熱傳導(dǎo)問題的有限元法

熱傳導(dǎo)問題的有限元法第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六對于均質(zhì)物體內(nèi)溫度不隨時間變化的情況，溫度分布函數(shù)T=T(x,y,z)應(yīng)滿足拉普拉斯方程：

再加上用得最多（一般）的邊界條件第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六除非幾何形狀特別簡單，如無限大平面，半無限大平面，圓平面，一般無法得到解析解。為此要采用數(shù)值方法。有限元法即是其中的一種可選的方法。有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用變分原理將偏微分方程轉(zhuǎn)化為等價的泛函；2）假設(shè)單元上的場變量變化形式，即插值函數(shù)或試探函數(shù)；3）尋找試探函數(shù)的系數(shù)—節(jié)點場變量，以使泛函取極值。下面首先簡要介紹變分、泛函，然后推導(dǎo)有限元格式。第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六6-2泛函與變分的基本概念函數(shù)：z=f(x)，x變，z變。泛函：平面上兩點A、B之間的距離I

y變，I變。I是y的泛函—函數(shù)的函數(shù)。第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六一泛函定義：函數(shù)值因另外一個或幾個函數(shù)確定，這個函數(shù)稱為泛函。二泛函的極值函數(shù)z=f(x)有極值問題。如果

表明，z相對于x的變化具有局部穩(wěn)定性，z向左也不是，向右也不是，此時，z取極值。泛函I也有極值。使泛函取極值的自變函數(shù)ｙ稱為泛函的極值點，它使泛函在該處的值具有穩(wěn)定性。第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)然，使泛函取得極值的自變函數(shù)ｙ的變化要復(fù)雜的多。三變分法函數(shù)取極值的條件：，稱為微分。泛函取極值的條件：，稱為變分。四變分函數(shù)微分

可以用來研究函數(shù)z在x處的變化。第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六類似，泛函在某點y的變化，可以通過對泛函的變分

來觀察。I—泛函，ε—任意小的正數(shù)。五泛函取極值的條件函數(shù)在x0處取極值的條件：第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六泛函I=I[y(x)]在y=y

0

(x)處取極值的必要條件是δI=0，即

上式的含義是：異于y0

(x)的y都使I偏離最大值點或最小值點，此時，I處于“左也不是，右也不是”的狀態(tài)?？梢?，函數(shù)取極值的必要條件和泛函取極值的必要條件是類似的。只不過函數(shù)的自變量在極值點附近的變化方式，比泛函中的自變函數(shù)的變化方式要簡單一些而已。第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六六變分法預(yù)備定理設(shè)函數(shù)F(x)在[x1,x2]連續(xù)，對于δy(x)，如果有

則。δy(x)是y的變分。δy(x)的條件：一階或若干階可微，在x1,x2處為零；|δy|<ε或|δy|及|δy’|<ε，等。這些話的意思是：y是連續(xù)區(qū)間[x1,x2]中一段曲線。該曲線的變分，就是說它可以變化。這種變化可以是：值的變化，一階導(dǎo)數(shù)的變化，高階導(dǎo)數(shù)的變化等。第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六下面證明：一維泛函（只與一個函數(shù)有關(guān)）取極值的條件。設(shè)有泛函其中：泛函中的自變函數(shù)y(x)（平面上的曲線）在積分區(qū)間[x1,x2]的端點x1,x2處的值是已知的，即

認(rèn)為函數(shù)三階可微。第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)變分的定義，要使泛函取極值，則其中，y使I取極值，y+εδy是一個微小的變化。第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六令ε=0，則（y成為使I取極值的點）

上式右端中，因為第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六帶入前式由變分基本定理知，一維泛函取極值的條件上面的過程可以總結(jié)為（1）寫出泛函表達式；（2）設(shè)使泛函取得極值的自變函數(shù)為y，那么，異于y的自變函數(shù)可寫成y+εδy，它的高階項為y’+εδy’；第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六（3）使泛函取極值的條件（4）展開上式，將其中的δy設(shè)法從變分中分離出來。這個過程要用到分步積分。最后形成（5）根據(jù)變分基本定理，在δy滿足一般性條件時，即可得出：δI=0或I取極值的條件

