2022-2023學年江西省贛州市文清外國語學校高三第四次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項：2B2B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。zizA．1

z

i，則z（ ）B．-1 C．1i D．1iy2+x2

=1(a>b>0)

yx1 A

F(0

-c) c

ABF已知橢圓a2 b2

與直線a b

兩點，焦點

，，其中

為半焦距，若△

是直角三角形，則該橢圓的離心率為（ ）5-1A．2

3-12

314

5143．定義在R上的偶函數(shù)（）滿足（+）＝（，當∈﹣，﹣2時，（）＝﹣﹣，則（ ）A．f

＞f6

cos6

B．f（sin3）＜f（cos3） 3C．fsin3

＜f

cos 3

D．f（2020）＞f（2019）2i若i1Zz，則表示復數(shù)z

的點是（ ）A．E B．F C．G D．H小張家訂了一份報紙，送報人可能在早上6:307:30之間把報送到小張家，小張離開家去工作的時間在早上7.008:00之間.用A表示事件：“小張在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為x，小張離開家的時間為y，(x,y)看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P(A)等于（ ）5 2 3 7A．8 B．5 C．5 D．8ft東煙臺蘋果因果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃享譽國內.據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成體）的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布N2X~N2PX

0.6826，PX

0.9544.A．0.6826

10.2

B．0.84131

clog

C．0.81852

D．0.95447．已知a2 ，b0.22， 1 ，則( ) 3A．abc B．bac C．bca D．acbRf(x)4x[2,2)f(x)1xx4flog

6flog

543 3 3 （ ）32

3log22 3

12

2log23 3fxcosx2

與gxkxk在6,8上最多有n個交點，交點分別為x,y（i1，，，則nxii1A．7

y（ ）iB．8 C．9 D．10已知銳角滿足2sin21cos2,則tan（ ）1A．2 B．1 C．2 D．4y2sin2x的圖象經過點

0fxsin2xcos2x圖象的一條212 212 對稱軸的方程可以為( )

37

17

13x24

x24

x24

x24設正項等差數(shù)列

的前n

2

的最小值為8n n 6 3 a82A．8 B．16 C．24 D．36二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知等比數(shù)列

的各項都是正數(shù)，且3a

,1a,

成等差數(shù)列，則log

a)log

a)= ．n 22 3 1

2 3 4

2 4 5f(x)mx2ex值范圍是 ．

1(e為自然對數(shù)的底數(shù)）在xx1

和xx2

兩處取得極值，且x2

2x1

，則實數(shù)m的取在ABC中，角A的平分線交BC于D，BD3，CD2，則ABC面積的最大值為 ．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人那么高二年級被抽取的人數(shù)．70（12分）在ABC中，內角,B,C的邊長分別為a,b,c，且c2．π若A

b3，求sinC的值；3若sinAcos2

BsinBcos2 3sinC，且的面積S sinC，求a和b的值．A A 2518（12分）已知a,b,c均為正實數(shù)，函數(shù)fxx1

x1

1的最小值為1.證明：a2 b2 4c2（1）a2b24c29；1（2）

1

1.ab 2bc 2ac19（12分）如圖，在三棱柱ABCAB

中，AB平面ABC，ABAC，且ABACAB2.1 1 1 1 1AA1B

與BC所成的角的大??；上確定一點P，使二面角PABA的平面角的余弦值為2 5.1 1 1 520（12分）已知函數(shù)f(x)(x1)lnx，g(x)xk.x x（1）證明：函數(shù)f(x)的極小值點為1；（2）yf(xg(x在1,17.821（12分）已知拋物線＝2p（＞，焦點F到準線的距離為，拋物線E上的兩個動點（x）和（x2，2，其中x1x2且x1x＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點．E的方程；求△ABC面積的最大值．22（10分）移動支付（支付寶及微信支付）100位市民做問卷調查得到22列聯(lián)表如下：將上220.01的前提下，認為支付方式與年齡是否有關？10103人頒發(fā)35歲（35歲）XX的分布列及期望.（k

nadbc2bcdcbd（nabcd）參考答案125601、B【解析】利用復數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】ziizii(zi(1i)zi1z1.zi故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算，需掌握復數(shù)的運算法則，屬于基礎題.2、A【解析】A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標表示得到關于abc.【詳解】

y2x21a2 b2

x0 xb聯(lián)立方程 ，解方程可得 或 ， yx1

y

y0BA·BF=0，BA·BF=0，不妨設A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，因為BAb,a，BFb,c，bbac0，因為b2a2c2，所以a2-c2=ac，a2e2e10，

