遼寧省2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理

高三上學(xué)期期末考試?yán)頂?shù)試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知會(huì)集，1，，則A.B.C.D.1，【答案】B【解析】解：會(huì)集，1，，則．應(yīng)選：B．化簡(jiǎn)會(huì)集M，依照交集的定義寫出．本題觀察了會(huì)集的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．2.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為【答案】C【解析】解：．的實(shí)部為3．應(yīng)選：C．直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．本題觀察復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，觀察復(fù)數(shù)的基本看法，是基礎(chǔ)題．3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.B.C.D.-1-【答案】B【解析】解：在拋物線，即y，，，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，應(yīng)選：B．先把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用拋物線y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，求出物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．本題觀察拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為4.已知向量，的夾角為，且，，則A.B.C.D.【答案】D【解析】解：向量，的夾角為，且，，，，應(yīng)選：D．由題意可得，，再依照，計(jì)算求的結(jié)果．本題主要觀察兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于基礎(chǔ)題．5.在中，，，，則A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，，，由正弦定理可得：，可得：，，可得：為銳角，-2-．應(yīng)選：D．由已知利用正弦定理可得的值，依照大邊對(duì)大角可求為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．本題主要觀察了正弦定理，大邊對(duì)大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的綜合應(yīng)用，觀察了轉(zhuǎn)變思想，屬于基礎(chǔ)題．已知一個(gè)樣本，樣本容量為7，平均數(shù)為11，方差為2，現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)11，此時(shí)樣本容量為8，平均數(shù)為，方差為，則A.B.C.D.【答案】A【解析】解：某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為11，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)11，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，，，應(yīng)選：A．由題設(shè)條件，利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解．本題觀察平均數(shù)和方差的計(jì)算公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．九章算術(shù)勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問水深、葭長(zhǎng)各幾何”其意思是：有一水池一丈見方，池中生有一顆近似蘆葦?shù)闹参?，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊以以下圖，問水有多深，該植物有多長(zhǎng)？其中一丈為十尺若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為-3-A.B.C.D.【答案】B【解析】解：設(shè)水深為x尺，則，解得，即水深12尺．又葭長(zhǎng)13尺，則所求概率，應(yīng)選：B．設(shè)水深為x尺，利用勾股定理求出水深，結(jié)合葭長(zhǎng)13尺，代入幾何概型概率計(jì)算公式，可得答案．本題觀察的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．8.已知拋物線C：焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為其準(zhǔn)線上一點(diǎn)，M是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則直線PF的斜率為A.B.C.D.【答案】B【解析】解：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖：過M作準(zhǔn)線于N，則依照拋物線的定義得由于，所以，，此時(shí)PF的斜率為，-4-當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可得直線PF的斜率為應(yīng)選：B．依照向量知識(shí)和拋物線的定義將問題轉(zhuǎn)變?cè)谥苯侨切沃袖J角的正切值．本題觀察了直線與拋物線的綜合，屬難題．9.如圖，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，則直線與直線所成角的余弦值為A.B.C.D.【答案】A-5-【解析】解：在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，在平面ABC中，過A作AB的垂線為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，，0，，0，，，0，，，設(shè)直線與直線所成角為，則．直線與直線所成角的余弦值為．應(yīng)選：A．以A為原點(diǎn)，AB為x軸，在平面ABC中，過A作AB的垂線為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與直線所成角的余弦值．本題觀察異面直線所成角的余弦值的求法，觀察空間中線線、線面、面面間的地址關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，觀察運(yùn)算求解能力，觀察數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．10.在區(qū)間僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的最小值是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：在區(qū)間僅有三個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間僅有三個(gè)解，即在區(qū)間僅有三個(gè)解，這三個(gè)根應(yīng)為：，，，應(yīng)選：C．依照題意可得，在區(qū)間僅有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，求得的最小值．-6-本題主要觀察函數(shù)的零點(diǎn)的定義，正切函數(shù)的圖象，屬于中檔題，11.設(shè)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，則滿足不等式組的解集為A.B.C.D.【答案】A【解析】解：依照題意，為周期為2的偶函數(shù)，則且，則有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又由在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則在上遞加，且，，則，即不等式組的解集為；應(yīng)選：A．