文檔：空間向量在解題中的應(yīng)用

空間向量在解題中的應(yīng)用空間向量作為解決空間幾何問題的重要工具，以其獨特的數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)運算，使之得到廣泛的應(yīng)用。以向量的代數(shù)運算去解決立幾中的許多問題，是傳統(tǒng)方法無以比擬的，它避開了抽象的空間想象能力和作輔助線的困難。下面分類探討如何利用空間向量法解立體幾何問題。一、利用向量證明點共線或點共面問題立體幾何中的點共線或點共面問題，可用幾何的方法證明，也可用向量的方法證明。用向量的方法證明時不需要考慮添加輔助線的問題，僅用向量的代數(shù)運算即可得出結(jié)論。要證明點P與點A、B共線，只需證明，或證明對空間任一定點O，有即可。要證明點P與不共線的三點A、B、C共面，只需證明，或證明對空間任一定點O，有即可。例1如圖，已知平行六面體，E、F、G、H分別是棱、、、的中點。求證：E、F、G、H四點共面。分析：為了證明方便可選擇一組基向量，不妨取，，，求向量，或，或能用向量線性表示即可。證明：取，，，則所以與向量共面。即E、F、G、H四點共面。評注：利用向量證明三點共線、四點共面等問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x取基向量，另外在向量運算過程中一定要細心，否則容易出錯。二、利用向量解決平行與垂直關(guān)系問題平行與垂直關(guān)系是立體幾何中兩種重要的位置關(guān)系。它們都可以用向量的方法解決。以下用表示平面的法向量。1、直線與平面平行與垂直的判定(1)，(2).2、平面與平面平行與垂直（1）（2）例2如圖，已知正三棱柱，是的中點，求證：平面．分析：要證明立體幾何中的線與面平行只需通過證明線與平面內(nèi)某條線平行即可?；蜃C明線與平面的發(fā)向量垂直。證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，則，，．設(shè)平面的一個法向量為，則所以不妨令，則．由于，得．又平面，平面．評注：通過證明直線與平面的法向量垂直來證明直線與平面平行是常用的方法，當(dāng)直線與平面內(nèi)的某條直線平行不好找，且平面的法向量又容易求出時常常用這種方法。三、利用向量解決空間角問題空間角主要是直線和直線所成的角，直線和平面所成的角以及二面角。這些角用幾何的方法大部分都需要添加輔助線，比較難于解決。用向量則不需要添加輔助線，直接通過向量的代數(shù)運算即可得出結(jié)論。1、求異面直線的夾角設(shè)兩異面直線所成的角為分別是的方向向量，注意到異面直線所成角的范圍是，則有．特殊情形：,即異面直線a垂直于b。例3如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，求異面直線AC與BC1分析：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算，直接代入上面的公式即可求出結(jié)論。解：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖空間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)則，即AC與BC1的夾角為。評注：在本題中，建立空間直角坐標(biāo)系，得出點及線段向量的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵。例4已知正方形和矩形所在平面互相垂直，．試在線段上確定一點，使得與所成的角是．分析：本題是一個開放性問題，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點的坐標(biāo)，根據(jù)滿足的條件求出P點的坐標(biāo)。解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，得．又和所成的角是，．解得或（舍去），即點是的中點．評注：采用傳統(tǒng)的平移法求異面直線所成角的大小，免不了要作輔助線和幾何推理．這里運用向量法，沒有了這些手續(xù)，顯得便當(dāng)快捷．2、求直線與平面所成的角直線與平面所成的角即直線和它在平面內(nèi)的射影所成的角。直線a與平面所成的角為，為直線a的一個方向向量，是平面的法向量（如圖），易知：，特殊情形：當(dāng)，則直線a與平面垂直。例5如圖，在三棱椎P-ABC中，平面ABC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC、CP的中點，AB=AC=1，PA=2，求直線PA與平面DEF所成角的大小.分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算及公式可求直線和平面所成的角。解：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），，，設(shè)是平面DEF的一個法向量，則即，取x=1,則，設(shè)PA與平面DEF所成的角為，則評注：求線面角關(guān)鍵在于：找到平面的一個法向量，法向量與直線所在的向量夾角的互余的角，即為所求的角。