2017屆遼寧省鞍山市高三下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2017屆遼寧省鞍山市高三下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題1．已知全集，集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故選B.2．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】C【解析】,化為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選C.3．下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A.在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，故錯(cuò)；B.在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，故對(duì)；C.在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，故錯(cuò)；D.在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，故錯(cuò)；故選B.4．已知向量，滿足，，，則向量，的夾角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)?，，，，所以①②，由①②可得，，故選D.5．在明朝程大位所著《算法統(tǒng)宗》中，有這樣的一首歌謠，叫做浮屠增級(jí)歌．“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”這首古詩描述的這個(gè)寶塔其古稱浮屠，它一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，全塔總共有381盞燈，問塔頂有幾盞燈？據(jù)此，你算出頂層懸掛的紅燈的盞數(shù)為（）A.5B.4C.3D.4【答案】C【解析】則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，解得，所以頂層有盞燈，故選C.6．執(zhí)行下圖程序框圖，如果輸入的，均為2，則輸出的（）A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】若，則第一次循環(huán)，成立，則；第二次循環(huán)，成立，則，此時(shí)不成立，輸出，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序；（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.7．已知函數(shù)，則函數(shù)滿足（）A.最小正周期為B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上為減函數(shù)D.圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】試題分析：，所以函數(shù)最小正周期為，將代入，為故直線為函數(shù)的對(duì)稱軸，選D.【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖象與性質(zhì).8．一空間幾何體的三視圖如下圖所示，該幾何體的體積為，則正視圖與側(cè)視圖中的值為（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是由圓柱和一個(gè)四棱錐的組合體，根據(jù)組合體的體積的值得到等式，解得，綜上所述，故選B.9．已知（且）恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線（，）上，則的最小值為（）A.B.8C.D.4【答案】A【解析】因?yàn)椋ㄇ遥┖氵^定點(diǎn)，所以在直線上，可得，，的最小值為，故選A.10．已知點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，所以到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小等價(jià)于到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線距離之和取得最小，如圖，由幾何性質(zhì)可得，從向準(zhǔn)線作垂線，其與拋物線交點(diǎn)就是所求點(diǎn)，將代入，可得，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單性質(zhì)及利用拋物線的定義求最值，屬于難題.與拋物線的定義有關(guān)的最值問題常常實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.本題是將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)幾何意義解題的.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，若，，，則有的值（）A.恒小于零B.恒等于零C.恒大于零D.可能大于零，也可能小于零【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，由于在上遞增，在上遞減，所以在上遞增，由得，同理可得，三式相加，化簡可得，>0，則有的值恒大于零，故選C.12．過雙曲線（，）的右焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.直線交拋物線于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如圖，由得是的中點(diǎn)，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則為，也是雙曲線的焦點(diǎn)，連接分別是和的中點(diǎn)，為的中位線，于是可得，設(shè)，則由拋物線定義得，于是有代入拋物線方程，過點(diǎn)作軸的垂線，由拋物線定義知點(diǎn)到該垂線的距離為，由勾股定理得，即，變形可得，兩邊同除以，有，所以（負(fù)值已經(jīng)舍去），故選B.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線及雙曲線的定義、雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.本題是利用點(diǎn)到直線的距離等于圓半徑構(gòu)造出關(guān)于的等式，最后解出的值.二、填空題13．若，滿足約束條件，則的最小值為__________．【答案】【解析】畫出約束條件表示的可行域，如圖，由得，，由圖可知當(dāng)直線過時(shí)有最小值，故答案為.14．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且、、兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為__________．【答案】8【解析】兩兩垂直，又因?yàn)槿忮F的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，所以以為棱的長方體的對(duì)角線即為球的一條直徑，，則由基本不等式可得，，即，則三棱錐的側(cè)面積，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為，故答案為.15．已知等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．【答案】【解析】由題意得：，，故答案為.16．給出下列四個(gè)命題：①“若，則或”是假命題；②已知在中，“”是“”成立的充要條件；③若函數(shù)，對(duì)任意的都有＜0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；④若實(shí)數(shù),，則滿足的概率為.其中正確的命題的序號(hào)是__________（請(qǐng)把正確命題的序號(hào)填在橫線上）．【答案】②④【解析】因?yàn)椤叭?，則或”的逆否命題“若且，則”是真命題，所以①是錯(cuò)誤；因?yàn)椋寓谡_；若函數(shù)，對(duì)任意的都有可得函數(shù)為減函數(shù)，即，，因此③錯(cuò)誤；根據(jù)幾何概型概率公式可得實(shí)數(shù),，則滿足的概率為，④正確，故答案為②④.【方法點(diǎn)睛】本題通過判斷命題的真假綜合考查四種命題及其關(guān)系以及充分條件與必要條件、分段函數(shù)的解析式及單調(diào)性，屬于難題，判斷命題的真假應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(l)首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系；(2)要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性，一旦一個(gè)命題定為原命題，也就相應(yīng)地確定了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”，注意利用“原命題”與“逆否命題”同真假；(3)判斷命題真假時(shí)，可直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)直接判斷，也可使用特值進(jìn)行排除.三、解答題17．已知銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，的面積為，又，記.