或e （舍去，5-11 5-11 5所以該橢圓的離心率為故選：A【點睛】

5-1.2本題考查橢圓方程及其性質、離心率的求解、平面向量垂直的坐標表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標表示得到關于a,b,c的關系式是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.3、B【解析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函數(shù)f（x）在定義域上的圖象，由此結合選項判斷即可.【詳解】由（+）＝（，得（）是周期函數(shù)且周期為，f（x）x∈[﹣3，﹣2]2f（x）f（x）R上的圖象如下，A0sin6

1 3cos1，2 2 6f

66

6，選項A錯誤；6B，所以＜2＜，4 2所以（si）＜（﹣co，即（si）＜（co，選項B正確；3 1 C

,cos ,1sin cos 0，3 2 3 2 3 3

4

4所以fsin 3f

3，即

fsin 3f

3， 選項C錯誤；Df(2020)f(0)f(1)f(2019)D錯誤.故選：B.【點睛】4、C【解析】Z的坐標為(1,1)z1iz1i2i.z【詳解】2i 2i由z1i，所以

i(1i1i，對應點G.故選：C

z 1i【點睛】5、D【解析】這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件A發(fā)生，需滿足xy，即事件A應位于五邊形BCDEF 內，作圖如下：PA

11112 2 271 8【點睛】考查幾何概型，是基礎題.6、C【解析】80，5PX，結合正態(tài)分布曲線的性質可求得結果.【詳解】由題意，80，5，則PX 850.6826，PX 900.9544，所以PX 9010.95440.68260.1359，PX 900.68260.13590.8185.2故果實直徑在75,90內的概率為0.8185.故選：C【點睛】7、B【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，將數(shù)據(jù)和0,1做對比，即可判斷.【詳解】01

101由于 2

2 ， 20.212

1 155155log13

2log13

10故bac故選：B.【點睛】8、A【解析】x[2,2)f

54)f

2)，再與flog

6一起代3入解析式，利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質，即可求得結果.【詳解】Rf(x)4

33 3f(log3

f(log3

544)f(log31

2)，3當x[2,2)時，f(x)( )xx4，3log3

6[2,2)，log3

2[2,2)，3flog3

6f3

5413( )log13

6(

6)41log

2 233 log 4( 3 3 3 33( 1log63( ) 13

log1

6

2)8333 3 3 333363log2

(63)23.2A.【點睛】9、C【解析】gx過定點.【詳解】由題可知：直線gxkxk過定點1,0且fxcosx2

在是關于對稱如圖gxfx9同時點左、右邊各四個交點關于對稱i1

xy2419i i故選：C【點睛】ycosx的性質，屬難題10、C【解析】利用sin2sincos,cos12sin2代入計算即可.【詳解】4sincos2sin2，因為銳角，所以sin02cossin，即tan2.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用，考查學生的運算能力，是一道基礎題.11、B【解析】 由點0求得 12

x

解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得f

x

的對稱軸，由此確定正確選項. 【詳解】由題可知2sin 2

0,. 12

2 6fxsin2xcos2x

2sin 2x2

2sin 2x2 6

6

6 4

12 52x

k,kZ，x

12 2k,k24 2k3x故選：B

24【點睛】12、B【解析】方法一由題意得S 2S (S S)S 2根據(jù)等差數(shù)列的性質得SS,SS,S成等差數(shù)列設Sx(x0)，x16xx16x3a2 (3a

