統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第四章

統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第四章第1頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量4.2.5方差和標(biāo)準(zhǔn)差

4.1.1眾數(shù)4.2.6離散系數(shù)

4.1.2中位數(shù)4.2.7標(biāo)準(zhǔn)化值

4.1.3均值

4.1.4調(diào)和平均數(shù)

4.1.5幾何平均數(shù)4.3偏態(tài)和峰度的度量

4.1.6均值、眾數(shù)和中位數(shù)的比較4.3.1偏態(tài)系數(shù)

4.1.7均值、眾數(shù)和中位數(shù)的比較4.3.2峰度系數(shù)4.2離散程度的度量

4.2.1異眾比率

4.2.3取值范圍

4.2.4平均差第2頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量

原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)分組整理所形成的頻數(shù)分布，直觀和概略地反映出數(shù)據(jù)分布的基本特征。頻數(shù)分布屬于對(duì)數(shù)據(jù)分布特征的初步描述，缺乏對(duì)數(shù)據(jù)分布特征的綜合度量，若需要深入地表述數(shù)據(jù)分布特征的具體特征和內(nèi)在聯(lián)系，還應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)分布特征進(jìn)行綜合性的度量。數(shù)據(jù)分布特征的度量包括三個(gè)方面的內(nèi)容，一是數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)，反映總體中各個(gè)單位的數(shù)值水平向其聚集，或者集中的中心數(shù)值；二是數(shù)據(jù)分布的離散趨勢(shì)，反映總體中各個(gè)單位的數(shù)值水平偏離中心數(shù)值的綜合程度；三是數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)和峰度，反映各個(gè)總體單位的數(shù)值水平的分布形態(tài)是對(duì)稱或偏倚，平坦或尖聳的具體數(shù)值。

第3頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.1集中趨勢(shì)的度量第4頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六集中趨勢(shì)（CentralTendency）是指一組數(shù)據(jù)所趨向的中心數(shù)值。對(duì)集中趨勢(shì)的度量就是采用具體的統(tǒng)計(jì)方法和統(tǒng)計(jì)測(cè)度對(duì)這一中心數(shù)值的測(cè)量和計(jì)量，以一綜合數(shù)值來(lái)表述數(shù)據(jù)所趨向的這一中心數(shù)值的一般水平。第5頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量4.1.1眾數(shù)

眾數(shù)（Mode）是一組數(shù)據(jù)中頻數(shù)最大的變量值，直觀地反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。眾數(shù)是度量定類數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度，一般用表示。例4.1某品牌運(yùn)動(dòng)服裝專賣店一批新品球衣銷售情況如下表4.1某專賣店新品球衣銷售情況件第6頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量4.1.1眾數(shù)

眾數(shù)（Mode）是一組數(shù)據(jù)中頻數(shù)最大的變量值，直觀地反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。眾數(shù)是度量定類數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度，一般用表示。

例4.1某品牌運(yùn)動(dòng)服裝專賣店一批新品球衣銷售情況如下表4.1某專賣店新品球衣銷售情況件第7頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量例4.2利用第三章中例3.1中某學(xué)期某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算計(jì)算該班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)。解將該原始數(shù)據(jù)排序之后，得到有序數(shù)據(jù)如下52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，91，91，92，96，98

第8頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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4.1集中趨勢(shì)的度量例4.2利用第三章中例3.1中某學(xué)期某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算計(jì)算該班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)。解將該原始數(shù)據(jù)排序之后，得到有序數(shù)據(jù)如下52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，91，91，92，96，9884分在這35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了4次，屬于出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，根據(jù)眾數(shù)定義，可以確定眾數(shù)為84分，即第9頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2012-03-16(ZhouwuShangwuJDC)第10頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2012-03-16(ZhouwuWanJDC)第11頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量

利用已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)計(jì)算眾數(shù)的場(chǎng)合，需要運(yùn)用插值公式來(lái)計(jì)算眾數(shù)的近似數(shù)值。眾數(shù)的插值公式有下限公式和上限公式。其下限公式從眾數(shù)所在組的下限出發(fā)，有

(4.1)上限公式則從眾數(shù)所在組的上限出發(fā)，有(4.2)

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4.1集中趨勢(shì)的度量

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4.1集中趨勢(shì)的度量

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4.1集中趨勢(shì)的度量

例4.3表4.2為第三章中表3.7“某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)”中的部分?jǐn)?shù)據(jù)。根據(jù)表4.2的已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)，計(jì)算該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)眾數(shù)的近似數(shù)值。表4.2某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)第19頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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4.1集中趨勢(shì)的度量通過(guò)上限公式或下限公式的計(jì)算眾數(shù)所得到的計(jì)算結(jié)果是一致的。眾數(shù)是一個(gè)通過(guò)數(shù)據(jù)中頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)的數(shù)值來(lái)反映集中趨勢(shì)的測(cè)度，為一位置型的代表數(shù)值，所以眾數(shù)的取值不受極端數(shù)值的影響，也不受組距分組中開(kāi)口組設(shè)置的影響。當(dāng)數(shù)值型數(shù)據(jù)中含有極小值和極大值時(shí)，使用眾數(shù)來(lái)度量數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，可以作為其它集中趨勢(shì)測(cè)度的補(bǔ)充。眾數(shù)是一個(gè)適用于最低層次的定類數(shù)據(jù)的測(cè)度，因此可以用于各種量表數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)分析，有效使用眾數(shù)的前提是數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布存在明顯的集中態(tài)勢(shì)。

