。第21頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六1.常用字符編碼：ASCII碼ASCII碼即“美國國家標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼”的英文縮寫，常用的有兩種：（1）ASCII-7編碼用7位二進制編碼表示一個字符，共可表示128個不同的字符。通常使用時在最高位添0湊成8位二進制編碼，或根據(jù)實際情況將最高位用做校驗位。（2）ASCII-8編碼用8位二進制編碼表示一個字符，共可表示256個不同的字符。本課程中不加聲明時都指ASCII-7碼。注意：一般字符的ASCII碼表靠查表方式獲取。但除數(shù)字的ASCII外，最好也能記住以下對應(yīng)關(guān)系：A～F的ASCII碼為41H～46H，a～f的 ASCII碼為61H～66H第22頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六2.另一種常用字符編碼：Unicode碼

互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展，要求進行數(shù)據(jù)交換的需求越來越大，而且多種語言共存的文檔不斷增多，不同的編碼體系越來越成為信息交換的障礙，于是UNICODE應(yīng)運而生。

UNICODE的雙重含義：首先UNICODE是對國際標(biāo)準(zhǔn)ISO/IEC10646編碼的一種稱謂。ISO/IEC10646是一個國際標(biāo)準(zhǔn)，亦稱大字符集，它是ISO于1993年頒布的一項重要國際標(biāo)準(zhǔn)，其宗旨是全球所有文種統(tǒng)一編碼；另外它又是美國的HP、Microsoft、IBM、Apple等大企業(yè)組成的聯(lián)盟集團的名稱，成立該集團的宗旨就是要推進多文種的統(tǒng)一編碼；UNICODE是一個16位二進制編碼的字符集，它可以移植到所有主要的計算機平臺并且覆蓋幾乎整個世界。

第23頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六小結(jié)

日常生活中使用十進制，但在計算機中基本上使用二進制，有時也使用八進制或十六進制。利用權(quán)展開式可將任意進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進制數(shù)時，整數(shù)部分采用基數(shù)除法，小數(shù)部分采用基數(shù)乘法。利用1位八進制數(shù)由3位二進制數(shù)構(gòu)成，1位十六進制數(shù)由4位二進制數(shù)構(gòu)成，可以實現(xiàn)二進制數(shù)與八進制數(shù)以及二進制數(shù)與十六進制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換。二進制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以表示符號及文字，使信息交換靈活方便。BCD碼是用4位二進制代碼代表1位十進制數(shù)的編碼，有多種BCD碼形式，最常用的是8421BCD碼。第24頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六算術(shù)運算與邏輯運算*算術(shù)運算——兩個二進制數(shù)碼表示兩個數(shù)量大小時，它們之間可進行數(shù)值運算*

邏輯運算——當(dāng)兩個二進制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時，它們之間可按照指定的某種因果關(guān)系進行邏輯運算第25頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.8具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡第26頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六一、與邏輯（與運算）開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y第27頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六A、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮。A、B都接通，燈亮。第28頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六兩個開關(guān)必須同時接通，燈才亮。邏輯表達式為：Ｙ＝ＡＢ

與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達式為：Ｙ＝ＡＢＣ…功能表第29頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六真值表將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。邏輯符號實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：Ｙ＝ＡＢＹ＝ＡＢ第30頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六二、或邏輯（或運算）開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡Y

或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，…)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達式為：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…第31頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六A、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈亮。A接通、B斷開，燈亮。A、B都接通，燈亮。第32頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六兩個開關(guān)只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達式為：Ｙ＝Ａ+Ｂ功能表真值表邏輯符號實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：第33頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六三、非邏輯（非運算）

