圓錐曲線綜合應(yīng)用（練習(xí)）（含解析）2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點8-5圓錐曲線綜合應(yīng)用1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，根據(jù)對稱性，知，然后表示出，又由于點A，P在雙曲線上，所以將其坐標(biāo)代入方程中，兩式相減，結(jié)合前面的式子可得，化簡可求出離心率【詳解】設(shè)，，根據(jù)對稱性，知，所以．因為點A，P在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以所以，所以，所以．故選：D2．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，當(dāng)取最小值時，C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，根據(jù)的關(guān)系可得，由基本不等式的求解即可得，進(jìn)而，即可求離心率.【詳解】由可得，所以，故可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，，又，所以，故選：B．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，即，因為雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，所以雙曲線中，半焦距，又因為雙曲線滿足，即，又由，即，解得，可得，所以雙曲線的方程為.故選：A．4.（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在C上，已知點A的橫坐標(biāo)為，，則的面積___________.【答案】4【分析】先由拋物線的定義得點K的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而求得軸，再計算的面積即可.【詳解】如圖，作于，由拋物線定義知，又點A的橫坐標(biāo)為，則點K的橫坐標(biāo)為，點F的橫坐標(biāo)為，則軸，則.故答案為：4.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的實軸為，對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，則雙曲線的兩條漸近線夾角的最大值為___________；【答案】【分析】通過分析得到，設(shè)漸近線與x軸的夾角為，則，求出，從而求出雙曲線的兩條漸近線夾角的最大值.【詳解】對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，當(dāng)點位于原點時，則要，才能滿足要求，所以，設(shè)漸近線與x軸的夾角為，則，因為，則雙曲線的兩條漸近線夾角為，故答案為：6.（2021·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知點為拋物線：（）的焦點，點為點關(guān)于原點的對稱點，點在拋物線上，則下列說法錯誤的是（

）A．的范圍決定了點的個數(shù)B．不存在使得的點C．使得的點有且僅有個D．使得的點有且僅有個【答案】D【分析】問題可轉(zhuǎn)化為過點作拋物線的切線,求出切線斜率,即可得到的最大值,結(jié)合拋物線的圖像,問題即可解決.【詳解】設(shè)焦點為,則設(shè)過點拋物線的切線方程為:代入后整理得因為相切,故化簡得,解得,所以的最大值為,做出圖像:顯然當(dāng)在切點位置時,最大為,此時點有兩個（軸上下各有一個,位置①）;當(dāng)時,點有四個（軸上下各有兩個,位置②;當(dāng)時,點即為原點,只有一個,故ABC選項的命題正確,D選項錯誤.故選：D7．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））在正方體中，E為的中點，F(xiàn)為底面ABCD上一動點，且EF與底面ABCD所成的角為．若該正方體外接球的表面積為，則動點F的軌跡長度為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】取AD的中點H，連接EH，判斷出為EF與底面ABCD所成的角，即．設(shè)正方體的棱長為a，利用外接球的表面積求出.判斷出F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)的部分，利用弧長公式求出動點F的軌跡的長度.【詳解】如圖1，取AD的中點H，連接EH，則.在正方體中，底面ABCD，所以底面ABCD.所以為EF與底面ABCD所成的角，則．設(shè)正方體的棱長為a，因為該正方體外接球的表面積為，所以，解得，所以，從而，所以F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)的部分，如圖2．在圖2中，，所以，則，根據(jù)對稱性可知，所以，故動點F的軌跡周長為．故選：A8．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知第一象限內(nèi)的點既在雙曲線的漸近線上，又在拋物線上，設(shè)的左、右焦點分別為、，若的焦點為，且是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為：，過M作MA垂直準(zhǔn)線，利用拋物線的定義得到，則四邊形是正方形，從而是等腰直角三角形，然后結(jié)合圖形和離心率公式即可求解.【詳解】因為的左、右焦點分別為、，的焦點為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，又因為是以為底邊的等腰三角形，過M作MA垂直準(zhǔn)線，如圖所示：則，所以四邊形是正方形，則是等腰直角三角形，所以，，，.故選：B9.（2022·廣東·高三開學(xué)考試）已知雙曲線，、是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，是的平分線，過作的垂線，垂足為，則點的軌跡方程為_______．【答案】【分析】延長，交于，可證得，結(jié)合題意易證得P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，即可求出點的軌跡方程.