第20頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六眾數(shù)主要適合于作為分類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。也可運(yùn)用于定序數(shù)據(jù)以及數(shù)值型數(shù)據(jù)?？赡懿晃ㄒ?。第21頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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4.1集中趨勢(shì)的度量

4.1.2中位數(shù)

中位數(shù)（Median）是位于有序數(shù)據(jù)正中間位置上的變量值，中位數(shù)用其特殊的位置屬性直接地體現(xiàn)了集中趨勢(shì)的中心數(shù)值特征。中位數(shù)是度量定序數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度，一般用表示。中位數(shù)也是一種位置型的代表數(shù)值，同時(shí)中位數(shù)還是一種順序統(tǒng)計(jì)量，因此，計(jì)算中位數(shù)要求數(shù)值至少具備定序數(shù)據(jù)的性質(zhì)。中位數(shù)一旦確定，就可以根據(jù)中位數(shù)的具體取值，將全部數(shù)據(jù)分成數(shù)量相等的兩個(gè)部分，一半數(shù)據(jù)的數(shù)值小于或等于中位數(shù)；另一半數(shù)據(jù)的數(shù)值大于或等于中位數(shù)。由此可得出中位數(shù)的計(jì)算公式。當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，有(4.3)當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，有

(4.4)

第22頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六中位數(shù)的性質(zhì)第23頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六【課后作業(yè)】證明：中位數(shù)的性質(zhì)第24頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六中位數(shù)是度量定序數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度，根據(jù)計(jì)量尺度的向上兼容性質(zhì)，中位數(shù)也可以用于度量比它量表層次更高的數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。但不能度量定類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。第25頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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4.1集中趨勢(shì)的度量例4.4仍然采用第三章中例3.1某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù)。解將原始數(shù)據(jù)排序之后，得到以下有序數(shù)據(jù)52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，91，91，92，96，98該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為35，因此采用式(4.3)計(jì)算，排列在該組有序數(shù)據(jù)第18位上的變量值為82分，該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù)為82分。即第26頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

利用已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，需要運(yùn)用插值公式計(jì)算中位數(shù)的近似數(shù)值。中位數(shù)的插值公式也有下限公式和上限公式。其下限公式從中位數(shù)所在組的下限出發(fā)，為

上限公式從中位數(shù)所在組的上限出發(fā)，為

4.1集中趨勢(shì)的度量第27頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量例4.5表4.3為第三章“表3.7某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)”中的部分資料，為已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)。要求根據(jù)表4.3數(shù)據(jù)，計(jì)算該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù)。解運(yùn)用插值公式計(jì)算該班學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)中位數(shù)的近似數(shù)值。表4.3某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)第28頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六顯然，我們可以任選上限公式或下限公式來(lái)計(jì)算中位數(shù)，得到結(jié)果是相同的。中位數(shù)是一個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量，其取值不受極端數(shù)值的影響，也不受組距分組中開(kāi)口組設(shè)置的影響。當(dāng)數(shù)值型數(shù)據(jù)中含有極小值和極大值時(shí)，可以使用中位數(shù)來(lái)度量數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。中位數(shù)一般適用于定序數(shù)據(jù)。不太適用于偏態(tài)的數(shù)據(jù)。第29頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.1.3均值

均值（Mean）為一組數(shù)值型數(shù)據(jù)之和除以該組數(shù)據(jù)總數(shù)的商，即同一組數(shù)據(jù)的總值與其頻數(shù)的商。在大多數(shù)場(chǎng)合，均值采用算術(shù)平均方法計(jì)算，所以人們經(jīng)常將均值稱為算術(shù)平均數(shù)（ArithmeticalAverage）。第30頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六計(jì)算均值的數(shù)據(jù)需要具備數(shù)值型數(shù)據(jù)的屬性，均值是一個(gè)數(shù)值型的集中趨勢(shì)測(cè)度。通過(guò)計(jì)算均值的運(yùn)算過(guò)程，首先將各個(gè)數(shù)據(jù)之間的數(shù)量差異抽象掉了，以一個(gè)抽象性的綜合測(cè)度概括地反映事物的集中趨勢(shì)。其次將不同總體的總量規(guī)模抽象掉了，表現(xiàn)出來(lái)的只是一個(gè)一般性的代表水平，有利于不同規(guī)模的同類總體在不同空間和時(shí)間上的廣泛比較。第31頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六均值在各個(gè)方面得到廣泛應(yīng)用。均值屬于參數(shù)統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，只能用做數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度，不能度量非數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。第32頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量1．簡(jiǎn)單均值

簡(jiǎn)單均值（SimpleMean）是根據(jù)未分組的原始數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的均值。有

(4.7)

例4.6仍采用第三章中例3.1某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)要求試計(jì)算該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的均值。解采用式(4.7)計(jì)算，有

第33頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量2．加權(quán)均值

加權(quán)均值（WeightedMean）是運(yùn)用各組頻數(shù)作為權(quán)數(shù)對(duì)各組數(shù)值水平進(jìn)行加權(quán)計(jì)算出來(lái)的均值。根據(jù)是單變量值分組還是組距分組，以及組距分組的各組數(shù)值水平代表數(shù)據(jù)是組均值還是組中值，加權(quán)均值的計(jì)算分為以下三種類型。（1）單變量值分組加權(quán)均值在單變量值分組場(chǎng)合，加權(quán)均值的計(jì)算公式為(4.8)第34頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量