非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達式為：開關(guān)A控制燈泡Y第34頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六A斷開，燈亮。A接通，燈滅。功能表真值表實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號：邏輯符號Y=A第35頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六四、常用的邏輯運算（1）與非運算：邏輯表達式為：（2）或非運算：邏輯表達式為：第36頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（3）異或運算：邏輯表達式為：（4）同或運算：邏輯表達式為：Y=A⊙B第37頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六從真值表可見，兩個變量的異或和同或是互反的。偶數(shù)個變量的異或和同或是互反的，奇數(shù)個變量的異或和同或是相等的。nn第38頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（5）與或非運算：邏輯表達式為：第39頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.8具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡第40頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六一基本公式常量之間的關(guān)系（2）（3）（1）第41頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（4）（5）（6）（7）（8）（9）第42頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六其他的利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：證明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)證明:(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC分配率A(B+C)=AB+AC等冪率AA=A分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1對于只含A的公式，分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。第43頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六二若干常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補率A+A=10-1率A·1=1第44頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六互補率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1第45頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.8具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡第46頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六一代入定理任何一個含有變量A的邏輯等式中，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入定理，等式仍然成立，即有：二反演定理對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)（或稱補函數(shù)）。例如：第47頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六注意：1、需遵守“先括號，然后乘，最后加”的運算優(yōu)先次序2、不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變?nèi)龑ε级ɡ韺τ谌魏我粋€邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達式Y(jié)＇，Y＇稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：第48頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：第49頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.8具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡第50頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為一邏輯函數(shù)Y=F（A，B，C，…）二邏輯函數(shù)的表示方法常用的有：真值表、邏輯表達式、邏輯圖、卡諾圖（一）真值表——是由變量的所有可能取值組合及其對應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。

真值表列寫方法：每一個變量均有0、1兩種取值，n個變量共有2n種不同的取值，將這2n種不同的取值按順序（一般按二進制遞增規(guī)律）排列起來，同時在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。第51頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

例如：當(dāng)A=B=1、或者B=C=1時，函數(shù)Y=1；否則Y=0。真值表特點：直觀明了，但變量多時太繁瑣（二）邏輯表達式是由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構(gòu)成的式子。如：Y=A（B+C）

邏輯表達式特點：書寫簡單方便，便于利用邏輯代數(shù)進行運算，便于得到邏輯圖，但不太直觀第52頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（三）邏輯圖——是由表示邏輯運算的邏輯符號所構(gòu)成的圖形。如：Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ邏輯圖特點：比較接近于工程實際（四）卡諾圖1、邏輯函數(shù)的最小項第53頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

（1）最小項：如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8個最小項：

（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數(shù)，則與這個二進制數(shù)相對應(yīng)的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：第54頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（3）最小項的性質(zhì)：ABCm0m1m2m3m4m5m6m700000101001110010111011110000000010000000010000000010000000010000000010000000010000000013變量全部最小項的真值表第55頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六(a)任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。(b)任意兩個不同的最小項的乘積必為0。(c)全部最小項的和必為1。(d)具有相鄰性的兩個最小項（兩個最小項只有一個因子不同）可合并為一項并消去一對因子。2、邏輯函數(shù)的最小項表達式（最小項之和形式）任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達式，也稱為最小項表達式對于不是最小項表達式的與或表達式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來配項展開成最小項表達式。第56頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。如：第57頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六m1＝ABCm2＝ABCm4＝ABCm5＝ABC第58頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六3、卡諾圖的構(gòu)成將邏輯函數(shù)真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。

