全國高考數(shù)學復習微專題圓錐曲線中的面積問題

22一、基礎知識：、面積問題的解決策略：（1求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優(yōu)先選擇能用坐標直接進行表示的底（或高（2面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形個圖形面積的關系的轉化鍵求存異些圖形的底和高中是否存同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最，在尋底找高的過程中選長為定值的線段參與運算可以使函數(shù)解析式較為簡單，便于分析、橢圓與雙曲線中焦點三角形面積公式（證明詳見“圓錐曲線的性質（）橢圓：設為橢圓tanVPFF2

2ya2b2

上一點，且

PF12

，則（2雙曲線：設2VPFF

P

為橢圓

aa2

上一點，且

PF12

，則二、典型例題：例設F為圓的右焦點橢中心任一直線與橢圓交于1當四邊形PF的積最大時，PF的等于___________11

兩點，思路：由橢圓中心對稱的特性可知,Q關于原點中心對稱，所

VF與VQFF121

關于原點對稱，面積相等。且四邊形

PF可拆成與VQFF1112

的和，所以四邊形

PF1的面積最大即

VF12

面積最大，因為

VF

1F1

p

，所以當

最大時，VF12

面積最大。即P位于短軸頂點時，

VF12

面積最大。由

可知

22211122221112c

以

12

3,0

而算出

2

的值為

答案：

例2：已知點

P

是橢圓

16x

上的一點，且在

軸上方，

F12

分別為橢圓的左右焦點，直線PF的斜率為則VPFF21

的面積是（）

323

243

C.

32

24思路：將橢圓化為標準方程為

x22100

，進而可得

c

，所以

F2

，計算

VF12

的面積可以以

F

為底，

P

為高，所以考慮利用條件計算出

P

的縱坐標，x25設

x,y

，則有

k

PF

y3x

y，所以x

可解得

43

或

6419

（舍去以

S

1F3VF1答案：例3：知

為拋物線

y

的焦點，點

A,B

在該物線且位于

軸的側，OA2

，則

與

AFO

面積之和的最小值是（）

C.

178

思路：由

OA

入手可考慮將向量坐標化，設

,y1

2

，則xxy112

，進而想到可用韋達定理。所以設

AB

與

軸交于

M

直線ABx

。

聯(lián)

立

方

程

2xty

y2

，

所

以yyxx12

y

所由

xx2可：1212

2m2

所以

y1

，

不

妨

設

A

在

軸

上

方，

如

圖

可

得：S

VABO

V

119OMyOFyy，y知y2

21

，

11221122消元后可得：

V

VAFO

9292y8y8y11

，等號成立當且僅當

y

43

，所以

VABO

V

的最小值為

答案：例：拋物線

y2

的焦點為

，準線為

l

，經(jīng)過

斜率為3的直線與拋物在

軸上方的部分相交于點

A

，

，垂足為AKl3

，則

VAFKC.

的面積是（）3

思路：斜率為3可直線的傾斜角為

3

，從而可得KAF，3所以在計算面積時可利用兩邊夾角，所以可得

VAKF

12

，由拋物線性質可得

AF

，所以只需求得焦半徑AF即需解出點橫坐標利用幾何關系可得

OFFM

12

AF

，另一方面，由焦半徑公式可得：

，所以可得方程：

12

，從而

，所以

VAKF

1sin4323答案：小煉有話說）題的解法是利用題目中的幾何關系求解，繞過代數(shù)運算，而突破點即為直線的傾斜角

3

，所以當題目中出現(xiàn)特殊角時，可以考慮蘊含其中的幾何特點，從而使得運算更為簡單。（2）本題的x也通過聯(lián)立方程，使用代數(shù)方法解決，方法步驟如下：A由拋物線方程可得：

Fy

，聯(lián)立方程：2x

x

，整理可得：

x

x或

13

PMFVPMFPFFF11212PMFVPMFPFFF11212

xy23

或

1x32y3

（舍）

xA例5橢圓

9

的頂點為焦點點頂點的雙曲線

左焦點分別為

F12

，已知點M的坐標為雙線C上點Py0PFFF121，S等于（）PFF11

0

滿足

2

4

C.

1

思路：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點坐標，

9

的頂點為

，即為觀察

F的標，橢圓的點為，而512121可想到投影，即在PF的影與MF在F的影相PFF11等，由幾何關系可得

1

為

F1

的角平分線。由

M

MF

，即平分F221

，從而M為VPFF12

的內心，且內切圓半徑

ryM

。從而

VPMF

V

11rPFPF2222答案：A例已知點

P

為雙曲線

2y2ba2b2

右支上一點，

F1

分別是雙曲線的左右焦點，且

FF12

ba

，

I

為三角形

PFF1

的內心，若

IPFIPF

IFF

成立，則

的值為（）

12

3

C.

