物理剛體的轉(zhuǎn)動

物理剛體的轉(zhuǎn)動第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六1、剛體：rigidbody

在力的作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。（組成物體的所有質(zhì)點之間的距離始終保持不變）是一種理想模型。2、剛體的平動：translationofarigidbody

剛體內(nèi)所作的任何一條直線，始終保持和自身平行的運動。平動時，剛體上各點的運動軌跡都相同，因此，剛體上一點的運動可代表整個剛體的運動。(剛體平動的運動規(guī)律與質(zhì)點的運動規(guī)律相同）§3.1剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六3、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動：rotationofarigidbodyaroundafixaxis轉(zhuǎn)軸相對于參照系不動的轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點⑴剛體上各個質(zhì)點都在做圓周運動,但各質(zhì)點圓周運動的半徑不一定相同；⑵各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于軸,圓心在軸線上；⑶各質(zhì)點的矢徑,在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是相同.ABz4、剛體的一般運動剛體的一般運動可看作是平動和轉(zhuǎn)動的疊加第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六5、角速度矢量：angularvelocityvectorOvP×,αrr定軸剛體參考方向θz剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)元的線速度、角加速度一般是不同的，但由于各質(zhì)元的相對位置保持不變，所以描述各質(zhì)元的角量，如角位移、角速度、角加速度都是一樣的。因此描述剛體的整體運動時，用角量最為方便運動方程角速度角加速度角量與線量的關(guān)系第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六例題：一飛輪以n=1500r/min的轉(zhuǎn)速繞定軸作反時針轉(zhuǎn)動。制動后，飛輪均勻減速，經(jīng)時間t=50st停止轉(zhuǎn)動。求：⑴角加速度和從開始制動到靜止，飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；⑵制動開始后t=25s時飛輪的角速度；⑶設(shè)飛輪半徑R=1m，求t=25s時飛輪邊緣上一點的速度和加速度。Ov解：⑴轉(zhuǎn)⑵⑶第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六§3.2.1剛體的角動量轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量1、剛體的角動量angularmomentum

ofarigidbody質(zhì)點的角動量（對一給定點而言）剛體繞軸的角動量即：把質(zhì)點的角動量推廣為剛體的角動量棒分成許多質(zhì)點,第i個質(zhì)點對O點的角動量的大小沿Z軸分量方向如圖所示oz剛體對OZ軸的轉(zhuǎn)動慣量第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六2、剛體的轉(zhuǎn)動動能rotationalkineticenergyofarigidbody剛體在轉(zhuǎn)動時的動能，應(yīng)該是組成剛體的各質(zhì)點的動能之和。設(shè)剛體中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為，速度為，則該質(zhì)點的動能是整個剛體的動能式中正是剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J剛體的轉(zhuǎn)動動能第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六3、剛體的轉(zhuǎn)動慣量rotationalinertia(momentofinertia)質(zhì)量連續(xù)分布時轉(zhuǎn)動慣量與下列三個因素有關(guān)：⑴形狀、大小相同的均勻剛體總質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動慣量越大。⑵總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠，轉(zhuǎn)動慣量越大。⑶同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對軸的分布就不同，因而轉(zhuǎn)動慣量不同。單位:體分布面分布線分布第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六例題:三個質(zhì)量為m的質(zhì)點，A、B、C由三個長為L的輕桿相聯(lián)結(jié)。求該質(zhì)點系通過A點和O點，且垂直于三個質(zhì)點所在平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABCO4、轉(zhuǎn)動慣量的計算

Calculationofmomentofinertia

解：可見，同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的，只有指出剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量才有明確的意義。第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六例題

均勻桿質(zhì)量m,長l，求桿對O軸和C軸的轉(zhuǎn)動慣量。xdxxOlCl2l2解：平行移軸定理第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六例題均勻圓環(huán)：例題均勻圓盤：rmiCR面密度第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六半徑為R質(zhì)量為M的均勻圓盤聯(lián)結(jié)一長為L質(zhì)量為m的均勻直棒，寫出剛體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量。（O軸垂直紙面）OmRML第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六§3.2.2力矩剛體轉(zhuǎn)動定律ZOdr1、力矩Momentofforce