例4.7某機(jī)床總裝車間10個(gè)裝配小組日完成產(chǎn)品臺(tái)數(shù)情況，計(jì)算單變量值分組加權(quán)均值。表4.4某機(jī)床總裝車間10個(gè)裝配小組日完成產(chǎn)品臺(tái)數(shù)情況要求試計(jì)算單變量值分組加權(quán)均值。解采用式(4.8)計(jì)算，可得第35頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量（2）采用組均值計(jì)算加權(quán)均值在組距分組中，采用組均值計(jì)算加權(quán)均值時(shí)，計(jì)算公式為(4.9)式(4.9)中表示第j組的組均值。

第36頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量例4.8

采用第三章中例3.1的各組均值數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算組距分組的該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的加權(quán)均值。解依據(jù)各組中的數(shù)據(jù)數(shù)值和數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，按照式(4.7)的均值計(jì)算公式，計(jì)算出各組的組均值，填入表4.5中。表4.5某學(xué)期某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的組均值和頻數(shù)第37頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量（3）采用組中值計(jì)算加權(quán)均值在不占有原始數(shù)據(jù)和組均值數(shù)值，只擁有已分組的數(shù)據(jù)時(shí)，只有利用各組組中值采用加權(quán)的方式計(jì)算均值的近似數(shù)值。利用組中值計(jì)算均值近似值的公式為(4.10)式(4.10)中表示第j組的組中值。

第38頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六采用組中值計(jì)算加權(quán)均值的前提條件：各組數(shù)據(jù)近似地趨于均勻分布或?qū)ΨQ分布，各組的組中值近似于各組的組均值。當(dāng)各組數(shù)據(jù)顯著地不趨于均勻分布或?qū)ΨQ分布時(shí)，各組的組中值與各組的組均值就會(huì)存在較大差異，兩者數(shù)值水平相差越大，采用組中值替代組均值的誤差就越大。第39頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量

例4.9

根據(jù)第三章中表3.7中“某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)”的各組組中值和頻數(shù)數(shù)據(jù)。要求試采用組中值計(jì)算該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的加權(quán)均值。解采用式(4.10)計(jì)算。表4.6某學(xué)期某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的組中值和頻數(shù)第40頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量3．權(quán)數(shù)【權(quán)重】與加權(quán)結(jié)構(gòu)對(duì)于加權(quán)均值而言，有兩個(gè)因素決定著均值數(shù)值的大小，一個(gè)因素是各組的數(shù)值水平，在不同場(chǎng)合，可以是單變量值、組均值或組中值；另一個(gè)因素是各組的頻數(shù)。頻數(shù)對(duì)各組的數(shù)值水平數(shù)值起著權(quán)衡輕重的作用，所以將加權(quán)均值的計(jì)算公式中頻數(shù)稱為“權(quán)數(shù)”。在均值的計(jì)算中又將頻數(shù)分布稱為“加權(quán)結(jié)構(gòu)”，“加權(quán)結(jié)構(gòu)”更加清晰地反映了數(shù)據(jù)在各組中的分布與集中趨勢(shì)之間的聯(lián)系，及其對(duì)均值數(shù)值水平形成的影響。將式(4.8)略加變形，有(4.11)第41頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量根據(jù)第三章中表3.7中“某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)”的各組組中值和頻數(shù)數(shù)據(jù)，計(jì)算“加權(quán)結(jié)構(gòu)”和“組貢獻(xiàn)值”。某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試平均成績(jī)的“加權(quán)結(jié)構(gòu)”和“組貢獻(xiàn)值”考分/分組均值/分人數(shù)/人比例【頻率】【權(quán)重】/%組貢獻(xiàn)值/分60以下5425.7143.0960—7065411.4297.4370—8076925.71419.5480—90851440.00034.0090—10093617.14315.94合計(jì)—35100.00080.00第42頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量

均值的數(shù)學(xué)性質(zhì)：（1）各個(gè)變量值與其均值的離差和為零，即（2）各個(gè)變量值與其均值平均數(shù)的離差平方和為最小，即當(dāng)取均值作為集中趨勢(shì)的測(cè)度時(shí)，各個(gè)數(shù)據(jù)的取值與集中趨勢(shì)測(cè)度的離差平方和為最小值。均值的這一數(shù)學(xué)性質(zhì)是度量離散程度，進(jìn)行誤差分析和最小二乘估計(jì)等統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)。第43頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第44頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量4.1.4調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)（HarmonicMean）是各個(gè)變量數(shù)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。因此又稱之為“倒數(shù)平均數(shù)”。1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)設(shè)有個(gè)變量值為,則有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式為

(4.12)

第45頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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4.1集中趨勢(shì)的度量例4.10設(shè)有12批A產(chǎn)品當(dāng)日在某海關(guān)進(jìn)口時(shí)報(bào)關(guān)的單價(jià)分別為每件25，24，25，27，26，25，24，28，26，25，26，28美元。要求試用調(diào)和平均數(shù)方法計(jì)算其平均價(jià)格。解由式(4.12)第46頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量2．加權(quán)調(diào)和平均數(shù)（1）單變量值分組的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)在單變量值分組場(chǎng)合，加權(quán)均值的計(jì)算公式為(4.13)第47頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六加權(quán)調(diào)和平均數(shù)第48頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）組距分組的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)在組距分組場(chǎng)合，仍然根據(jù)是否擁有各組組均值數(shù)據(jù)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算分為兩種不同的方式。擁有各組組均值數(shù)據(jù)時(shí)，采用各組組均值計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)；不具有各組組均值數(shù)據(jù)時(shí)，則需要采用各組組中值來(lái)計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的近似數(shù)值。在現(xiàn)實(shí)生活中，實(shí)際使用到的僅是一種形式上類似調(diào)和平均數(shù)的“加權(quán)調(diào)和平均數(shù)”，它是均值的一種變形。第49頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六組距分組的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)(1)已知各組均值數(shù)據(jù)(2)已知各組組中值數(shù)據(jù)第50頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量3．均值的變形在擁有各組總值數(shù)據(jù)和各組變量值水平，缺少各組頻數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)，往往采用形式上類似加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的公式，來(lái)計(jì)算加權(quán)均值。用M表示各組總值，用表示這一形式上類似加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的集中趨勢(shì)測(cè)度，有

