曲線與方程ppt課件市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

§9.9曲線與方程基礎(chǔ)知識自主學習要點梳理1.曲線與方程普通地，在平面直角坐標系中，假如某曲線C上點與一個二元方程f（x，y）=0實數(shù)解建立了下列關(guān)系：（1）曲線上點坐標都是

.（2）以這個方程解為坐標點都是

.那么這個方程叫做

，這條曲線叫做

.這個方程解曲線上點曲線方程方程曲線第1頁第1頁2.求動點軌跡方程普通環(huán)節(jié)（1）建系——建立適當坐標系.（2）設(shè)點——設(shè)軌跡上任一點P（x，y）.（3）列式——列出動點P所滿足關(guān)系式.（4）代換——依條件式特點，選取距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y方程式，并化簡.（5）證實——證實所求方程即為符合條件動點軌跡方程.第2頁第2頁3.兩曲線交點（1）由曲線方程定義可知，兩條曲線交點坐標應當是兩個曲線方程

，即兩個曲線方程構(gòu)成方程組實數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾種交點，方程組

，兩條曲線就沒有交點.（2）兩條曲線有交點

條件是它們方程所構(gòu)成方程組有實數(shù)解.可見，求曲線交點問題，就是求由它們方程所構(gòu)成方程組實數(shù)解問題.公共解無解充要第3頁第3頁基礎(chǔ)自測1.f（x0，y0）=0是點P（x0，y0）在曲線f（x，y）=0上（）A.充足不必要條件B.必要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不必要條件

解析

利用曲線與方程定義兩條件來擬定其關(guān)系，∵f（x0，y0）=0可知點P（x0,y0）在曲線f（x,y）=0上，又P（x0，y0）在曲線f（x，y）=0上時，有f（x0，

y0）=0，∴f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲線f（x，y）=0上充要條件.C第4頁第4頁2.方程x2+xy=x曲線是（）A.一個點B.一條直線C.兩條直線D.一個點和一條直線解析方程變?yōu)閤（x+y-1）=0，∴x=0或x+y-1=0.故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.C第5頁第5頁3.已知點A（-2，0）、B（3，0），動點P（x,y）滿足·

=x2-6，則點P軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

解析=（-2-x，-y），=（3-x，-y），則·=（-2-x）（3-x）+（-y）2=x2-6，化簡得y2=x,軌跡為拋物線.D第6頁第6頁4.已知定點P（x0，y0）不在直線l:f(x,y)=0上，則方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一條（）A.過點P且垂直于l直線B.過點P且平行于l直線C.但是點P但垂直于l直線D.但是點P但平行于l直線

解析∵P（x0，y0）不在直線l上,∴f（x0，y0）≠0.∴方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示直線與l平行.又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0.∴點P（x0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示直線上，即直線過P點.B第7頁第7頁5.已知兩定點A（-2，0），B（1，0）,假如動點

P滿足|PA|=2|PB|，則點P軌跡所圍成圖形面積等于（）A.B.4C.8D.9

解析設(shè)P（x，y），則由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=4［(x-1)2+y2］,即（x-2）2+y2=4，故P點軌跡是以（2，0）為圓心，以2為半徑圓.∴所圍成圖形面積等于·22=4.B第8頁第8頁題型一直接法求軌跡方程【例1】如圖所表示，過點P（2，4）作互相垂直直線l1、l2.若l1交x

軸于A，l2交y軸于B，求線段AB

中點M軌跡方程.

設(shè)M（x，y），則A、B兩點坐標可用x,y表示，再利用·=0,建立等式即可.思維啟迪題型分類深度剖析第9頁第9頁解設(shè)點M坐標為（x,y）,∵M是線段AB中點，∴A點坐標為（2x,0），B點坐標為（0，2y）.∴=（2x-2，-4），

=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴線段AB中點M軌跡方程為x+2y-5=0.第10頁第10頁探究提升

（1）本題中檔量關(guān)系尚有kPA·kPB=-1，|AB|=2|PM|.但利用kPA·kPB=-1時，應分直線l1斜率存在和不存在兩種情況,應用|AB|=2|PM|時，運算較繁.（2）求軌跡方程時，最后要注意它完備性與純粹性，多出點要去掉，漏掉點要補上.第11頁第11頁知能遷移1已知動點M到定點

A(1,0)與定直線l:x=3距離之和等于4,求動點M軌跡方程.

解如圖所表示,設(shè)M（x,y）是軌跡上任意一點,作MN⊥l于N.則|MA|+|MN|=4，即=4-|x-3|.當3≤x≤4時，=7-x.即y2=-12(x-4)(3≤x≤4).當0≤x≤3時，=x+1,即y2=4x(0≤x≤3).∴M軌跡方程是y2=-12(x-4)(3≤x≤4)和y2=4x(0≤x≤3).第12頁第12頁題型二利用定義法求軌跡方程【例2】一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓

x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心M軌跡方程，并闡明它是什么樣曲線.