依照題意，由函數(shù)的周期性與奇偶性解析可得，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，據(jù)此可得在上遞加，且，，則進(jìn)而解析可得答案．本題觀察函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性，要點(diǎn)是解析函數(shù)的對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題．12.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為e，過原點(diǎn)斜率為k的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，M、N分別為線段AF、BF的中點(diǎn)，以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O，若，則e的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：記線段MN與x軸交點(diǎn)為C．的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，-7-，，B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，．原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，．．，，．設(shè)，，易得．由，可得得，．直線AB斜率為，，，由于，離心率e的取值范圍為應(yīng)選：D．經(jīng)過幾何法獲得，由，可獲得A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出OA的斜率，由直線AB斜率為，求出e的取值范圍．本題觀察橢圓的方程和性質(zhì)，主要觀察橢圓方程的運(yùn)用，同時(shí)觀察圓的性質(zhì)和直線斜率公式-8-的運(yùn)用，觀察運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】解：雙曲線，雙曲線的漸近線方程為，即故答案為：雙曲線的漸近線方程為，整理后就獲得雙曲線的漸近線方程．本題觀察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．14.的張開式中x的系數(shù)為______．【答案】1792【解析】解：的張開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得張開式中x的系數(shù)為，故答案為：1792．在二項(xiàng)張開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得張開式中x的系數(shù)．本題主要觀察二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)張開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．某學(xué)校舉辦科技節(jié)活動(dòng)，有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加“智能機(jī)器人”項(xiàng)目比賽，該項(xiàng)目只設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對(duì)這四個(gè)參賽團(tuán)隊(duì)獲獎(jiǎng)結(jié)果展望以下：小張說：“甲團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小王說：“甲或乙團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；-9-小李說：“丁團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小趙說：“乙、丙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)均未獲得一等獎(jiǎng)”．若這四位同學(xué)中只有兩位展望結(jié)果是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是______．【答案】丁【解析】解：若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是甲團(tuán)隊(duì)，則小張、小王、小趙展望結(jié)果是對(duì)的，與題設(shè)矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是乙團(tuán)隊(duì)，則小王展望結(jié)果是對(duì)的，與題設(shè)矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是丙團(tuán)隊(duì)，則四人展望結(jié)果都是錯(cuò)的，與題設(shè)矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是丁團(tuán)隊(duì)，則小李、小趙展望結(jié)果是對(duì)的，與題設(shè)切合，即假設(shè)正確，即獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是：丁故答案為：丁先閱讀理解題意，再逐一進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理即可．本題觀察了閱讀理解能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，屬簡(jiǎn)單題．16.已知底面邊長(zhǎng)為3的正三棱錐的外接球的球心Q滿足，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______．【答案】【解析】解：正三棱錐的外接球的球心O滿足，為的外心．外接圓的圓心為正三棱錐的外接球的球心，，，．．，-10-．則這個(gè)正三棱錐的內(nèi)切球半徑r滿足：，解得故答案為：．由已知可得Q為的外心，外接圓的圓心為正三棱錐的外接球的球心，求得PQ，再由等積法求解正三棱錐的內(nèi)切球半徑．本題觀察了球的內(nèi)接三棱錐的內(nèi)切球的半徑求法，觀察了計(jì)算能力，轉(zhuǎn)變思想，屬于中檔題．三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d．若且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，，成等比數(shù)列，求公比q．【答案】解：且，，解得，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，成等比數(shù)列，，，整理可得，則或，-11-當(dāng)時(shí)，公比為1，當(dāng)，，【解析】依照等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式即可求出，依照等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出．本題觀察了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，觀察了運(yùn)算和求解能力，屬于基礎(chǔ)題某工廠有兩臺(tái)不同樣的機(jī)器A和B，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬件，現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取20件，進(jìn)行質(zhì)量判斷，判斷成績(jī)的莖葉圖以以下圖：該產(chǎn)品的質(zhì)量談?wù)摌?biāo)準(zhǔn)規(guī)定：判斷成績(jī)?cè)趦?nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀；判斷成績(jī)?cè)趦?nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀；判斷成績(jī)?cè)趦?nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為合格，將頻率視為概率．