3、求二面角的大小二面角是立體幾何中的重點，年年都考查。在求二面角時，若能作出二面角的平面角最好，若不好作出二面角的平面角，用純幾何的方法就不好解決，最好選用向量的方法來解決。如圖，設(shè)是兩相交平面α、β所成的平面角，是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，易知。特殊情形：當(dāng)時，平面垂直平面β。例6如圖，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分別是棱BC、的中點，求二面角的大小。分析：求二面角的大小，可通過求兩個平面的法向量的夾角得出結(jié)論。解：以A為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，易知各點坐標(biāo)A(0,0,0),B(,1,0)，B1(,1,0),E(0,2,1),則，設(shè)是平面的一個法向量，則，令則，，設(shè)是平面一個法向量，則，令則設(shè)二面角為，則評注：求二面角的關(guān)鍵在于找到兩個平面各自的一個法向量，這兩個法向量所夾的角的互補角即為所求的角。四、利用空間向量求距離空間中的距離主要有兩點間的距離，異面直線的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離，兩平行平面的距離等。其中兩點間的距離直接利用兩點間距離公式求解，異面直線的距離難度降低了，主要是求點到平面的距離。這些距離都可轉(zhuǎn)化為向量解決。1、異面直線間的距離如圖，d是異面直線a與b的距離，是直線a與b的一個法向量A、B分別是直線a,b上的點，顯然，又。例7如圖，正四棱錐的高，底邊長。求異面直線和之間的距離.ABCDABCDOS解：如圖，以正方形ABCD的中點O為坐標(biāo)原點，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。則A，B，C，D，S。，。令向量，且，則，，，，。異面直線和之間的距離為：。評注：求異面直線的距離，關(guān)鍵在于求出異面直線的一個公共法向量和與兩異面直線相交的線段的向量。2、求點到平面的距離如圖，我們易知：點A到平面的距離而，（其中是平面的一個法向量）。例8在三棱錐中，是邊長為4的正三角形，平面平面，，分別為的中點，求點到平面的距離．分析：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到平面的斜線段向量在平面法向量上射影的絕對值得到。解：取中點，連結(jié)，，，且．平面平面，平面平面，平面，．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，．設(shè)為平面的一個法向量，則不妨令，則，．點到平面的距離為．評注：求點到平面的距離，關(guān)鍵是找到平面的一個法向量及這點與平面內(nèi)一點構(gòu)成的向量。我們利用這公式，不僅可解決點到平面的距離，還可推廣到直線與平面的距離，平行平面間的距離問題：（1）若平面（其中是直線a的方向向量，是平面的法向量）；（2）平面平面(其中、分別為平面的法向量)。ACACBPEF例9如圖，已知邊長為的正三角形中，、分別為和的中點，面，且，設(shè)平面過且與平行。求與平面間的距離。分析：關(guān)鍵是求平面的法向量，在平面的法向量上射影的模即為所求，可應(yīng)用向量法或向量的坐標(biāo)運算。解：設(shè)、、的單位向量分別為、、，選取{，，}作為空間向量的一組基底。易知，===，設(shè)是平面的一個法向量，則，，即，直線與平面間的距離為=評注：當(dāng)直線與平面相交時，直線到平面的距離為0；當(dāng)直線與平面平行時，直線上任一點到到平面的距離都相等，都是直線到平面的距離。因此，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來解決。AAAA1DCBB1C1D1例10如圖，在棱長為的正方體中。求平面與平面間的距離。分析：求兩平行平面的法向量，然后求在法向量上射影的模即可。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個法向量，則，即，，平面與平面間的距離。評注：兩平行平面的距離等于其中一平面上任一點到另一平面的距離，所以兩平行平面的距離可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來解決。五、綜合問題例11在三棱錐中，是邊長為4的等邊三角形中，平面平面，為的中點。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值；（Ⅲ）求點到平面的距離。分析：通過分析知，是，以為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算得出結(jié)論。解：（Ⅰ）易知是，以為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，（Ⅱ）是平面的一個法向量，，則，即，取可得，設(shè)是平面的一個法向量