力F對O點的力矩力F對轉(zhuǎn)軸OZ的力矩與轉(zhuǎn)軸平行,不產(chǎn)生力矩在定軸轉(zhuǎn)動中,幾個外力同時作用在剛體上時,合外力矩為式中正負號根據(jù)右手螺旋法則規(guī)定第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六剛體所受到的對于給定軸的總外力矩等于剛體對該軸的角動量的時間變化率比較轉(zhuǎn)動慣量表示剛體在轉(zhuǎn)動過程中表現(xiàn)出的慣性2、轉(zhuǎn)動定律lawofrotation說明:*為合外力矩瞬時性：二者同時存在，同時消失同軸性：都是對同一確定軸而言第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用隔離物體，分析受力建立坐標，求力矩列出方程，求解應(yīng)用：類似牛頓定律：第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例題：一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤,繩的兩端分別懸有質(zhì)量為和的物體，，如圖所示，設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為，繩與輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。＜aa解：受力分析如圖按牛頓運動定律和轉(zhuǎn)動定律可列出下列方程第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六從以上各式即可解得當不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力即令第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六例題：一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤，放在粗糙的水平面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它將經(jīng)過多長時間才停止轉(zhuǎn)動？e解：取盤上一面積元根據(jù)轉(zhuǎn)動定律設(shè)盤經(jīng)時間t停止df第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤可繞通過盤心，垂直于盤面的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣掛有質(zhì)量為m長為L的勻質(zhì)柔軟繩索，設(shè)繩與盤無相對滑動，求當盤兩側(cè)繩之差為s時，繩的加速度的大小。s解：選長為、兩段繩和繞著繩的盤為研究對象第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六§3.3定軸轉(zhuǎn)動的中的功能關(guān)系1、力矩的功：

workdonebytorqueozP表示作用在剛體上P點的外力，當物體繞軸有一角位移時，力做的元功為因為設(shè)剛體從轉(zhuǎn)到，則力作的功為所有外力的功（力矩的功）式中為剛體所受到的總外力矩第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六對于定軸轉(zhuǎn)動剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過程中均為零。（內(nèi)力成對，大小相等方向相反，一對內(nèi)力矩的代數(shù)和為零；∴內(nèi)力矩的功總和為零。）力矩的功率2、轉(zhuǎn)動動能定理

rotationalkineticenergy

theorem轉(zhuǎn)動動能定理也與質(zhì)點動力學(xué)中講的動能定理相同，只是動能的表示形式不同而己。第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六3、剛體的重力勢能

一個不太大的剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。如圖所示，已知滑輪轉(zhuǎn)動慣量為J，半徑為R，物體的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，系統(tǒng)從靜止釋放，釋放時彈簧無伸長。求物體下滑x米時的速度。\/\/\/\/JRm光滑解:取物體m、滑輪、彈簧和地球為系統(tǒng)，系統(tǒng)只有重力和彈力做功，機械能守恒。第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六

一均勻細棒，可繞通過其端點并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。已知棒長為L，質(zhì)量為m，開始時棒處于水平位置。令棒由水平位置自由下擺，求：⑴棒在任意位置時的角加速度和角速度；⑵棒擺至鉛直位置時重力矩所做的功。OCCmg解：⑴棒在任意位置時的重力矩因為分離變量得第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六積分所以這功即是細棒重力勢能的減少⑴也可根據(jù)機械能守恒求角速度OCCmg⑵棒擺至鉛直位置時重力矩所做的功重力勢能零點第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六一根細棒長為L，總質(zhì)量為m，其質(zhì)量分布與離o點的距離成正比，現(xiàn)將細棒放在粗糙的水平桌面上，棒可繞過其端點o的豎直軸轉(zhuǎn)動，已知棒與桌面間的摩擦系數(shù)為，棒的初始角速度為，求：⑴棒對給定軸的轉(zhuǎn)動慣量；⑵棒繞軸轉(zhuǎn)動時受到的摩擦力矩；⑶棒從到靜止所經(jīng)過的時間；⑷棒轉(zhuǎn)過一圈后的角速度。解：⑴設(shè)棒的線密度為第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六⑵棒繞軸轉(zhuǎn)動時受到的摩擦力矩f⑶棒從到靜止所經(jīng)過的時間⑷棒轉(zhuǎn)過一圈后的角速度第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六§3.4定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理和角動量守恒定律

1、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理

angularmomentum

theoremofarotationalrigidbodyaroundafixaxis

轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)動物體角動量的增量------角動量定理。

所以

由轉(zhuǎn)動定律第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六2、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律lawofconservationofangularmomentumofa

rotationalrigidbodyaroundafixaxis

當物體所受合外力矩等于零時，物體的角動量保持不變。-------角動量守恒定律若則由角動量定理第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六說明1、

