理論力學(xué)-動(dòng)力學(xué)-動(dòng)量矩定理

動(dòng)量矩定理第11章§1動(dòng)量矩一、動(dòng)量矩的定義及計(jì)算（一）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩1.對(duì)任意固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)的矩：lO§1動(dòng)量矩一、動(dòng)量矩的定義及計(jì)算（一）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩量綱：ML2/T單位：kg·m2/s2.對(duì)任意固定軸z的動(dòng)量矩：lOxyd（二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩Ⅰ質(zhì)系對(duì)任意固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi。質(zhì)系對(duì)任意固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)矩的矢量和。質(zhì)系對(duì)任意固定軸z的動(dòng)量矩：質(zhì)系對(duì)任意固定軸z的動(dòng)量矩為各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)軸z矩的代數(shù)和。（二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩Ⅰ設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi。Oi1.平移剛體對(duì)任意固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩：（二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩ⅠC平移剛體對(duì)任意固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于將剛體的動(dòng)量集中于質(zhì)心后，該動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O的矩。xyzO2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩設(shè)剛體以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)。miviMi其上任一質(zhì)點(diǎn)Mi的質(zhì)量為mi，速度為vi。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（慣性矩或慣矩）作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角速度的乘積。二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（附錄B）1.剛體對(duì)軸u的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量u稱為剛體對(duì)u軸的回轉(zhuǎn)半徑或慣性半徑。u設(shè)剛體上任一點(diǎn)Mi的質(zhì)量為mi，與軸u的距離為i，則：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為正標(biāo)量，取決于剛體質(zhì)量的分布。單位：kg·m2xyzyixii設(shè)平面薄板在xy面內(nèi)，求該板對(duì)x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（附錄B）1.剛體對(duì)軸u的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.簡單形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ⅰ積分法：m，Lm，ry2.簡單形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理：

剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz，等于剛體對(duì)于通過其質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積。改錯(cuò)題：剛體對(duì)任意兩個(gè)平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量間的關(guān)系亦如此。2.簡單形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ⅱ組合法（分割法、負(fù)面積法）：一均質(zhì)T型桿如圖示，求其對(duì)過O點(diǎn)的垂直于該平面的水平軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：OABm1,lm2,2l分割法薄板面密度，對(duì)稱挖去四個(gè)半徑均為R的圓孔，求剩余部分對(duì)x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：負(fù)面積法例1：均質(zhì)細(xì)長直桿長l，質(zhì)量m1，與質(zhì)量為m2,半徑為r，均質(zhì)圓盤固結(jié)。已知角速度為,試求對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。解：m1,rm2ωOm3例2：已知均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m1,半徑為r，角速度為,物塊的質(zhì)量分別為m2，m3，繩子與盤間無滑動(dòng),求系統(tǒng)對(duì)O的動(dòng)量矩。m2v2m3v3解：系統(tǒng)是在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩退化為代數(shù)量。三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩ⅡOCxyxy其中：三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩ⅡOC質(zhì)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于將質(zhì)系動(dòng)量集中于質(zhì)心對(duì)于O的動(dòng)量矩與其對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩的矢量和。xyxy注意：以質(zhì)系上其它點(diǎn)為基點(diǎn)，則質(zhì)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩不具備上述形式！例3：均質(zhì)桿OC質(zhì)量為m1，長為l，C端鉸接一半徑為r，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓輪,輪在圓弧槽內(nèi)純滾動(dòng)。圖示瞬時(shí)桿的角速度為，試求系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩。解：vcCOC§2動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的外力對(duì)同一點(diǎn)矩的矢量和。對(duì)固定軸動(dòng)量矩守恒：如力矩為零，則動(dòng)量矩為常矢量。始終在同一平面上§2動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的外力對(duì)同一軸矩的代數(shù)和。對(duì)固定點(diǎn)二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力對(duì)同一點(diǎn)矩的矢量和。這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對(duì)固定軸二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和。這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩在一段時(shí)間內(nèi)的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一時(shí)間內(nèi)對(duì)O點(diǎn)的沖量矩之和。這就是積分形式的動(dòng)量矩定理，也稱為沖量矩定理。例：為了求半徑為R重為W的飛輪對(duì)于通過其中心并垂直于輪面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可在飛輪上纏一細(xì)繩，繩下端系重物P，重物自h處落下（不計(jì)摩擦），測(cè)得重物下落的時(shí)間t，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。FOxFOyW解：v取整體為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析Mf假設(shè)Mf是常量例：為了求半徑為R重為W的飛輪對(duì)于通過其中心并垂直于輪面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可在飛輪上纏一細(xì)繩，繩下端系重物P，重物自h處落下（不計(jì)摩擦），測(cè)得重物下落的時(shí)間t，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取整體為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析FOxFOyWvMf另換一重物P1，重復(fù)試驗(yàn)，可得(h,t),與(1)聯(lián)立即可求解。（1）§3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程對(duì)于繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程代入上式，得：§3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例：試用實(shí)驗(yàn)與分析的方法確定圖示工件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(量測(cè)工具：表、稱、尺)過程：1.稱出重量，確定重心位置例：試用實(shí)驗(yàn)與分析的方法確定圖示工件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(量測(cè)工具：表、稱、尺)過程：2.分析復(fù)擺FOxFOyP微擺：令例：試用實(shí)驗(yàn)與分析的方法確定圖示工件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(量測(cè)工具：表、稱、尺)過程：3.測(cè)出周期TFOxFOyP例：直桿OA質(zhì)量為m，長為l，靜止于水平位置，試求:(1)當(dāng)繩子剪斷瞬間，桿的角加速度和O處支座反力。OAFOxFOymgaC解：二、對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定理：三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：xy一、對(duì)桿進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析；例：直桿OA質(zhì)量為m，長為l，靜止于水平位置，試求:(2)求轉(zhuǎn)過450時(shí)的角速度和角加速度。OAFOxFOymgOA解：二、對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定理：一、將桿放在一般位置；（1）（2）最后將＝450代入（1）、（2）即可。問題一：跳水運(yùn)動(dòng)員在空中屈體翻轉(zhuǎn)比直體翻轉(zhuǎn)能多轉(zhuǎn)一兩圈，你能用什么原理解釋之？問題二：跳水運(yùn)動(dòng)員的翻轉(zhuǎn)與冰舞運(yùn)動(dòng)員原地旋轉(zhuǎn)有何區(qū)別？你是否用了相同的原理解釋？問題三：是否有對(duì)動(dòng)點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩定理？討論§4相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程一、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理OCxyxy一、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理OCxyxy質(zhì)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)系的所有外力對(duì)質(zhì)心的矩之和，這就是質(zhì)系對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。