（）=0第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六對于一個場的描述有兩種方法：1）積分法；

2）微分法。兩種方法的求解基本思路：（1）積分法假設(shè)場變量的變化模式。這種變化方式可以用多項式或三角函數(shù)多項式表達，它含有若干待定系數(shù)，即每一項前的系數(shù)。將這一多項式帶入泛函積分表達式中。根據(jù)系統(tǒng)達到的最終狀態(tài)，就是能量最小狀態(tài)（泛函極值的條件），可以求出多項式前的各系數(shù)，這樣即可求出對原問題的近似解。第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六（2）微分法假設(shè)場變量的值y，寫出空間某點y的變化率，y的解與邊界條件有關(guān)。積分法和微分法的聯(lián)系微分方程是泛函取極值的必要條件，但它對函數(shù)性態(tài)的要求稍高。七變分原理變分原理：即泛函極值與求解特定微分方程及其邊界條件等價的原理。即：滿足微分方程及其邊界條件的函數(shù)，一定使泛函取極值；使泛函取極值的必要條件就是對應(yīng)的微分方程及其邊界條件。第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六[例]最速降線問題。平面上兩點A和B，不在同一水平線上，也不在同一鉛垂線上?，F(xiàn)有一物體從A沿某條曲線y=f(x)滑到B。求解使物體下滑速度最快或時間最短的曲線y=f(x)。不計物體與曲線間的摩擦力。[解]分析：物體從A點到達B點所花的時間t與路徑y(tǒng)=f(x)有關(guān)?？梢詫r間t看成是路徑y(tǒng)的泛函，y是自變量函數(shù)。物體下滑時間最短，意味著求泛函t的極值。問題的關(guān)鍵：建立時間t與路徑y(tǒng)的一般表達式。第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)A點與坐標(biāo)原點重合，B點的坐標(biāo)為B(x1,y1)。從A點到達任意點P的速度為v，失去的位能為mgy，獲得的動能為1/2mv2。由能量守恒定律從另一方面看，弧長s對時間的導(dǎo)數(shù)即為速度第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六因為所以從A到B積分，便得到下滑所需的時間第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六即：下滑時間t是y(x)的泛函，記作T[y(x)]這一命題可表達如下：在滿足y(0)=0，y(x1)=y1的一切函數(shù)y(x)中，選取一個函數(shù)，使泛函T[y(x)]為最小。上面問題的求解可以采用兩種方法：1）積分法；