卡諾圖是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。

邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。

卡諾圖的特點是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項）。第59頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六格雷碼0000000100110010011001110101010011001101十進制數(shù)0123456789第60頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六1變量卡諾圖變量數(shù)n=1在卡諾圖上有21=2個小方格，對應(yīng)m0、m1兩個最小項。0表示A的反變量。1表示A的原變量。2變量卡諾圖變量數(shù)n=2在卡諾圖上有22=4個小方格，對應(yīng)m0、m1、m2、m3四個最小項。每個小方格有二個相鄰格：m0和m1、m2相鄰。AB00011110二變量格雷碼排列：任何相鄰碼組之間只有一個碼元不同。邏輯相鄰，幾何位置相鄰。第61頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六ABC0000010110101101111011003變量卡諾圖變量數(shù)n=3在卡諾圖上有23=8個小方格，對應(yīng)八個最小項。每個小方格有三個相鄰格。m0和m1、m2、m4相鄰。m1和m0、m3、m5相鄰。m2和m0、m3、m6相鄰。三變量格雷碼排列順序：☆卡諾圖小方格相鄰數(shù)=變量數(shù)。☆小方格的編號就是最小項的編號。☆邏輯相鄰，幾何位置也相鄰。第62頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六4變量卡諾圖變量數(shù)n=4在卡諾圖上有24=16個小方格，對應(yīng)十六個最小項。每個小方格有四個相鄰格。m0和m1、m2、m4、m8相鄰。m5和m1、m4、m7、m13相鄰。m9和m1、m8、m11、m13相鄰。四變量格雷碼排列：A0000000011111111B0000111111110000C0011110000111100D0110011001100110第63頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六5變量卡諾圖變量數(shù)n=5在卡諾圖上有25=32個小方格，對應(yīng)32個最小項。每個小方格有5個相鄰格。m0和m1、m2、m4、m8、及對稱相m16。m5和m1、m4、m7、m13、及對稱相m21。m23和m19、m21、m22、m31、及對稱相m7。m27和m25、m26、m19、m31、及對稱相m11。找相鄰格的方法：先按四變找再找對稱相隨著輸入變量的增加，小方格數(shù)以2n倍增加。若N=6有64個小方格，使卡諾圖變得十分復(fù)雜，相鄰關(guān)系難以尋找。所以卡諾圖一般多用于5變量以內(nèi)。第64頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六第65頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六兩個相鄰最小項可以合并消去一個變量邏輯函數(shù)化簡的實質(zhì)就是相鄰最小項的合并4、卡諾圖的性質(zhì)（1）任何兩個（21個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。第66頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六ABC+ABC=ACABC+ABC=AC第67頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六ABCD+ABCD=BCDABCD+ABCD=BCD第68頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（2）任何4個（22個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。ABC+ABC+ABC+ABC=AABC+ABC+ABC+ABC=C第69頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六ＡCAC第70頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六ＢＤＢＤ（3）任何8個（23個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。Ｄ第71頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六D注：卡諾圖的優(yōu)點——形象地表達了變量各個最小項之間的邏輯相鄰性，任何幾何位置相鄰的最小項在邏輯上都具有相鄰性

缺點——隨輸入變量增加，圖形迅速復(fù)雜化第72頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六5、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。第73頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達式給出：先將函數(shù)變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達式

說明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ，則對Ｙ中所包含的各個最小項，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。第74頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六（五）邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換1、由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換真值表1邏輯表達式或卡諾圖2最簡與或表達式1或2？第75頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六最簡與或表達式3畫邏輯圖&&≥1YBCAC？32、由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換第76頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六邏輯圖1從輸入到輸出逐級寫出邏輯表達式2化簡最簡與或表達式&A≥1CBBAACY≥1≥112第77頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六最簡與或表達式3真值表3第78頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六小結(jié)①邏輯函數(shù)可用真值表、邏輯表達式、卡諾圖、邏輯圖4種方式表示，它們各具特點，但本質(zhì)相通，可以互相轉(zhuǎn)換。②對于一個具體的邏輯函數(shù)，究竟采用哪種表示方式應(yīng)視實際需要而定。③在使用時應(yīng)充分利用每一種表示方式的優(yōu)點。由于由真值表到邏輯圖和由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換，直接涉及到數(shù)字電路的分析和設(shè)計問題，因此顯得更為重要。第79頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六最大項：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量的和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。三變量最大項的編號表如下：以A，B，C取值所對應(yīng)的十進制數(shù)給最大項編號第80頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六可見：三變量邏輯函數(shù)的最大項有23個，四變量邏輯函數(shù)的最大項有24個，n變量邏輯函數(shù)則有2n個最大項，其數(shù)目與最小項數(shù)目是相等的。第81頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六①在輸入變量的任何取值下，必有一個，而且只有一個最大項的值是0。②任意兩個最大項之和為1。③全體最大項之積為0。④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。對比可知：最大項和最小項存在如下關(guān)系：最大項性質(zhì)：第82頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六邏輯函數(shù)的最大項之積形式：如果已知邏輯函數(shù)為Y=∑mi時，定可將它化成編號為i以外的最大項之積。由，Y=∑mi又