(4.14)由式(4.14)可知，這一所謂的形式上類似加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的集中趨勢(shì)測(cè)度實(shí)際上就是均值，而不是調(diào)和平均數(shù)。第51頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

例4.12

已知某商店商品按照優(yōu)惠價(jià)、折扣價(jià)和原價(jià)的單價(jià)和銷售總額。要求試求銷售價(jià)格的均值。解由式(4.14)表4.8某商店W商品銷售情況

4.1集中趨勢(shì)的度量第52頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量4.1.5幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（GeometricMean）是指各項(xiàng)數(shù)據(jù)的連乘積開(kāi)其項(xiàng)數(shù)次方的算術(shù)根，一般用G表示。當(dāng)對(duì)象為某種連乘積的關(guān)系，例如總比率或總速度時(shí)，則需要采用幾何平均數(shù)方法，計(jì)算其平均比率或平均速度。幾何平均數(shù)的計(jì)算公式也有簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)和兩種形式：１．簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)。計(jì)算公式為：(4.15)

第53頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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4.1集中趨勢(shì)的度量例4.13某廠有四個(gè)連續(xù)作業(yè)車間，其產(chǎn)品的合格率分別為95%、96%、94%和90%。要求試計(jì)算該產(chǎn)品的平均合格率。解顯然，本題不能采用算術(shù)平均法或調(diào)和平均法，因?yàn)楦鬈囬g的合格率之積＝全廠的總合格率，應(yīng)采用幾何平均法來(lái)計(jì)算其平均合格率。由式(4.15)，有第54頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量２、加權(quán)幾何平均數(shù)。加權(quán)幾何平均數(shù)計(jì)算公式為：

(4.16)第55頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量例4.14設(shè)某項(xiàng)每年分紅一次的投資項(xiàng)目，10年來(lái)各年的實(shí)際收益率分別為10%，9%，8%，8%，9%，8%，9%，7%，11%，10%。要求試求該項(xiàng)投資10年來(lái)的平均年收益率。解平均年收益率是一項(xiàng)平均增長(zhǎng)速度，需要由平均發(fā)展速度間接計(jì)算。因此需要將例4.14中的各年收益率數(shù)據(jù)（年增長(zhǎng)速度），換算成年本利和（年發(fā)展速度），利用式(4.15)計(jì)算出該項(xiàng)投資10年來(lái)的平均年本利率，最后將平均年本利率扣除本金后，計(jì)算出平均年收益率。即

第56頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4.15將例4.14中該企業(yè)某項(xiàng)投資10年間收益率整理為單變量值分組數(shù)據(jù)，試求該項(xiàng)投資10年間平均年收益率。按年收益率分組/%年本利率/%頻數(shù)/次X^F1111111.110001011021.21000910931.29503810831.25971710711.07000合計(jì)-102.34446第57頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六根據(jù)式(4.16)計(jì)算，有第58頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2012-03-21(ZhousanShangwu)第59頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量3．對(duì)數(shù)均值將幾何平均數(shù)計(jì)算公式等號(hào)兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，幾何平均數(shù)計(jì)算公式表現(xiàn)出類似均值計(jì)算公式的形式。所以，幾何平均數(shù)又被稱為對(duì)數(shù)均值，或?qū)?shù)平均數(shù)。由式(4.15)等號(hào)兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得對(duì)數(shù)形式的簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)計(jì)算公式。有(4.17)由式(4.16)等號(hào)兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得對(duì)數(shù)形式的，具有類似加權(quán)均值計(jì)算公式形式的加權(quán)幾何平均數(shù)計(jì)算公式。有(4.18)第60頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.1.6均值、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的比較對(duì)于同一組數(shù)據(jù)，僅從數(shù)值比較的角度，有均值大于等于幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)，即第61頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量例4.16有一組數(shù)據(jù)為4，5，6，7，8，6，7，8，9，8，請(qǐng)分別計(jì)算均值、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。解：分別計(jì)算如下：

