2018年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精練專題4三角形四邊形綜合性

專題四三角形、四邊形綜合問題探究1．(2017宜賓中考模擬)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝eq\f(1,3)BD，連結(jié)DM，DN，MN.若AB＝6，則DN＝__3__．2．(2016宜賓中考改編)如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線EG分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連結(jié)ED，DG.(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2eq\r(10)，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG＋HC的最小值．解：(1)四邊形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDF＝∠GBF，,DF＝BF，,∠EFD＝∠GFB，))∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四邊形EBGD是菱形；(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連結(jié)EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG＋HC最小．在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2eq\r(10)，∴EM＝eq\f(1,2)BE＝eq\r(10).∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝eq\r(10)，MN＝DE＝2eq\r(10).在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝eq\r(10)，∴MC＝3eq\r(10)，在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝eq\r(10)，MC＝3eq\r(10)，∴EC＝eq\r(EM2＋MC2)＝eq\r(（\r(10)）2＋（3\r(10)）2)＝10.∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，∴HG＋HC的最小值為10.3．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)OB，OC，并將AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG.(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；(2)若M為EF的中點(diǎn)，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長(zhǎng)度．解：(1)∵D，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DG∥BC，DG＝eq\f(1,2)BC.∵E，F(xiàn)分別是OB，OC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，EF＝eq\f(1,2)BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；(2)∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°.∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，OM＝3，∴EF＝2OM＝6.由(1)有四邊形DEFG是平行四邊形，∴DG＝EF＝6.4．(2016宜賓中考模擬)(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以點(diǎn)B為中心，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1BC1；再以點(diǎn)C為中心，把△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A2B1C，連結(jié)C1B1，則C1B1與BC的位置關(guān)系為________；(2)如圖②，當(dāng)△ABC是銳角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)時(shí)，將△ABC按照(1)中的方式旋轉(zhuǎn)α，連結(jié)C1B1，探究C1B1與BC的位置關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并加以證明；(3)如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上，連結(jié)B1B，若C1B1＝eq\f(2,3)BC，△C1BB1的面積為4，則△B1BC的面積為________．解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下：過點(diǎn)C1，作C1E∥B1C交BC于點(diǎn)E，則∠C1EB＝∠B1CB.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，∴∠C1BC＝∠C1EB，∴C1B＝C1E.∵BC1＝BC＝B1C∴C1E＝B1C又∵C1E∥B1C∴四邊形C1ECB是平行四邊形，∴C1B1∥BC.5．(2017沈陽(yáng)中考)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在的直線上，連結(jié)CE，以CE為邊，作正方形CEFG(點(diǎn)D，點(diǎn)F在直線CE的同側(cè))，連結(jié)BF.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF的長(zhǎng)；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE＝1，①求點(diǎn)F到AD的距離；②求BF的長(zhǎng)；(3)若BF＝3eq\r(10)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AE的長(zhǎng)．解：(1)BF＝4eq\r(5)；(2)①過點(diǎn)F作FH⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵四邊形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°，∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠DEC＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠EHF＝90°，∴△ECD≌△FEH，∴FH＝ED.∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，∴FH＝3，即點(diǎn)F到AD的距離為3；②延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°，∴四邊形CDHK為矩形，∴HK＝CD＝4，∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4，∴AE＝DH＝CK＝1，∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝eq\r(FK2＋BK2)＝eq\r(72＋52)＝eq\r(74)；(3)AE＝2＋eq\r(41)或AE＝1.6．(2017福建中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分別是線段AC，BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形．(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的長(zhǎng)；(2)若AP＝eq\r(2)，求CF的長(zhǎng)．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，∴DC＝AB＝6，AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝10.要使△PCD是等腰三角形，有如下三種情況：①當(dāng)CP＝CD時(shí)，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4，②當(dāng)PD＝PC時(shí)，∠PDC＝∠PCD.∵∠PCD＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°，∴∠PAD＝∠PDA，∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝eq\f(AC,2)＝5；③當(dāng)DP＝DC時(shí)，過D作DQ⊥AC于Q，則PQ＝CQ.∵S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DC＝eq\f(1,2)AC·DQ，∴DQ＝eq\f(AD·DC,AC)＝eq\f(24,5)，∴CQ＝eq\r(DC2－DQ2)＝eq\f(18,5)，∴PC＝2CQ＝eq\f(36,5)，∴AP＝AC－PC＝eq\f(14,5).綜上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的長(zhǎng)為4或5或eq\f(14,5)；(2)連結(jié)PF，DE，記PF與DE的交點(diǎn)為O，連結(jié)OC.∵四邊形ABCD和PEFD都是矩形，∴∠ADC＝∠PDF＝90°，即∠ ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF，∴∠ADP＝∠CDF.∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝eq\f(1,2)ED.在矩形PEFD中，PF＝DE，∴OC＝eq\f(1,2)PF.∵OP＝OF＝eq\f(1,2)PF，∴OC＝OP＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC.又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝180°，∴2∠OCP