2）微分法。第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六1）積分法：把y寫成多項式的形式，然后寫出積分的顯示表達式。使T對多項式中的各項系數(shù)分別求導(dǎo)，并令其等于零，可以得到一組方程，求解這組方程，得到各系數(shù)，則求得對原問題的近似解。2）微分法：求解使泛函達到極值的微分方程及其邊界條件。下面采用微分法求解該問題。第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六由T[y(x)]的表達式可見被積函數(shù)為根據(jù)使泛函取極值的條件第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六展開上式（注意到F不顯含x）另一方面比較上面兩式可得第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六積分一次有上式即為泛函中被積函數(shù)不顯含x時的極值條件。對于最速降線問題，已知帶入泛函取極值的條件有第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六整理后所以這是一個常微分方程，用參數(shù)解法。令有第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六由，可得積分可得由邊界條件y(0)=0，可得C2=0。從而第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六由平面解析幾何知識可知，該曲線是以C1/2為半徑的圓的旋輪線（擺線）。常數(shù)C1可由y(x1)=y1求出。6-3穩(wěn)定溫度場的變分原理前述給出三維穩(wěn)定溫度場應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件。為簡單起見，下面只討論軸對稱問題的穩(wěn)定溫度場的微分方程及其邊界條件與泛函和變分的聯(lián)系。軸對稱問題的特征：1）幾何形狀軸對稱；2）邊界條件和外界溫度負(fù)載軸對稱。第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六上面的1和2保證了物體內(nèi)任意一點的溫度只與r和z有關(guān)，而與θ無關(guān)，這樣，三維的軸對稱問題就降為二維平面問題。z是軸線方向，r是半徑線方向，θ是圓周方向。第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六軸對稱問題的微分方程和邊界條件為上式的泛函是第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六軸對稱穩(wěn)定溫度場的變分原理：滿足微分方程及其邊界條件的函數(shù)T(r,z)使上面的泛函取極小值；使上述泛函取極小值的函數(shù)T(r,z)一定滿足微分方程及其邊界條件。（證明過程略）泛函并不比微分方程及其邊界條件簡單。但利用變分原理將問題轉(zhuǎn)化為求泛函的極值至少有兩點好處：（1）從微分方程出發(fā)，無法導(dǎo)出有限元計算格式，從泛函出發(fā)就可以；（2）利用泛函求解與直接求解微分方程有不同的特點：第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六1）邊界條件：對于微分方程邊值問題，邊界條件必須作為定解條件列出，而求泛函極值問題時，這一條件將自動滿足；2）導(dǎo)數(shù)階次：微分方程含有二階導(dǎo)數(shù)，泛函只含一階導(dǎo)數(shù)，所以采用泛函求極值方法解穩(wěn)定溫度場問題，求解相對容易。尤其是采用有限元法求解近似解時，這些有利因素可以充分發(fā)揮。6-4二維穩(wěn)定溫度場的有限元格式下面從穩(wěn)定溫度場的泛函表達式出發(fā)，利用等參第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)單元的思想，推導(dǎo)8節(jié)點平面和軸對稱穩(wěn)定溫度場的等參數(shù)單元的計算格式。一單元溫度剛陣格式的形成1溫度泛函說明：（1）上式是單元泛函表達式，因此其中x,y的變化范圍，僅限于單元內(nèi)部。整個求解域的泛函為單元泛函的代數(shù)和。第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六如果溫度場使整個求解域的泛函取極小值，那么就意味著要將所有單元的泛函相加（集成），并使之成為極小。（2）上式是平面問題和軸對稱問題寫在一起的格式。對于平面問題，R=1；對于軸對稱問題，R=r(徑向坐標(biāo))，dx相當(dāng)于dr，dy相當(dāng)于dz。（3）式中f=αT0，是由得到的，即第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六2泛函中各函數(shù)的確定（1）溫度插值函數(shù)8節(jié)點等參元的溫度插值結(jié)果為其中形狀函數(shù)為根據(jù)上式，可以在求出節(jié)點溫度后，計算單元內(nèi)任意一點的溫度值。第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六局部坐標(biāo)下的單元形狀、節(jié)點排列和編號如圖所示。節(jié)點的坐標(biāo)為第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六（2）坐標(biāo)變換函數(shù)（3）坐標(biāo)變換1）導(dǎo)數(shù)與之間的變換。由第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六或從而第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六令則最后得第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六2）面積微分的變換3）ds與dξ或dη之間的變換第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)ds在(2)、(4)邊時，ξ=常數(shù)，dξ=0，則當(dāng)ds在(1)、(3)邊時，η=常數(shù)，dη=0，則為便于推導(dǎo)，寫成統(tǒng)一的形式3溫度剛度矩陣的形式第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六又知所以第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六將它們帶入G(e)中第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六為了方便后面求泛函極值，這里先寫出G(e)對單元節(jié)點溫度Ti的偏導(dǎo)數(shù)將上式按=1,2,…,8展開，并寫成矩陣形式，有：第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六或第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六式中均與溫度T無關(guān)，只

是ξ,η的函數(shù)，而A和B則是節(jié)點溫度T1,T2,…,T8的函數(shù)。又由于第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六所以從上式可以看出即為對稱矩陣。第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六二右端項格式的形成現(xiàn)在再來看Z(e)。第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六我們也寫出Z(e)對Ti的偏導(dǎo)數(shù)將上式展開，并寫成列矩陣，有第49頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六第50頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六第51頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六或其中各個元素的表達式可以看出，即是對稱的。第52頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六回到單