第62頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六【課后作業(yè)】考慮對(duì)任意的自然數(shù)n,三個(gè)平均數(shù)之間的關(guān)系的證明。第63頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.1.7均值、眾數(shù)和中位數(shù)的比較在均值、眾數(shù)和中位數(shù)這三個(gè)測(cè)度中，均值是唯一的數(shù)值型測(cè)度。均值一般采用算術(shù)平均方法計(jì)算的集中趨勢(shì)測(cè)度，對(duì)極端數(shù)值的反應(yīng)比較敏感，在數(shù)據(jù)的分布出現(xiàn)偏倚時(shí)，均值受到的影響最大。眾數(shù)和中位數(shù)都是位置型的集中趨勢(shì)測(cè)度，其具體取值不受極端數(shù)值的影響。其中眾數(shù)是對(duì)應(yīng)于最大頻數(shù)的數(shù)值，中位數(shù)是居于有序數(shù)據(jù)中間位置上的數(shù)值。第64頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若數(shù)據(jù)的分布是對(duì)稱的，有均值、眾數(shù)和中位數(shù)三個(gè)集中趨勢(shì)測(cè)度的取值相等。第65頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖4.1對(duì)稱分布第66頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一般而言，若數(shù)據(jù)的分布是非對(duì)稱的，眾數(shù)仍然處在數(shù)據(jù)分布的峰頂?shù)奈恢蒙?，均值和中位?shù)則偏向數(shù)據(jù)分布偏倚的一方，其中均值偏倚程度往往要大于中位數(shù)。第67頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈左偏態(tài)時(shí)，一般有均值的取值最小，其次是中位數(shù)，眾數(shù)的取值最大。在頻數(shù)分布圖上，眾數(shù)始終對(duì)應(yīng)于峰頂，均值和中位數(shù)偏在峰頂?shù)淖筮?，均值又在中位?shù)左邊。第68頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖4.2左偏分布第69頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈右偏態(tài)時(shí)，一般有均值的取值最大，其次是中位數(shù)，眾數(shù)的取值最小。在頻數(shù)分布圖上，眾數(shù)還是處在對(duì)應(yīng)于峰頂?shù)奈恢?，均值和中位?shù)偏在峰頂?shù)挠疫?，并且均值偏在最右邊。?0頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖4.3右偏分布第71頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六根據(jù)均值、眾數(shù)和中位數(shù)之間的這種關(guān)系，通過(guò)比較這三個(gè)集中趨勢(shì)測(cè)度的具體取值，可以反映數(shù)據(jù)的分布狀態(tài)，是否存在偏態(tài)，是左偏態(tài)還是右偏態(tài)，進(jìn)而粗略地把握偏態(tài)的大致程度。第72頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢(shì)的度量例4.17根據(jù)第三章中例3.1某學(xué)期某班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)。要求計(jì)算該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的均值、眾數(shù)和中位數(shù)，簡(jiǎn)要分析數(shù)據(jù)的分布狀況。解由該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)均值、眾數(shù)和中位數(shù)的具體取值，可得出三者之間的數(shù)值比較關(guān)系，有則認(rèn)為該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)呈左偏態(tài)，偏倚的程度不是很大，從均值角度來(lái)說(shuō)，該班高分（超過(guò)均值80分）的同學(xué)較多，超過(guò)了半數(shù)。因?yàn)榘捶謹(jǐn)?shù)排序處在正中間位置上同學(xué)的分?jǐn)?shù)為中位數(shù)82分，高于均值80分的水平。

第73頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2012-03-19(ZhouyiShangwu)第74頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.2離散程度的度量第75頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.1異眾比率

異眾比率（VariationRatio）是非眾數(shù)所在組的頻數(shù)之和占總頻數(shù)的比率，一般用表示。(4.19)

異眾比率是用于評(píng)價(jià)眾數(shù)的代表性的測(cè)度。異眾比率取值在1到0之間，一般用百分?jǐn)?shù)表示。異眾比率數(shù)值越大，越趨近于1，說(shuō)明眾數(shù)所在組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率越低，眾數(shù)的代表性越弱，反映數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布不存在顯著集中的態(tài)勢(shì)，無(wú)法借助眾數(shù)來(lái)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；異眾比率數(shù)值越小，越趨近于0，說(shuō)明眾數(shù)所在組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率越高，眾數(shù)作為集中趨勢(shì)測(cè)度的代表性越強(qiáng)。第76頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.18根據(jù)例4.1某品牌運(yùn)動(dòng)服裝專賣店一批新品球衣的銷售情況的頻數(shù)分布數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算眾數(shù)“SP09-05”球衣的異眾比率。解由式(4.19)，有該新品球衣的前日和當(dāng)日銷售情況眾數(shù)的“SP09-05”球衣的異眾比率分別為

前日銷售情況的異眾比率為45%，當(dāng)日銷售情況的異眾比率為48.33%，說(shuō)明這兩天眾數(shù)“SP09-05”球衣的銷售量都超過(guò)50%，表明在此場(chǎng)合使用眾數(shù)“SP09-05”球衣作為該批新款球衣集中趨勢(shì)的測(cè)度是比較有效的。第77頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.2四分位差四分位差（QuartileDeviation）為上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的絕對(duì)離差，也稱為四分間距（Inter-QuartileRange），用表示。計(jì)算公式為(4.20)式(4.20)中的和分別為上四分位數(shù)與下四分位數(shù)。將原始數(shù)據(jù)按照由小到大，由低到高排序后得到的有序數(shù)據(jù)中，上四分位數(shù)是處在后四分之一位置上數(shù)據(jù)的數(shù)值；下四分位數(shù)是處在前四分之一位置上數(shù)據(jù)的數(shù)值。所以，也可以將上四分位數(shù)與下四分位數(shù)理解為是在計(jì)算了中位數(shù)的基礎(chǔ)上，將排序后的有序數(shù)據(jù)分為了大于和小于中位數(shù)的兩個(gè)部分，然后再在這兩個(gè)部分中分別計(jì)算出來(lái)的中位數(shù)。四分位差反映了處在有序數(shù)據(jù)中間位置上的50%的數(shù)據(jù)的絕對(duì)離差。因此，四分位差是與中位數(shù)相聯(lián)系的離散程度測(cè)度。第78頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.19仍采用例4.4中某學(xué)期某班35名學(xué)生考試成績(jī)的原始數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的四分位差。解有上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的計(jì)算公式為