【詳解】延長，交于，因為，，，所以，所以，所以，因為M是雙曲線C右支上一點，所以，又因為P是的中點，O是的中點，所以，所以P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，所以點P的軌跡方程為．故答案為：.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓和雙曲線的左右頂點，，分別為雙曲線和橢圓上不同于，的動點，且滿足，設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、，則_________．【答案】0【分析】依題意可得，即點，，三點共線，設(shè)，，即可得到與，從而得解.【詳解】解：依題意、為橢圓和雙曲線的公共頂點，、分別為雙曲線和橢圓上不同于、的動點，由，，即，可得，則點，，三點共線．設(shè)，，則，同理可得，，，，，．11.（2022·上海黃浦·二模）將曲線()與曲線()合成的曲線記作．設(shè)為實數(shù)，斜率為的直線與交于兩點，為線段的中點，有下列兩個結(jié)論：①存在，使得點的軌跡總落在某個橢圓上；②存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，那么（

）．A．①②均正確 B．①②均錯誤C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確【答案】C【分析】對①，分析當(dāng)時點的軌跡總落在某個橢圓上即可；對②，設(shè)，，，則，利用點差法，化簡可得，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上則為常數(shù)，再化簡分析推出無解即可【詳解】設(shè)，，，則.對①，當(dāng)時，，，易得，故兩式相減有，易得此時，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得點的軌跡總落在橢圓上.故①正確；對②，，.由題意，若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則，，兩式相減有，即，又，故，即，又，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則為常數(shù).即為定值，因為分子分母次數(shù)不同，故若為定值則恒成立，即，無解.即不存在，使得點的軌跡總落在某條直線上故選：C12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，點在拋物線上，點在圓上，直線分別與圓僅有1個交點，且與拋物線的另一個交點分別為，若直線的傾斜角為，則（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得，得到，設(shè)過點與圓相切直線的斜率為，得到切線方程，利用，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，聯(lián)立方程組，取得，得到，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，可得，所以拋物線的方程為，又由，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)過點與圓相切的直線的斜率為，可得方程為，即，即，則圓心到直線的距離為，整理得，可得，聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以，因為直線的傾斜角為，所以可得，解得或.故選：C.13．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，已知分別為雙曲線的左、右焦點，P為第一象限內(nèi)一點，且滿足，線段與雙曲線C交于點Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同起點的向量做加法想到平行四邊形法則，從而取的中點E，由已知可知，由三線合一知三角形為等腰三角形，再由余弦的定義表示的余弦值，又由雙曲線的定義表示，最后在中，由余弦定理構(gòu)建方程，求得，將其代入漸近線方程，得答案.【詳解】取線段的中點E，連接，因為，所以，故三角形為等腰三角形，且．在中，，連接，又，點Q在雙曲線C上，所以由雙曲線的定義可得，，故．在中，由余弦定理得，．整理可得，所以，故雙曲線C的漸近線方程為．故選：B【點睛】本題考查由幾何關(guān)系求雙曲線的漸近線，由余弦定理構(gòu)建方程，還考查了平面向量加法的平行四邊形法則和垂直關(guān)系，屬于難題.14．（2022·河南·新安縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知拋物線的焦點為，平行軸的直線與圓交于兩點（點在點的上方），與交于點，則周長的取值范圍是____________【答案】【分析】過點作垂直與拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點，由拋物線的定義得，從而得出的周長為，考查直線與圓相切和過圓心，得出、、不共線時的范圍，進(jìn)而得出周長的取值范圍．【詳解】如下圖所示：拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，過點作，垂足為點，由拋物線的定義得，圓的圓心為點，半徑長為，則的周長，當(dāng)直線與圓相切時，則點、重合，此時，；當(dāng)直線過點時，則點、、三點共線，則．由于、、不能共線，則，所以，，即，因此，的周長的取值范圍是，故答案為．【點睛】本題考查拋物線的定義，考查三角形周長的取值范圍，在處理直線與拋物線的綜合問題時，若問題中出現(xiàn)焦點，一般要將拋物線上的點到焦點的距離與該點到準(zhǔn)線的距離利用定義轉(zhuǎn)化，利用共線求最值，有時也要注意利用臨界位置得出取值范圍，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于難題．15．（2021·河南省實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知直線與橢圓相切于第一象限的點，且直線與軸、軸分別交于點、，當(dāng)(為坐標(biāo)原點)的面積最小時，(、是橢圓的兩個焦點)，若此時在中，的平分線的長度為，則實數(shù)的值是__________．【答案】【詳解】分析：求出切線方程，可得三角形面積，利用基本不等式求出最小值時切點坐標(biāo)，設(shè)，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義，由三角形面積公式可得