角動量定理和角動量守恒定律，不僅適用于宏觀問題，也適用于原子、原子核等微觀問題，因此角動量守定律是比牛頓定律更為基本的定律。2、

角動量定理和角動量守恒定律只適用于慣性系。4、內(nèi)力矩可以改變系統(tǒng)內(nèi)部各組成部分的角動量，但不能改變系統(tǒng)的總角動量。3、

角動量保持不變、恒矢量：①不變，也不變②變，也變，但保持不變。第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六應(yīng)用舉例1、花樣滑冰，芭蕾舞演員的表演：（繞通過重心的鉛直軸高速旋轉(zhuǎn)，由于外力（重力，支撐力）對軸的矩總為零，角動量守恒，通過改變自身的轉(zhuǎn)動慣量，來改變角速度）。2、直升飛機尾部豎直的尾翼（產(chǎn)生一反向角動量，避免在水平面打轉(zhuǎn)）3、跳水運動員，跳馬（伸直，以初角速度起跳；卷縮，減小J，以增大角速度；伸直；入水時J增大了，減小角速度以保持豎直入水）第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六一質(zhì)量為M的均勻圓盤正以角速度旋轉(zhuǎn)著，今有一質(zhì)量為m，速度為v的鐵釘，⑴從正上方⑵從正右方嵌入圓盤邊緣，則圓盤的角速度分別變?yōu)槎嗌?？vvmmRMo解：角動量守恒⑴⑵第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六A和B兩飛輪繞同一中心線轉(zhuǎn)動，它們的轉(zhuǎn)動慣量分別為、，轉(zhuǎn)動角速度分為、，。C為摩擦嚙合器。求：⑴兩輪嚙合后的角速度；⑵嚙合過程損失的能量；⑶兩輪各自所受的沖量矩。ABC解：⑴系統(tǒng)角動量守恒⑵能量損失⑶沖量矩第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六質(zhì)量分別為、，半徑分別為、的兩均勻圓柱，可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動，二軸平行。原來它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以、的角速度勻速轉(zhuǎn)動，然后平移兩軸使它們的邊緣相接觸，求最后在接觸處無相對滑動時，每個圓柱的角速度。對上述問題有以下解法：在接觸處無相對滑動時兩圓柱系統(tǒng)角動量守恒由以上二式就可解出和，你對這種解法有何見解？其中⑴⑵第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六解：原解⑵式是認為系統(tǒng)的角動量為二圓柱各自對各自的軸的角動量之和，這樣的計算是錯誤的，因為系統(tǒng)的總角動量只能對某一個軸進行計算，此外，二圓柱在各自的軸處均受外力，因此不論對哪一個軸來說，這一系統(tǒng)的合外力矩均不為零，所以系統(tǒng)的角動量是不守恒的，正確的解法是用角動量定理，設(shè)二圓柱接觸處的一對切向摩擦力為則有且有聯(lián)立以上各式可解出正確的解。第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六如圖，一長為l,質(zhì)量為M的桿可繞支點O轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m，速率為v0的子彈，射入距支點為a的桿內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角=300，求子彈的初速率v0例題解：此題分兩個階段，第一階段，子彈射入桿中，擺獲得角速度，尚未擺動，子彈和擺組成的系統(tǒng)所受外力對O點的力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒：第二階段，子彈在桿中，與擺一起擺動，以子彈、桿和地地球組成的系統(tǒng)除保守內(nèi)力外，其余力不作功，于是系統(tǒng)機械能守恒：第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六由（2）（3）（4）式求得：代入（1）式，得：其中：第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六解：以人和轉(zhuǎn)盤組成的系統(tǒng)為研究對象，設(shè)人相對于轉(zhuǎn)盤的速度為vr，轉(zhuǎn)盤相對于固定鉛直軸的角速度為。當人走動時，系統(tǒng)所受外力對鉛直軸之矩為零，故對軸角動量守恒：質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)盤，可繞鉛直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)盤的初角速度為零。一個質(zhì)量為m的人，在轉(zhuǎn)盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周相對轉(zhuǎn)盤勻速走動，如圖。求當人在轉(zhuǎn)盤上走一周回到盤上的原位置時，轉(zhuǎn)盤相對于