2021-2022學(xué)年湖南省郴州市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年湖南省郴州市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B2．已知，向量，，若，則x的值為（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D3．等差數(shù)列中，，，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由等差數(shù)列的基本量法先求得公差，然后可得．【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，所以．故選：C．4．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對(duì)A，，為奇函數(shù)；對(duì)B，，為奇函數(shù)；對(duì)C，，為偶函數(shù)；對(duì)D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.5．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C6．若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.7．已知圓與圓相交于A?B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為.故選：A8．某中學(xué)的校友會(huì)為感謝學(xué)校的教育之恩，準(zhǔn)備在學(xué)校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則以下說(shuō)法不正確（

）A．底面邊長(zhǎng)為6米 B．體積為立方米C．側(cè)面積為平方米 D．側(cè)棱與底面所成角的正弦值為【答案】D【分析】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點(diǎn)，連接，則的大小為側(cè)面與底面所成，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求出該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，斜高和高，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點(diǎn)，連接，由正四棱錐的性質(zhì)，可得由分別為的中點(diǎn)，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則,又則,解得

故選項(xiàng)A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項(xiàng)B正確.該正四棱錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)C正確.由題意為側(cè)棱與底面所成角，則，故選項(xiàng)D不正確.故選：D二、多選題9．下列說(shuō)法正確的有（

）A．曲線的切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B．設(shè)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)恒成立C．函數(shù)在附近單調(diào)遞增D．某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移y（單位：）與時(shí)間t（單位：）之間的關(guān)系為，則時(shí)的瞬間時(shí)速度為4【答案】BD【分析】舉特例判斷選項(xiàng)A；求導(dǎo)并確定導(dǎo)數(shù)值符號(hào)判斷選項(xiàng)B；求導(dǎo)確定導(dǎo)數(shù)在2附近的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)判斷選項(xiàng)C；利用導(dǎo)數(shù)的物理意義計(jì)算判斷選項(xiàng)D作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，，，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線，由解得：或，即曲線在點(diǎn)處切線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，A不正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)?，，B正確；對(duì)于C，在函數(shù)中，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，C不正確；對(duì)于D，依題意，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)的瞬間時(shí)速度為4，D正確.故選：BD10．著名的天文學(xué)家?數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)的三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且太陽(yáng)中心處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，記某行星M繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道為橢圓C，在行星M繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，M與太陽(yáng)中心的最大距離與最小距離分別為10和2，則下列有關(guān)該橢圓C說(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12B．離心率為C．橢圓C與雙曲線有相同的焦點(diǎn)D．若C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，P，Q是橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，A是橢圓上異于P，Q的任意一點(diǎn)，則【答案】ABD【分析】求得橢圓的a、c即可判斷選項(xiàng)ABC；代入計(jì)算即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，可得則橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12.選項(xiàng)A判斷正確；橢圓C離心率.選項(xiàng)B判斷正確；橢圓C的焦點(diǎn)所在軸未確定，故橢圓C與雙曲線有相同的焦點(diǎn)判斷錯(cuò)誤；不妨設(shè)橢圓C的方程為，，,則，選項(xiàng)D判斷正確.故選：ABD11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐的體積為2B．C．異面直線EF與所成角的余弦值為D．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是【答案】BD【分析】轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)求三棱錐的體積；先證線面垂直再證線線垂直即可；組三角形求異面直線EF與所成角；畫出過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的正方體的截面，再求其面積.【詳解】選項(xiàng)A：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：連接、.正方體中，，則面，又平面故.判斷正確；選項(xiàng)C：連接.由E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，可知.則為異面直線EF與所成角或其補(bǔ)角，又由為等邊三角形可知，，則異面直線EF與所成角大小為，.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：正方體中，由E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點(diǎn)，可知，則梯形即為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的正方體的截面.梯形中，上底，下底，腰，則梯形的高為，故.判斷正確.故選：BD12．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由條件可得是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，可得，即可判斷A;由可求出，判斷B的對(duì)錯(cuò)；利用可求，判斷C的對(duì)錯(cuò)；根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列，求出其前n項(xiàng)和，可判斷D.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以.所以，則，故A正確；又，故B錯(cuò)誤；數(shù)列前n項(xiàng)和.則，故C正確；數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤，故選：AC.三、填空題13．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則___________.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：14．已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________．【答案】3【分析】根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及拋物線的最值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.15．已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，P是其一條漸近線上的一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則的面積為___________.【答案】【分析】先得出漸近線方程和圓的方程，然后解出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出面積.【詳解】由題意，漸近線方程為：，，圓的方程為：，聯(lián)立：，所以.故答案為：.16．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱?的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值為___________.【答案】【分析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設(shè)，球心，得到外接球半徑關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求出的最小值，即可得到答案；【詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設(shè)，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時(shí)，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出直線的方程，然后聯(lián)立直線、的方程，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，可求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可求得的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的斜率和點(diǎn)斜式可得出直線的方程.(1)解：，所以，而，則，所以直線的方程為，由，解得，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2)解：因?yàn)樵谥本€，所以可設(shè)，由為線段的中點(diǎn)，所以，將的坐標(biāo)代入直線的方程，所以，解得，所以.故，故直線的方程為，即.18．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點(diǎn)到直線的距離最小，即得.(1)∵函數(shù)，∴的定義域?yàn)?，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點(diǎn)為，而切點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；(2)由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，遞增等比數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求，再由求出，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求(1)，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，∴，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，.(2)①

①①②：∴20．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為?的中點(diǎn).(1)求證：平面BED；(2)求直線與平面FAC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明垂直于平面BED內(nèi)的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，平面FAC的一個(gè)法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；(1)∵ABCD為菱形，∴，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC在平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.(2)∵ABCD為菱形，，∴為正三角形，∴.∵平面ABCD，∴與平面ABCD所成角為，由，得，所以.如圖，分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面FAC的法向量為，則由可得，取，故可得平面FAC的一個(gè)法向量為，記直線與平面FAC的夾角為，則21．已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長(zhǎng)為4.(1)求圓M的方程；(2)設(shè)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，證明：以MP為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求所有定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn)和.【分析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.(2)設(shè)點(diǎn)，求出圓的方程，結(jié)合方程求出其定點(diǎn).(1)因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設(shè)圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.(2)由(1)知：，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)圓上任意一點(diǎn)當(dāng)與點(diǎn)P，M都不重合時(shí)，，有，當(dāng)與點(diǎn)P，M之一重合時(shí)，對(duì)應(yīng)為零向量，也成立，，，，化簡(jiǎn)得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn)和.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：待定系數(shù)法求圓的方程，由題設(shè)條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．22．已知點(diǎn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