第83頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六例：將邏輯函數(shù)化為最大項乘積的形式。解：第84頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

最小項與最大項之間的關(guān)系：1.或

2.某函數(shù)F若用P項最小項之和表示，則該函數(shù)的反函數(shù)可用P項最大項之積表示，而P項最大項及最小項的標(biāo)號完全一致。

例：F=m1+m3+m6+m7

3.一個n變量函數(shù)，當(dāng)用積之和的標(biāo)準(zhǔn)型表示時，最小項的下標(biāo)號正好不是用和之積標(biāo)準(zhǔn)型表示時的最大項的下標(biāo)號，反之亦然，而且最小項與最大項的下標(biāo)號的總和為2n。

例：F=m(0,1,3,6)可轉(zhuǎn)換為：F=M(2,4,5,7)第85頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.8具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡第86頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)的簡化依據(jù)邏輯電路所用門的數(shù)量少每個門的輸入端個數(shù)少邏輯電路構(gòu)成級數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性第87頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

邏輯函數(shù)化簡的意義：邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)它的電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。一、邏輯函數(shù)的最簡表達式1、最簡與或表達式乘積項最少、并且每個乘積項中的變量也最少的與或表達式。最簡與或表達式第88頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六2、最簡與非-與非表達式非號最少、并且每個非號下面乘積項中的變量也最少的與非-與非表達式。①在最簡與或表達式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉下面的非號3、最簡或與表達式括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與表達式。第89頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達式4、最簡或非-或非表達式非號最少、并且每個非號下面相加的變量也最少的或非-或非表達式。①求最簡或與表達式②兩次取反③用摩根定律去掉下面的非號第90頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六５、最簡與或非表達式非號下面相加的乘積項最少、并且每個乘積項中相乘的變量也最少的與或非表達式。①求最簡或非-或非表達式②用摩根定律去掉大非號下面的非號二、邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數(shù)。第91頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六1、并項法利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。運用分配律運用摩根定律若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。第92頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六2、吸收法（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的變量。如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。第93頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六３、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。第94頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六４、消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。第95頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六化簡時應(yīng)靈活運用以上方法例：第96頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六例：化簡函數(shù)解：①先求出Y的對偶函數(shù)Y＇，并對其進行化簡。②求Y＇的對偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡或與表達式。第97頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六反函數(shù)化簡第98頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.8具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡第99頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六邏輯函數(shù)的圖形化簡法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡邏輯函數(shù)。圖形法化簡的基本步驟:邏輯表達式或真值表11卡諾圖第100頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六2①圈越大越好，但每個圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個。②同一個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個標(biāo)１的方格。2合并最小項冗余項ＡＣＤＣＤＢＤ33將代表每個圈的乘積項相加最簡與或表達式第101頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六例：化簡圖示邏輯函數(shù)。解：第102頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六幾點說明：①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡最簡第103頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ABD第104頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六

③多輸出函數(shù)的整體化簡:實際邏輯設(shè)計中，常有多個輸出端，若單獨化簡每一個輸出函數(shù)后再拚湊在一起，結(jié)果未必會得到最簡的邏輯圖。對多輸出函數(shù)的簡化，需找出各函數(shù)間所有可能的共用項。則對于多輸出函數(shù)的化簡有下列要求：第一，每個輸出函數(shù)的積項（和項）要求最少，任何一個積項（和項）的輸入變量也要求最少。第二，各個已經(jīng)被簡化了的輸出函數(shù)，應(yīng)盡可能地共用積項（和項），這樣有利于減少使用門的個數(shù)。第105頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六思考題：Y=ABC+ABD+ACD+CD+ABC+ACD卡諾圖化簡？第106頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡得：最簡與非—與非式為：第107頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六例、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)111111

1111AB00L1CD01111000011110

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AB00L2CD011110000111101111

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1111111AB00L3CD01111000011110第108頁，共121頁，2023年，2月20日，星期六111111

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