利用兩圓位置關(guān)系—相切這一性質(zhì)得到動圓圓心與已知兩圓圓心間關(guān)系，再從關(guān)系分析滿足何種曲線定義.思維啟迪第13頁第13頁解辦法一如圖所表示，設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為R，設(shè)已知圓圓心分別為O1、O2，將圓方程分別配方得：（x+3）2+y2=4,(x-3)2+y2=100,當動圓與圓O1相外切時，有|O1M|=R+2.①當動圓與圓O2相內(nèi)切時，有|O2M|=10-R.②第14頁第14頁將①②兩式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，∴動圓圓心M（x,y）到點O1（-3,0）和O2（3,0）距離和是常數(shù)12，因此點M軌跡是焦點為O1（-3,0）、O2（3,0）,長軸長等于12橢圓.∴2c=6，2a=12，∴c=3，a=6，∴b2=36-9=27，∴圓心軌跡方程為軌跡為橢圓.第15頁第15頁辦法二由辦法一可得方程移項再兩邊分別平方得：兩邊再平方得3x2+4y2-108=0，整理得因此,動圓圓心軌跡方程是軌跡是橢圓.第16頁第16頁探究提升

在利用圓錐曲線定義求軌跡時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線定義，則依據(jù)曲線方程，寫出所求軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上特定點軌跡，則利用圓錐曲線定義列出等式，化簡求得方程.第17頁第17頁知能遷移2已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:（x-3）2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M軌跡方程.解如圖所表示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，依據(jù)兩圓外切充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.由于|MA|=|MB|，因此|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.第18頁第18頁這表明動點M到兩定點C2，C1距離之差是常數(shù)2.依據(jù)雙曲線定義,動點M軌跡為雙曲線左支（點M到C2距離大，到C1距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點M坐標為（x,y）,其軌跡方程為(x≤-1).第19頁第19頁題型三相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程【例3】（12分）已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°,求矩形APBQ頂點Q軌跡方程.

連結(jié)QP交AB于R,則R是矩形APBQ

中心.因而可選R坐標為中間變量，先求R

軌跡方程,再將Q坐標代入R坐標中即可.思維啟迪第20頁第20頁解如圖所表示，設(shè)AB中點為R,坐標為（x1，y1），Q點坐標為（x，y）， 2分則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又由于R是弦AB中點，依垂徑定理有Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x+y）.又|AR|=|PR|=因此有（x1-4）2+y=36-（x+y）.即x+y-4x1-10=0. 8分4分第21頁第21頁由于R為PQ中點，因此x110分代入方程x+y-4x1-10=0，得整理得x2+y2=56.這就是Q點軌跡方程. 12分第22頁第22頁探究提升

相關(guān)點法也叫坐標轉(zhuǎn)移（代入）法，是求軌跡方程慣用辦法.其題目特性是：點A運動與點B運動相關(guān),且點B運動有規(guī)律（有方程），只需將A坐標轉(zhuǎn)移到B坐標中,整理即可得A軌跡方程.第23頁第23頁知能遷移3已知長為1+線段AB兩個端點

A、B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且=.求點P軌跡C方程.

解設(shè)A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），

又=（x-x0，y），=（-x，y0-y），因此x-x0=-，y=（y0-y）得x0=，y0=（1+）y.由于|AB|=1+，即x+y=（1+）2，

第24頁第24頁化簡得∴點P軌跡方程為第25頁第25頁辦法與技巧1.弦長公式:直線y=kx+b與二次曲線C交于P1（x1,y1）

與P2(x2,y2)得到弦長為思想辦法感悟提升第26頁第26頁2.求軌跡辦法（1）直接法：假如動點滿足幾何條件本身就是一些幾何量（如距離與角）等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表示,我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為

x、y等式就得到曲線軌跡方程.（2）定義法：其動點軌跡符合某一基本軌跡（如直線與圓錐曲線）定義，則可依據(jù)定義采用設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動點軌跡方程.第27頁第27頁在判斷軌跡符合哪一個基本軌跡時，經(jīng)常用幾何性質(zhì)列出動點滿足距離關(guān)系后，可判斷軌跡是否滿足圓錐曲線定義.定義法與其它求軌跡方程思維方法不同處在于：此方法經(jīng)過曲線定義直接判斷出所求曲線軌跡類型，再利用待定系數(shù)法求軌跡方程.（3）代入法（相關(guān)點法）：當所求動點M是隨著另一動點P（稱之為相關(guān)點）而運動.假如相關(guān)點P所滿足某一曲線方程，這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標，再把相關(guān)點代入曲線方程，就把相關(guān)點所滿足方程轉(zhuǎn)化為動點軌跡方程，這種求軌跡方法叫做相關(guān)點法或坐標代換法.第28頁第28頁失誤與防備1.求曲線方程時有已知曲線類型與未知曲線類型，