解得

52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，91，91，92，96，98即可計(jì)算出考試成績(jī)的四分位差為該班35名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的四分位差為13分，說(shuō)明處在中間位置上的一半該班同學(xué)的分?jǐn)?shù)最大差距為13分，這一差異數(shù)值較小，表明82分的中位數(shù)對(duì)于集中趨勢(shì)的代表性較好。第79頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四分位間距組距分組數(shù)據(jù)（1）全部數(shù)據(jù)的中位數(shù)ME1（2）數(shù)值較大部分的中位數(shù)ME2（3）數(shù)值較小部分的中位數(shù)ME3（4）四分位間距第80頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.3取值范圍【極差】【全距】取值范圍（ValueArea）為全體數(shù)據(jù)中最大數(shù)值與最小數(shù)值之差，反映了數(shù)值變量取值的變動(dòng)幅度。取值范圍也稱為全距，一般用R表示，有(4.20)當(dāng)使用樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)值與最小數(shù)值之差，來(lái)計(jì)算該組樣本數(shù)值變量取值區(qū)間，以反映總體變量取值的變動(dòng)幅度時(shí)，一般稱之為極差（Range），用表示。即(4.21)

【修正極差】第81頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.20某企業(yè)一車間甲乙兩個(gè)生產(chǎn)小組的個(gè)人日產(chǎn)量件數(shù)數(shù)據(jù)如下甲組：50，55，60，70，80，85，90乙組：67，68，69，70，71，72，73要求試計(jì)算該車間甲乙兩個(gè)生產(chǎn)小組的個(gè)人日產(chǎn)量的取值范圍。解

甲乙兩個(gè)生產(chǎn)小組的均值都為70件，采用式(4.20)，有甲組：乙組：甲組的取值范圍為40件，乙組的取值范圍為6件，表明70件的均值對(duì)于乙組個(gè)人日產(chǎn)量的集中趨勢(shì)更具有代表性，或者說(shuō)乙組個(gè)人日產(chǎn)量的離散程度小，集中趨勢(shì)更為顯著。取值范圍的計(jì)算只使用了數(shù)值變量中的最大與最小兩個(gè)數(shù)值，具有計(jì)算簡(jiǎn)潔，意義明確，易于理解的特點(diǎn)，但是沒(méi)有充分利用數(shù)據(jù)的全部信息，是一個(gè)粗略的，簡(jiǎn)單的，尤其是容易受到極端數(shù)值影響的測(cè)度。第82頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.4平均差【平均偏差】【平均離差】

平均差（MeanDeviation）是指全部變量值與其均值的離差的絕對(duì)值的均值，也稱為平均離差，用A.D.表示。簡(jiǎn)單平均差計(jì)算公式為：

(4.22)加權(quán)平均差計(jì)算公式為：(4.23)

第83頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六平均差(MeanDifference)第84頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.21仍然采用例4.20中的數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算該該車間甲乙兩個(gè)生產(chǎn)小組的個(gè)人日產(chǎn)量的平均差。解已知均值為70件，由式(4.22)

表4.10甲乙小組的個(gè)人日產(chǎn)量的平均差計(jì)算表件甲組：乙組：平均差測(cè)度同樣表明乙組個(gè)人日產(chǎn)量的離散程度小，70件的個(gè)人日產(chǎn)量均值對(duì)于乙組的集中趨勢(shì)更具有代表性。第85頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4.22采用例4.8中某學(xué)期某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)的組均值和頻數(shù)數(shù)據(jù)，并已知均值為80分。第86頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六考分/分組均值/分人數(shù)/人60分以下5425260-706546070-807693680-9085147090-10093678合計(jì)—35296第87頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第88頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.5方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差(Variance)是指全部變量值與其均值的離差的平方的均值。方差以數(shù)據(jù)的重心——均值作為基準(zhǔn)數(shù)值來(lái)度量數(shù)據(jù)分布的離散程度，同時(shí)用平方的方式消除了變量值與均值離差數(shù)值正負(fù)相抵的問(wèn)題，便于數(shù)學(xué)上的處理，方差是正態(tài)分布等概率分布的重要參數(shù)，是度量數(shù)值變量離散程度的基本測(cè)度。方差一般用或表示。根據(jù)所擁有的數(shù)值變量數(shù)據(jù)的形式不同，方差的計(jì)算可以分為以下幾種方式。

1．簡(jiǎn)單方差計(jì)算公式當(dāng)擁有未分組的數(shù)據(jù)時(shí)，采用簡(jiǎn)單方差公式計(jì)算方差。(4.24)第89頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.23再次仍然采用例4.20中某企業(yè)一車間甲乙兩個(gè)生產(chǎn)小組的個(gè)人日產(chǎn)量件數(shù)數(shù)據(jù)，并已知均值為70件。要求試計(jì)算該甲乙兩個(gè)生產(chǎn)小組個(gè)人日產(chǎn)量的方差。解由式(4.24)有

表4.12甲乙小組的個(gè)人日產(chǎn)量的方差計(jì)算表件

甲組：乙組：

第90頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量2．加權(quán)方差計(jì)算公式當(dāng)只具備已分組數(shù)據(jù)時(shí)，需要采用加權(quán)方差公式計(jì)算方差。（1）當(dāng)擁有單變量值分組數(shù)據(jù)時(shí)，加權(quán)方差計(jì)算公式為：(4.25)

例4.24

根據(jù)例4.7中某機(jī)床總裝車間10個(gè)裝配小組日完成產(chǎn)品臺(tái)數(shù)數(shù)據(jù)，并已知均值為6.8臺(tái)。要求計(jì)算該機(jī)床總裝車間裝配小組日完成產(chǎn)品臺(tái)數(shù)的方差。解由式(4.25)