)2

a

)2

S)2 (x4)2 16a則SSa6

x2，SS9 6

x4，則8 = 89a 3a89

7aa

9 6S

x 82x x

816，23a2

2 1 2 3 3x4時等號成立，從而a

的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數(shù)列{a

2d，由等差數(shù)列的前nSn 63a3a1623a2

2S3

2，化簡可得65 32 2

)26a d d)2即d 則

6d)2 2 3 16

816，當且1 2

2 9 a8 2a

a 2

82 僅當3a

16，即

4時等號成立，從而

3a28

2 2 2 2的最小值為16，故選B．2 2 3 a2 2452013【解析】根據(jù)等差中項性質，結合等比數(shù)列通項公式即可求得公比；代入表達式，結合對數(shù)式的化簡即可求解.【詳解】等比數(shù)列

的各項都是正數(shù)，且3a

,1

,

成等差數(shù)列，則a 3

n4a，1

22 3 1由等比數(shù)列通項公式可知aq2

3aq4a，1 1 1所以q23q40，解得q4或q1（舍所以由對數(shù)式運算性質可得log(a2

a)log(a4 2

a)5log2

aa43a a434 5aq2aq3 1log 1 1 log2aq3aq4 2q1 1

12，24故答案為：2.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的簡單應用，等比數(shù)列通項公式的用法，對數(shù)式的化簡運算，屬于中檔題.114ln2

【解析】先將函數(shù)f(x)在xx

和x

兩處取得極值，轉化為方程m

e (x0)x

2x

，再令x1 2 x

1 2 2 1h(x)

ex(x0)ym與曲線h(x)2x

exx2x 2

2x1

，用導數(shù)方法研究h(x)

ex單調性，作出簡圖，求出x 2x

m.2x 2 1【詳解】fexf，又函數(shù)f(x)在xx1

和xx2

兩處取得極值，x

是方程2mxex0

2x，1 2m

(x0)x

2 12x，2x令h(xex2x

(x0)，

1 2 2 1ym與曲線h(x

exx2x 2

2x，1h(xex(2x2)ex(x1)，4x2 2x2h(x)0x1，x1h(x0，即函數(shù)h(x

ex在上單調遞增；2xx00x1h(x0h(x

ex在(,0)和(0,1)上單調遞減；2xx 2x

x x ln2

m 1 1eex1 eex1 2 1 2x1

2x 得12

，此時

，ex2x ln2ex1因此，由x2

2x1

m

1 .ln21故答案為n

【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，已知函數(shù)極值點間的關系求參數(shù)的問題，通常需要將函數(shù)極值點，轉化為導函數(shù)對應方程的根，再轉化為直線與曲線交點的問題來處理，屬于?？碱}型.15、15【解析】

AB BD【詳解】

CD,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出ABC面積的最大值.BD3CD2

BD 3 ,AC CD 2AC2xBAC2,0,AB3x2 2 524x29x223x2xcos25x21312cos1 75sinSABC

23x2xsin3x2sin1312cos2tan 752sincos

75

1tan21312

cos2sin2

1tan213121tan2 150tan 125tan2

1501 25tan 2

1501 25tan

15tan

tan1tan

25tan，即tan1時取等號5所以ABC15故答案為：15【點睛】1620【解析】由三個年級人數(shù)成等差數(shù)列和總人數(shù)可求得高二年級共有600人，根據(jù)抽樣比可求得結果.【詳解】設高一、高二、高三人數(shù)分別為abc，則ac且abc1800，b600，用分層抽樣的方法抽取60人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為60故答案為：20.