2

2思路：由三角形內心的性質可得

I

到三邊的距離相等，所以VIPF,IPFVIFF12

的

高

均

為

r

，

從

而

VIPFVIFF1221VIPFVIFF1221

IF

PFF即1

F11

a

所只需利用

FF12

ba

確定

,

的關系即可。解：QI

為三角形

PFF1

的內心

VIPF

11PFSFF222

IF

PFF1

FFPFPF1

QP

在雙曲線上，且

F12

是焦點PFFF11

a

即

為離心率由

FF12

b可得：caa

2ac

2

2

，兩邊同時除以

2

得：ee

，解得

22

e2

即

答案：例7已知點

:

2yaa22

3的離心率為，是橢圓的2右焦點，直線

AF

的斜率為

233

，

為坐標原點（1求E的方程（2設過點A的直線l與E相于Q兩點，當OPQ面積最大時，求l的程解）

F

AF

23

c3Qe

3a

a

2c3

2

b22:

4

2思路首設

:y

，yy12

由像可得

VOPQ

12

d

，

221222221222考慮聯(lián)立直線與橢圓方程并利用點到直線距離公式和弦長公式用

k

表示出

d

O

PQ

，從而

OPQ

也可用

k

進行表示：

V

4242

442

442

，再利用均值不等式即可得到最大值。等號成立的條件

4k2

44k2

即為

的值意線與橢圓相交，所以消元后的方程

）（2設直線

ykx，P12

聯(lián)立方程可得：

ykxxy

x

2

，整理后可得：

2

kx12

，因為方程有兩個不等實根

解得：

3或2

VOPQ

1dd

22

2

12

2

x1

2

1由方程

2

kx

可得：x1

16k12,x4kk

代入

可得：

642424k24S

VOPQ

24k2144k2

44k2

44k2

由均值不等式可得：

4

44

2

44

4

2222等號成立條件：

4k

2

44k

4

2

4

72

OPQ

此

72l

的方程為

7或x2例8知橢圓

2ya2b

1的離心率為過右焦點F的直線l與C交于2

兩點，當

l

的斜率為

時，坐標原點

O

到

l

的距離為

22（1求橢圓

的方程（若

PQ,M,N

是橢圓

上的四點，已知

PF

與

FQ

共線，

MF

與

共線，且

，求四邊形

PMQN

面積的最小值解）

ea2

，設

F

l:x

c

2

a

2

2

xy43（2由（）可得：

F

，因為

PFMF

1MNPMQN設

y12

，

，聯(lián)立方程可得：x

，消去可：3x

2

k

2

整理后可得：

2

2

k

2

2

12x11

k14424k

①

222y222y設

MN:

11，以替換①中的可：MN

1124

12k3k2S

PMQN

122PQ3k2124k212425k12k設

u2

12

，可得

u2,

PMQN

u12u

11225時

min

28849例：在平面直角坐標系

中，已知點

，

P

是動點，且三角形

的三邊所在直線的斜率滿足

k

PA（1求點

P

的軌跡方程（2若Q是跡上于點P的個點，且

P，線O與QA于點，：是否存在點P使V和V的積滿足

PQM

S

？若存在，求出點P的標，若不存在，請說明理由。（1）思路：本題設點

，且

OA

已知，直接利用條件列出等式化簡即可解：設

P

可得：

y,kk

，依題意

kk

可得：x

整理后可得：yx

2

，其中

x0,x所以P的軌跡方程為

x

‘

211VPQMVPAM211VPQMVPAM（2）思路：從圖中可得PQA

和

V

的高相同，從而面積的比值轉化為對應底邊的比，即

2

PAM

QA2AM

，再由

可得OA

，進而2AMOPOM由OPM

共線再轉成向量關系則只需求出的標即可解出

P

的坐標解：設

11

2

22

QOAOAk

PQ

k

OA

，即

x2x2

x2k

QA

x2x2:

因為

OP:y1M:

y1

可解得

xM

121Q,SAM2QAAMQOA

且SPPQMVPAMAMOM，OMPMP所以存在符合條件的

P例10設拋物線

y

2

2x

的焦點為，過點M

3,0

相于A,兩，與拋物線的準線相交于

BF

與

ACF

的面積之比

（）

44C.D.532思路：由

聯(lián)想到焦半徑公式，從而解得

22S2dACBQ2x1y22422122S2dACBQ2x1y