第91頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六日完成產(chǎn)品量/臺(tái)裝配小組/個(gè)513.24621.28750.2822.88合計(jì)107.6

/臺(tái)2第92頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

（2）當(dāng)擁有的數(shù)據(jù)為具有組均值的組距分組時(shí)，加權(quán)方差計(jì)算公式為：

(4.26)式(4.26)中是采用各組的組均值與總體均值的離差的加權(quán)均值來(lái)反映數(shù)據(jù)分布的離散程度。存在著一個(gè)各組的組均值與各組中各個(gè)變量的實(shí)際取值之間的差異，只有在各個(gè)變量的實(shí)際取值等于各組的組均值時(shí)，式(4.26)才等于式(4.25)；當(dāng)這兩者的差距越大，式(4.26)與式(4.25)之間的差距也就越大，并且有式(4.26)計(jì)算的數(shù)值小于式(4.25)計(jì)算的數(shù)值。式(4.25)是與方差的定義一致的測(cè)度，而式(4.26)只是式(4.25)近似計(jì)算。

4.2離散程度的度量第93頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六式（4.27）所計(jì)算的實(shí)質(zhì)是組間方差，或者稱為層間方差，它反映的只是各組（層）的組均值與總均值之間離差平方的均值，缺失了對(duì)于各組（層）內(nèi)部各個(gè)數(shù)據(jù)與其組均值之間離差平方的均值的度量。各組（層）內(nèi)部各個(gè)數(shù)據(jù)與其組均值之間離差平方稱為組內(nèi)方差，或者稱為層內(nèi)方差，它是對(duì)各組組內(nèi)變量離散程度的測(cè)度。因此式（4.27）僅為方差所定義的全部變量值與其均值的離差平方均值的一部分。第94頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4.25采用例4.8的表4.5中某學(xué)期某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的組均值和頻數(shù)數(shù)據(jù)，并已知均值為80分。要求：計(jì)算該班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的加權(quán)方差。第95頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4.25考分/分組均值/分人數(shù)/人60以下542135260—7065490070—8076914480—90851435090—1009361014合計(jì)—353760

第96頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第97頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量（3）當(dāng)擁有的數(shù)據(jù)為不具有組均值的組距分組時(shí)，需要采用組中值近似地替代組均值計(jì)算加權(quán)方差，這時(shí)計(jì)算公式為

(4.27)式(4.27)不僅存在式(4.26)以各組的組均值近似替代各組中各個(gè)變量的實(shí)際取值所產(chǎn)生的誤差，而且還存在以各組的組中值近似替代各組的組均值所產(chǎn)生的誤差。所以式(4.27)也只能是對(duì)式(4.25)近似計(jì)算。第98頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六【課后作業(yè)】利用例4.8的表4.5的數(shù)據(jù)以及式（4.28）計(jì)算某學(xué)期某班35名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)的加權(quán)方差。第99頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量3．標(biāo)準(zhǔn)差由于方差的量綱是變量原有量綱的平方，在實(shí)際使用時(shí)有所不便。因此，人們常常采用具有與變量一致的量綱的測(cè)度，方差的算術(shù)平方根——標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）為方差的算術(shù)平方根，即全部變量值與其均值的離差的平方的均值的算術(shù)平方根。有簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式和加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式。(4.28)(4.29)第100頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.6離散系數(shù)離散系數(shù)（CoefficientofVariation）為同一總體的標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。通過(guò)采用標(biāo)準(zhǔn)差除以同一數(shù)據(jù)的均值，不僅將分子分母量綱相同相互約去，同時(shí)還剔除了均值數(shù)值水平，得到了一個(gè)沒(méi)有量綱的相對(duì)數(shù)測(cè)度，這就是離散系數(shù)。計(jì)算離散系數(shù)的主要目的就是消除標(biāo)準(zhǔn)差的量綱和數(shù)值水平上的差異，使其成為一個(gè)抽象的，純粹反映數(shù)據(jù)分布離散程度的測(cè)度，一個(gè)具有廣泛的直接的可比性的離散程度測(cè)度。從形式上看，離散系數(shù)是一個(gè)相對(duì)的比值，一個(gè)相對(duì)數(shù)。離散系數(shù)的計(jì)算公式為：

(4.30)離散系數(shù)一般用百分?jǐn)?shù)表示。第101頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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4.2離散程度的度量例4.26已知某公司A、B兩種產(chǎn)品2005年的日產(chǎn)量及其標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)。要求試計(jì)算A、B兩種產(chǎn)品2005年的日產(chǎn)量的離散系數(shù)，對(duì)該公司A、B兩種產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程的均衡性進(jìn)行比較分析。解采用式(4.30)，有表4.152005年某公司產(chǎn)品的日產(chǎn)量的離散系數(shù)計(jì)算表

由此例可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值水平是由純粹的數(shù)據(jù)分布離散程度（可用離散系數(shù)表示），和數(shù)據(jù)分布集中趨勢(shì)的中心數(shù)值（一般用均值表示），這兩者共同作用的結(jié)果。例如，A產(chǎn)品日產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差3噸，等于離散系數(shù)60%，乘上均值5噸。

第102頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六基于離散系數(shù)，可以將兩個(gè)總體離散程度的比較分解為兩個(gè)總體標(biāo)準(zhǔn)差之比與兩個(gè)總體的均值之比的商。例如本例中A產(chǎn)品的離散程度為B產(chǎn)品離散程度的2倍，可以視為是由A產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差為B產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)差的1/80和A產(chǎn)品的均值為B產(chǎn)品均值的1/160，這兩個(gè)因素共同作用的結(jié)果。第103頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.7標(biāo)準(zhǔn)化值