普通當已知曲線類型時普通用待定系數(shù)法求方程；當未知曲線類型時慣用求軌跡方程辦法求曲線方程.2.求曲線軌跡方程時，經(jīng)常要設(shè)曲線上任意一點坐標為（x,y）,然后求x與y關(guān)系.第29頁第29頁3.在求軌跡方程五種類型中，單從思維角度應當分為兩個方面：一是用定義法,（從已知曲線類型、或從距離關(guān)系中）能判斷到曲線類型時,再用待定系數(shù)法求曲線方程；二是,當未知曲線類型時用其它四種辦法求曲線方程.4.仔細區(qū)別五種求軌跡辦法，合理擬定要選擇求軌跡辦法,哪些類型、哪些已知條件適合哪一種辦法，要融會貫穿，不可亂用辦法！第30頁第30頁一、選擇題1.（·北京理,4）若點P到直線x=-1距離比它到點（2,0）距離小1,則點P軌跡為（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析由題意可知,點P到直線x=-2距離等于它到點(2,0)距離,依據(jù)拋物線定義知,點P軌跡為拋物線.定期檢測D第31頁第31頁2.方程（x-y）2+(xy-1)2=0曲線是（）A.一條直線和一條雙曲線B.兩條雙曲線C.兩個點D.以上答案都不對

解析（x-y）2+(xy-1)2=0C第32頁第32頁3.已知定點A（1，1）和直線l:x+y-2=0，那么到定點A距離和到定直線l距離相等點軌跡為（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線解析由于點A在直線x+y-2=0上.因此選D.D第33頁第33頁4.已知點A（-2,0）、B（3,0）,動點P（x，y）滿足·=x2，則點P軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

解析由條件知，=（-2-x，-y），=（3-

x，-y）.∴·=（-2-x）（3-x）+y2=x2，整理得：x2-x-6+y2=x2，即y2=x+6，∴點P軌跡為拋物線.D第34頁第34頁5.如圖所表示,一圓形紙片圓心為

O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F

重疊,然后抹平紙片,折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓解析由條件知|PM|=|PF|.∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R＞|OF|.∴P點軌跡是以O(shè)、F為焦點橢圓.A第35頁第35頁6.有一動圓P恒過定點F(a,0)（a＞0）且與y軸相交于點A、B，若△ABP為正三角形，則點P軌跡為（）A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線解析設(shè)P（x，y），動圓P半徑為R，由于△ABP為正三角形，∴P到y(tǒng)軸距離d=，即|x|=.而R=|PF|=∴|x|=·整理得:(x+3a)2-3y2=12a2，即∴點P軌跡為雙曲線.D第36頁第36頁二、填空題7.平面上有三個點A（-2，y），B，C（x，y），若⊥則動點C軌跡方程是

.解析∴動點C軌跡方程為y2=8x.y2=8x，第37頁第37頁8.△ABC中，A為動點，B、C為定點，

且滿足條件sinC-sinB=sinA,則動點A軌跡方程是

.解析由正弦定理：∴|AB|-|AC|=|BC|，且為雙曲線右支.第38頁第38頁9.已知△ABC頂點B（0，0），C（5，0），AB

邊上中線長|CD|=3，則頂點A軌跡方程為

.

解析辦法一

直接法.設(shè)A（x,y）,y≠0,則化簡得：（x-10）2+y2=36,由于A、B、C三點構(gòu)成三角形，因此A不能落在x軸上，即y≠0.第39頁第39頁辦法二定義法.如圖所表示，設(shè)A（x,y）,D為AB中點，過A作AE∥CD交x軸于E，∵|CD|=3，∴|AE|=6，則E（10，0）∴A到E距離為常數(shù)6，∴A軌跡為以E為圓心，6為半徑圓，即(x-10)2+y2=36,又A、B、C不共線，故A點縱坐標y≠0,故A點軌跡方程為（x-10）2+y2=36(y≠0).答案

(x-10)2+y2=36(y≠0)第40頁第40頁三、解答題10.A、B分別是直線y=x和y=-x上動點.O是坐標原點，且|OA|·|OB|=a2+b2（a，b為常數(shù)值，b≠0）.求線段AB中點P軌跡方程.

解設(shè)P、A、B三點坐標分別為（x，y）、（x1，y1）、（x2，y2）.

①②③④第41頁第41頁又|OA||OB|=且|OA||OB|=a2+b2，∴|x1x2|=a2. ⑤將③④代入②得y=(x1-x2),即 ⑥①2-⑥2得x2-即x2-=±a2.∴所求軌跡方程為=±1.第42頁第42頁11.已知拋物線y2=2x,O為頂點，A、B為拋物線上兩動點，且滿足OA⊥OB，假如OM⊥AB，垂足為M，求M點軌跡.

解辦法一設(shè)直線OA方程為y=kx,則直線OB方程為y=-x.由得k2x2=2x,則x=0或x=∴A點坐標為