（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由已知利用三角形面積公式可求的值，結(jié)合為銳角，可求，再由余弦定理可解得，從而由余弦定理即可求得的值；（2）由已知可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可解得的值.試題解析：（1）由的面積為，有，即，得，又為銳角，故再由余弦定理：，得，.（2）由，知，由為正三角形，即，且，所以，所以.18．上周某校高三年級(jí)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測試，年部組織任課教師對(duì)這次考試進(jìn)行成績分析.現(xiàn)從中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績作為樣本，已知這40名學(xué)生的成績?nèi)吭?0分至100分之間（滿分100分，成績不低于40分），現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組；第二組；……；第六組，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）估計(jì)這次月考數(shù)學(xué)成績的平均分和眾數(shù)；（Ⅱ）從成績大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名，求至少有1名學(xué)生的成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率.【答案】（1）65分（2）【解析】試題分析：（1）個(gè)矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積求和即可求平均數(shù)，最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；（2）用列舉法求出從成績大于等于分的學(xué)生中隨機(jī)選名學(xué)生的事件個(gè)數(shù)，查出至少有名學(xué)生成績?cè)诘氖录€(gè)數(shù)，然后直接利用古典概型概率計(jì)算公式求解.試題解析：（1）因各組的頻率之和為1，所以成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的頻率為，所以平均分分，眾數(shù)的估計(jì)值是65分（2）設(shè)表示事件“在成績大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名，至少有1名學(xué)生的成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)”，由題意可知成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生所選取的有：，記這4名學(xué)生分別為，，，，成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有（人），記這2名學(xué)生分別為，，則從這6人中任選2人的基本事件事件空間為：共15種，事件“至少有1名學(xué)生的成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)”的可能結(jié)果為：，共九種，所以.故所求事件的概率為：.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式，以及根據(jù)直方圖求平均數(shù)和眾數(shù)，屬于中檔題，利用古典概型概率公式,求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.19．如圖，在四棱錐中，底面的平行四邊形，，，面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）由余弦定理結(jié)合勾股定理可得，再由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結(jié)果；（2）根據(jù)“等積變換”可得，進(jìn)而直接用棱錐的體積公式求解.試題解析：（1）證明：因?yàn)槊?，又平面所以，又因?yàn)?，，在中，由余弦定理有：所以，即：，又因?yàn)?，又平面，平面，所以平面，又平面，所?（2）由已知有：，所以，,因?yàn)槊媲覟榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以20．已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）令，求函數(shù)的極值；（Ⅲ）若，正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.【答案】（1）0；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析.【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，所以先求導(dǎo)數(shù)得，即，又，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程（2）先求導(dǎo)數(shù)，再分類討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上符號(hào)變化規(guī)律，確定極值取法：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)無極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)在其左右符號(hào)變化，先增后減，所以有極大值，無極小值（3）先化簡為，轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)關(guān)系式：，研究函數(shù)，其中，得，因此，解不等式得試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以切點(diǎn)為，又，則切線斜率，故切線方程為，即．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2），則，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分當(dāng)時(shí)，∵，∴．∴在上是遞增函數(shù)，函數(shù)無極值點(diǎn)．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分當(dāng)時(shí)，，令得，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴時(shí)，有極大值，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，無極小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）證明：當(dāng)時(shí)，，由，即，從而，令，則由得：，可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，利用導(dǎo)數(shù)證不等式【思路點(diǎn)睛】(1)求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.21．過橢圓：上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為右焦點(diǎn)，、分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).問是否存在一個(gè)定圓與動(dòng)直線總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在【解析】試題分析：（1）由得，解得，，，結(jié)合，即可求橢圓的方程；（2）先求得直線的斜率不存在及斜率為零時(shí)圓的方程，由此可得兩圓所過公共點(diǎn)為原點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為代入橢圓方程消掉得的二次方程，設(shè)，由韋達(dá)定理、向量數(shù)量積可得的表達(dá)式，再根據(jù)線圓相切可得的關(guān)系式，代入上述表達(dá)式可求得，由此可得結(jié)論.試題解析：（1）由題意得，所以，.由得，解得，，由，得，，橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在這樣的圓.設(shè)，.由已知，以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，即，所以.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，，所以，又，解得，不妨設(shè)，或，，即直線的方程為或，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，解消去得方程：，因?yàn)橹本€與橢圓交于，兩點(diǎn)，所以方程的判別式，即，且，.由，得，所以，整理得（滿足）.所以原點(diǎn)到直線的距離.綜上所述，原點(diǎn)到直線的距離為定值，即存在定圓總與直線相切.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、圓錐曲線的定值問題以及存在性上問題，屬于難題.存在性問題解題思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.