標(biāo)準(zhǔn)化值（StandardScore）是以變量值與其均值的差除以同一數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的比值，也稱為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，或Z分?jǐn)?shù)。其計(jì)算公式為：(4.31)標(biāo)準(zhǔn)化值的分子為第i個(gè)變量值與其均值的差，一般稱為數(shù)據(jù)的中心化，表現(xiàn)為變量值與其均值的絕對(duì)距離。標(biāo)準(zhǔn)化值的分母為標(biāo)準(zhǔn)差，通過(guò)用標(biāo)準(zhǔn)差除以中心化后的數(shù)據(jù)，來(lái)消除標(biāo)準(zhǔn)化值的量綱和絕對(duì)水平，剔除不同的數(shù)據(jù)分布離散程度在量綱和數(shù)值水平上的差異，使離散程度不同的數(shù)據(jù)之間具備了廣泛的可比性。使數(shù)據(jù)具有了普遍的可加性和直接的可比性。第104頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.27某中學(xué)有A、B兩位同學(xué)期末考試5門功課的考試成績(jī)?nèi)绫?.16所示。要求采用標(biāo)準(zhǔn)化值，對(duì)某中學(xué)A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)。解根據(jù)式(4.31)，計(jì)算出A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分。表4.16某中學(xué)A、B兩位同學(xué)期末考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分計(jì)算表第105頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.27某中學(xué)有A、B兩位同學(xué)期末考試5門功課的考試成績(jī)?nèi)绫?.16所示。要求采用標(biāo)準(zhǔn)化值，對(duì)某中學(xué)A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)。解根據(jù)式(4.31)，計(jì)算出A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分。表4.16某中學(xué)A、B兩位同學(xué)期末考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分計(jì)算表第106頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.27某中學(xué)有A、B兩位同學(xué)期末考試5門功課的考試成績(jī)?nèi)绫?.16所示。要求采用標(biāo)準(zhǔn)化值，對(duì)某中學(xué)A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)。解根據(jù)式(4.31)，計(jì)算出A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分。表4.16某中學(xué)A、B兩位同學(xué)期末考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分計(jì)算表第107頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.27某中學(xué)有A、B兩位同學(xué)期末考試5門功課的考試成績(jī)?nèi)绫?.16所示。要求采用標(biāo)準(zhǔn)化值，對(duì)某中學(xué)A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)。解根據(jù)式(4.31)，計(jì)算出A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分。表4.16某中學(xué)A、B兩位同學(xué)期末考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分計(jì)算表第108頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量例4.27某中學(xué)有A、B兩位同學(xué)期末考試5門功課的考試成績(jī)?nèi)绫?.16所示。要求采用標(biāo)準(zhǔn)化值，對(duì)某中學(xué)A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)。解根據(jù)式(4.31)，計(jì)算出A、B兩位同學(xué)考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分。表4.16某中學(xué)A、B兩位同學(xué)期末考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)化值總分計(jì)算表第109頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六【標(biāo)準(zhǔn)分】語(yǔ)文高考原始分成績(jī)比較集中，標(biāo)準(zhǔn)差在11——15之間而數(shù)學(xué)、外語(yǔ)的標(biāo)準(zhǔn)差一般是在20——30之間，也就是說(shuō)如果考生的語(yǔ)文原始分能多得11——15分，標(biāo)準(zhǔn)分就要增加100分，而外語(yǔ)或數(shù)學(xué)的原始分要多得20——30分，標(biāo)準(zhǔn)分才能增加100分。顯然，語(yǔ)文原始分更“值錢”，適當(dāng)重視語(yǔ)文科的學(xué)習(xí)，對(duì)于提高高考成績(jī)是相當(dāng)有效的。第110頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六【課后作業(yè)】搜集關(guān)于高考分?jǐn)?shù)由原始分到標(biāo)準(zhǔn)分的操作過(guò)程第111頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.3偏態(tài)和峰度的度量第112頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.3偏態(tài)和峰度的度量4.3.1偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)（Skewness）是指數(shù)據(jù)分布偏倚的方向和程度。偏態(tài)系數(shù)是度量數(shù)據(jù)分布偏離對(duì)稱分布的方向和程度的測(cè)度。偏態(tài)系數(shù)一般采用三階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差三次方的比值來(lái)度量數(shù)據(jù)分布的偏倚。有簡(jiǎn)單偏態(tài)系數(shù)計(jì)算公式為(4.33)加權(quán)偏態(tài)系數(shù)計(jì)算公式為(4.34)第113頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期六《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.3偏態(tài)和峰度的度量偏態(tài)系數(shù)采用標(biāo)準(zhǔn)差的三次方數(shù)值去除三階中心矩，消除三階中心矩在具體量綱和均值水平上的不可比性質(zhì)，構(gòu)造出一個(gè)具有廣泛可比性質(zhì)的度量數(shù)據(jù)分布的偏倚的方向和程度的綜合測(cè)度。圖4.4數(shù)據(jù)分布偏態(tài)的示意圖偏態(tài)系數(shù)的取值為0時(shí)，表示數(shù)據(jù)為完全的對(duì)稱分布；為負(fù)數(shù)時(shí)，表示數(shù)據(jù)為負(fù)偏態(tài)，或左偏態(tài)；偏態(tài)系數(shù)的取值為正數(shù)數(shù)時(shí)，表示數(shù)據(jù)為正偏態(tài)，或右偏態(tài)。偏態(tài)系數(shù)的絕對(duì)數(shù)值越小，表示數(shù)據(jù)偏倚的