若作用于質(zhì)系的所有外力對(duì)質(zhì)心的矩之和恒為零，則質(zhì)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒?！?相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)隨質(zhì)心平移+相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：討論：一均質(zhì)桿置于光滑水平面上，初始靜止，C點(diǎn)為中點(diǎn)，在圖示各種受力情況下，桿分別作什么運(yùn)動(dòng)？CF(a)C(c)FFC(b)2FFa2aFFa3Fa平移繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)450ABC解：1.受力分析2.運(yùn)動(dòng)分析3.動(dòng)力學(xué)方程設(shè)定運(yùn)動(dòng)量FNmgABCaCxaCyα例7：質(zhì)量m、長度l的均質(zhì)桿初始時(shí)刻被光滑的水平面和繩索約束，平衡于圖示位置。現(xiàn)突然將繩索剪斷，試求剪斷后瞬時(shí)A處的約束反力。ABCaCxaCyα4.補(bǔ)充方程：運(yùn)動(dòng)量間的關(guān)系以A為基點(diǎn)向y方向投影aAatCAaAy例7：質(zhì)量m、長度l的均質(zhì)桿初始時(shí)刻被光滑的水平面和繩索約束，平衡于圖示位置?，F(xiàn)突然將繩索剪斷，試求剪斷后瞬時(shí)A處的約束反力。解：450ABCFNmg練習(xí)：均質(zhì)桿AB質(zhì)量m,長l,B處為固定鉸支座,A端被一個(gè)小環(huán)約束在半徑為r的固定半圓形軌道上,OA與水平線夾角45o,試求突然去掉B處支座瞬時(shí),AB桿的角加速度及A端受到的約束反力（不計(jì)摩擦）。ABOABOCmgFNaCxaCyaAaAABC450O練習(xí)：質(zhì)量m、長度2l的均質(zhì)桿被光滑的地面和繩索約束，從圖示位置由靜止開始運(yùn)動(dòng)。繩長l，與桿垂直。試求此時(shí)B處及繩索的約束反力。acxacyαABC450OacxacyαaAaAatCAFNBmgFAABC450OacxacyαaBaAaBatCB例8：質(zhì)量m、半徑r的均質(zhì)圓輪被常力FT拉動(dòng)在水平地面作純滾動(dòng)。試求圓心C的加速度和地面予圓輪的摩擦力。CFTFFNmg1.受力分析2.運(yùn)動(dòng)分析CaC設(shè)定運(yùn)動(dòng)量3.動(dòng)力學(xué)方程4.補(bǔ)充方程解得：解：問1：是否對(duì)任意大小的FT，圓輪均作純滾動(dòng)？問2：圓輪作純滾動(dòng)的條件是什么？問3：當(dāng)條件不滿足時(shí)，問題如何求解？CFTFFNmgCaC解：討論例8：質(zhì)量m、半徑r的均質(zhì)圓輪被常力FT拉動(dòng)在水平地面作純滾動(dòng)。試求圓心C的加速度和地面予圓輪的摩擦力。例9：質(zhì)量m、半徑r的均質(zhì)圓輪被常力FT拉動(dòng)在水平地面上運(yùn)動(dòng)。輪與地面間摩擦因數(shù)為fs。試求當(dāng)

FT>3mgfs

時(shí)，圓心C的加速度。得解：補(bǔ)充方程：CFTFFNmgCaC例10：質(zhì)量m、半徑r的均質(zhì)圓輪被常力FT拉動(dòng)在水平地面上運(yùn)動(dòng)。輪與地面間摩擦因數(shù)為fs。試求圓心C的加速度。解：補(bǔ)充方程：

假設(shè)純滾動(dòng)條件：否則連滾帶滑條件：CFTFFNmgCaC還有什么花樣？CFTCFTCFTC例8：質(zhì)量m、半徑r的均質(zhì)圓輪被常力FT拉動(dòng)在水平地面作純滾動(dòng)。試求圓心C的加速度和地面予圓輪的摩擦力。CFTFFNmgCaC解：當(dāng)剛體的速度瞬心I與質(zhì)心的間距始終保持不變時(shí)，可以取瞬心I為矩心，建立相對(duì)于瞬心的動(dòng)量矩定理：解：取整體為研究對(duì)象m1,rm2Om3ωm1,rm2Om3α例11：求圖示系統(tǒng)中輪的角加速度及O支座處的約束反力。代入動(dòng)量矩定理，得：建立質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：其中：方程可解。若分別取各部分為研究對(duì)象，該如何求解？并比較兩種解法。CBAD例12：均質(zhì)圓盤A、B重量分別為W1、W2，半徑分別為R，r，求B下落時(shí)質(zhì)心C的加速度。不計(jì)摩擦。vCBAW2

W1

FAxFAyTT′解：系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)量，只取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，求不出未知量。A輪：B輪：補(bǔ)充方程：

CDaCBaCatDCanDC以C為基點(diǎn)，分析B輪上D點(diǎn)加速度，得：θmgFN動(dòng)力學(xué)方程θatan運(yùn)動(dòng)微分方程與約束力有關(guān)的方程解：1.用牛頓定律解之例4：質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)從半徑為r的半圓形光滑軌道上與鉛