完成以以下聯(lián)表，以產(chǎn)質(zhì)量量等級(jí)可否達(dá)到優(yōu)秀以上含優(yōu)秀為判斷依照，判斷能不能夠在誤差不高出的情況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級(jí)可否達(dá)到優(yōu)秀以上含優(yōu)秀與生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器有關(guān)：A機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品合計(jì)優(yōu)秀以上含優(yōu)秀__________________合格__________________合計(jì)__________________已知質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀的產(chǎn)品的售價(jià)為12元件，質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀的產(chǎn)品的售價(jià)為10元件，質(zhì)量等級(jí)為合格的產(chǎn)品的售價(jià)為5元件，A機(jī)器每生產(chǎn)10萬件-12-的成本為20萬元，B機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的成本為30萬元，該工廠決定，按樣本數(shù)據(jù)測(cè)算，兩種機(jī)器分別生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品，裁汰收益低的機(jī)器，你認(rèn)為該工廠會(huì)怎么做？【答案】6121814822202040【解析】解：依照題意填寫列聯(lián)表以下，A機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品合計(jì)優(yōu)秀以上含優(yōu)秀61218合格14822合計(jì)202040計(jì)算，不能夠判斷在誤差不高出的情況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級(jí)可否達(dá)到優(yōu)秀以上含優(yōu)秀與生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器有關(guān)；機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的收益為萬元，B機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的收益為萬元，則，所以該工廠不會(huì)依舊保留原來的兩臺(tái)機(jī)器，應(yīng)該會(huì)賣掉A機(jī)器，同時(shí)購買一臺(tái)B機(jī)器．依照題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算察看值，比較臨界值得出結(jié)論；計(jì)算A、B機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的收益，比較得出結(jié)論．-13-本題觀察了莖葉圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19.如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．【答案】證明：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且，，，，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則0，，0，，1，，0，，，1，，，設(shè)平面ABF的法向量y，，則，取，得，設(shè)平面的法向量y，，BCF-14-則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【解析】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，推導(dǎo)出，，，由此能證明平面BDEF．以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本題觀察線面垂直的證明，觀察二面角的余弦值的求法，觀察二面角的求法，觀察空間中線線、線面、面面間的地址關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，觀察運(yùn)算求解能力，是中檔題．20.已知橢圓C：的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C訂交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為2時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．求a、b的值；上可否存在點(diǎn)P，使適合l繞F轉(zhuǎn)到某一地址時(shí)，有建立？若存在，求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明原由．【答案】解：設(shè)，直線l的方程為，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為，，，，，，-15-即；由知橢圓的方程為，即，假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的直線，由題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為l：，設(shè)、，把l：代入橢圓方程，整理得，顯然．由韋達(dá)定理有：，，，在橢圓上，代入橢圓方程整理得，解得無解，故不存在這樣的點(diǎn)P，使適合l繞F轉(zhuǎn)到某一地址時(shí)，有建立．【解析】設(shè)，則直線l的方程為，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離求得c，進(jìn)而依照離心率求得a和b把l：代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可求得和的表達(dá)式，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可解決．本題觀察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓訂交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算，觀察了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)．若，求函數(shù)在處的切線方程；如有兩個(gè)零點(diǎn)、，且．求a的取值范圍；證明：．-16-【答案】解：，由條件知，，函數(shù)在處的切線方程為，即，，當(dāng)時(shí)，在上恒建立，此時(shí)在R上單調(diào)增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由解得當(dāng)時(shí)，0'/>，單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，有兩個(gè)零點(diǎn)、，，解得由條件知，，．可得，．方法一：故．設(shè)，則，且，解得，．，要證：，即證明，即證明，設(shè)，，令，，則，在上單調(diào)增，，-17-在上單調(diào)增，則即時(shí)，建立，．方法二：則，設(shè)，則，為的兩個(gè)零點(diǎn)，，易得在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，所以，設(shè)，，則，恒建立，則在上單調(diào)增，，，即，即，又在上單調(diào)減，，，，即，【解析】求出的導(dǎo)數(shù)，，，即可求出切線方程，求出的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過談?wù)揳的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，有兩個(gè)零點(diǎn)、，則，解得即可先獲得，，方法一：設(shè)，解得，，問題轉(zhuǎn)變成證明即可；方法二：由，設(shè)，依照函數(shù)的單調(diào)性獲得，設(shè)，，結(jié)合的單調(diào)性證明即可．-18-本題觀察了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，觀察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒建立問題，觀察了