60020人．1800【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關知識，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）sinC

（）ab5.21721【解析】先由余弦定理求得a，再由正弦定理計算即可得到所求值；運用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡可得sinA+sinB=5sinCa，b的方程組，解方程即可得到所求值．【詳解】（）由余弦定理a2b2c22bccosA9423212

7,a7a7由正弦定理

c21得sinC21sinA sinC 7（2）sinA1cosBsinB1cosA2 2

3sinCsinAsinAcosBsinBsinBcosA6sinCsinAB6sinC,sinA所以ab10 ①又S1absinC25sinC,所以ab25 ②2 2由①②解得ab5【點睛】18（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】..【詳解】由題意abc0，則函數(shù)f(x)x

x 1

x

1(x

1) 1

1

1 1 ，1a21b24c2 a2 b2 4c2 a2 b2 4c21a21b2fx的最小值為1，即1a2

1 1b2 4c2

1，由柯西不等式得(a2b24c2)

1 1 1

(111)2

9，a2 b2 4c23當且僅當ab2c3

時取“=”.故a2b24c29.1 1a1 1a2 b22 1，ab

1 4c2

1 1，bc a2

1 1，4c2 ac（以上三式當且僅當ab2c

3時同時取“=”）31由（1）知， 1a2

1 1b2 4c2

1，2所以，將以上三式相加得 112

21

1 1 2ab bc ac a2 b2 4c2即1 1 1 1.ab 2bc 2ac【點睛】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎知識，考查運算能力，屬于中檔題.19（1） （2）P3【解析】（）因為A⊥A，A⊥平面AB，所以以A為坐標原點，分別以A、AB所在直線分別為x軸和y11軸，以過A，且平行于BAz軸建立空間直角坐標系，由AB=AC=AB=2求出所要用到的點的坐標，求出棱1111AABC上的兩個向量，由向量的夾角求棱AABC所成的角的大??；111 1 （2）設棱BC上的一點P，由向量共線得到P點的坐標，然后求出兩個平面PAB與平面ABA1 1 面角P-AB-A的平面角的余弦值為2 5，轉化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點的坐標．1 5試題解析：解（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則CBA1

B1

0,4,2，AABCBC2,0.1 1 1AABC 4 1cosAA,BC1

1 AABC

8

2，AA1

1BC所成的角是.3（2）PBC中點，1 1BPBC22,0P2,42,2.1 1 1設平面PAB的法向量為n1

x,y,z，AP2,42,2，nAP0 x3y2z0 zx1

，nAB0 1

2y0

y0故n1ABA

n

cosn,n

nn 1

2 5而平面

的法向量是1 2

，則 1 2

1 2nn

12 5 ，解得

1PB

1 2中點，其坐標為P1,3,2.2 1 1點睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系（）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量（）的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量（）將空間位置關系轉化為向量關系（）根據(jù)定理.20（1）見解析（2）見解析【解析】(1.(2)函數(shù)yfxgx在1,有兩個零點，即方程x2lxx2在區(qū)間1,有兩解，令hxx2lxx2.

k【詳解】（）證明：因為f'x1

1lnx1

1，(x0) x2 x2 1x2當x時，lnx0,11x2fx在區(qū)間

0,1

10，f'x0，x2xlnx0,110,110，x2 x2f'x0fx在區(qū)間遞增；f0fx1yfxgx在有兩個零點， 即方程x21lnx

k在區(qū)間1,有兩解，令hxx2lxx2，則h'x2lxx1x令xh'xx，則'x2lnxh'x在單調遞增，又h'120，h'24ln2502

110，x2故存在唯一的mh'm2mlnmm1

0，即lnm

1 1 ，m 2 2m2hx在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，hhe

hx

hmm2lmm

m21

1 1 m21

m2

1又因為

2 2m2

2 m2m1,2，所以hx

17，8x的方程x21lnxx2

k在1,有兩個零點，由fx的圖象可知，17hx

kh1，即1k17.8

8 min【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導,零點存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.14 721（1）y2＝6x（2） ．14 73【解析】根據(jù)拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；|AB|.【詳解】拋物線＝2p（＞，焦點6x；

p，0）x2

p的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝2AB

，y，則

xx 1 22，x0 0 0 2y y y y 6 3yy

2 1 2 1 y 1 2，k xx y2 y2 yy y ，0 2 AB 2 1

2 1

1 2 06 6ABy﹣y0

y0﹣，①3可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，3 y且點（，，由①可得直線AB的方程為﹣y （x﹣，即x 0﹣y）+2 ②0 y 3 000代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y2＝0 由題意y，2是方程③