2022-2023學(xué)年河北省唐縣高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省唐縣高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合.現(xiàn)在從這三個(gè)集合中取出兩個(gè)集合,再?gòu)倪@兩個(gè)集合中各取出一個(gè)元素,組成一個(gè)含有兩個(gè)元素的集合,則一共可以組成集合的個(gè)數(shù)為()A．24 B．36 C．26 D．27【答案】C【分析】將所有情況分為三類：一類是從中各取一個(gè)元素，一類是從中各取一個(gè)元素，一類是從中各取一個(gè)元素，分別計(jì)算這三類的方法數(shù)再相加即可【詳解】所有情況分為三類：“從中各取一個(gè)元素”的方法數(shù)有種；“從中各取一個(gè)元素”的方法數(shù)有種；“從中各取一個(gè)元素”的方法數(shù)有種，由于三個(gè)集合的元素互不相同，故總的方法數(shù)有種，故選：C2．已知數(shù)列滿足，且，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)數(shù)列的關(guān)系式，利用累乘法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．【詳解】數(shù)列滿足，且，∴，，∴，，，，累乘可得：，可得：．故選：D﹒3．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的奇偶性得到，再計(jì)算切線得到答案.【詳解】依題意，，由導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，得，故，，所以，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A.4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由求和公式計(jì)算．【詳解】，時(shí)，，相減得，∴，又，，所以從第二項(xiàng)項(xiàng)開始成等比數(shù)列，時(shí)，，，故選：D．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”章中有一道“兩鼠穿墻”問題：有厚墻5尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，問兩鼠在第幾天相遇？A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天【答案】B【分析】用列舉法求得前幾天挖的尺寸，由此求得第幾天相遇.【詳解】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故兩鼠相遇在第天.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)問題，考查等比數(shù)列的概念，屬于基礎(chǔ)題.6．如圖，在由開關(guān)組與組成的電路中，閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有（

）種A． B． C． D．【答案】D【分析】按組開關(guān)閉合的個(gè)數(shù)分類即可求解【詳解】分兩類,每類中分兩步.第一類:第步:組開關(guān)閉合一個(gè),有種閉法,第步:組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法.此時(shí)共種閉法.第二類:第步:組開關(guān)閉合個(gè),共種閉法,第步:組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法.此時(shí)共種閉法.綜上,共種閉法.故選：D7．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意令，進(jìn)而根據(jù)題意得在上單調(diào)遞減，故，進(jìn)而得答案.【詳解】解：因?yàn)闈M足，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.所以.故選：A二、多選題8．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有2個(gè)零點(diǎn)C．不存在最小值D．不等式對(duì)恒成立【答案】ABD【分析】對(duì)A，由導(dǎo)數(shù)法可得有兩個(gè)極值點(diǎn)；對(duì)B，由導(dǎo)數(shù)法可得的單調(diào)性，以及即可判斷；對(duì)C，由的單調(diào)性及極小值可判斷最小值；對(duì)D，原命題等價(jià)于對(duì)恒成立，令，由導(dǎo)數(shù)法得最小值，即可判斷.【詳解】，由得，故當(dāng)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減.對(duì)A，由得，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)B，，又當(dāng)，，結(jié)合單調(diào)性可知，有2個(gè)零點(diǎn)，B對(duì)；對(duì)C，由的單調(diào)性得，在取得極小值，又當(dāng)，，故在取得最小值，C錯(cuò)；對(duì)D，當(dāng)，，即，即，即，故原命題等價(jià)于不等式對(duì)恒成立，令，則，故在單調(diào)遞減，故，故D對(duì).故選：ABD9．已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和，則（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的公差為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前20項(xiàng)和為【答案】BCD【分析】通過基本量計(jì)算得和d，可判斷ABC；用裂項(xiàng)相消法求和可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為由題知，，解得，則，，故A錯(cuò)，BC正確；記的前n項(xiàng)和為，因?yàn)椋运?，故D正確.故選：BCD10．（多選題）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（

）A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種【答案】AC【分析】根據(jù)題意，利用分步計(jì)數(shù)原理分析選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若存在，使得．則稱ξ為函數(shù)f（x）在[a,b]上的“中值點(diǎn)”．下列函數(shù)，其中在區(qū)間上至少有兩個(gè)“中值點(diǎn)”的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】求出，逐項(xiàng)判斷方程在上的根的個(gè)數(shù)，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，由，所以，，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：由圖可知，直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，A選項(xiàng)滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，，，由，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故方程在上不可能有兩個(gè)根，B不滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，，，由，可得，解得，故函數(shù)在上只有一個(gè)“中值點(diǎn)”，C選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，，，由，可得，故函數(shù)在上有兩個(gè)“中值點(diǎn)”，D滿足條件.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合思想、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題12．觀察下面的數(shù)陣，第20行最左邊的數(shù)是_____________.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25……

……

……

……

……【答案】362【分析】由已知得，數(shù)陣中的數(shù)字依次構(gòu)成了一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.計(jì)算前19行的個(gè)數(shù)即可得出第20行最左邊的數(shù)，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列即可求出結(jié)果.【詳解】由已知可得，數(shù)陣所有的數(shù)依次構(gòu)成了一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，且第行有個(gè)數(shù).設(shè)數(shù)列為，，.所有，前行共有個(gè)數(shù).所有，第20行最左邊的數(shù)是第個(gè)數(shù)，即為數(shù)列中的第362項(xiàng)，.故答案為：362.13．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，則______.【答案】3【分析】求出，根據(jù)即可求解.【詳解】由已知得，因?yàn)?，所?故答案為：3.14．已知直線方程，若從、、、、、這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為、的值，則可表示______條不同的直線．【答案】【分析】分三類討論：①；②；③.分別求出三種情況下，方程所表示的直線條數(shù)，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，可表示條直線；當(dāng)時(shí)，可表示條直線；當(dāng)時(shí)，有種選法，有種選法，可表示條不同的直線．由分類加法計(jì)數(shù)原理，知共可表示條不同的直線．故答案為：.15．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，為奇函數(shù)，且則不等式的解集為__________．【答案】【分析】設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可得單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性即可求解．【詳解】設(shè)，則，故單調(diào)遞減．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，故．可轉(zhuǎn)化為，即．因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，解得．故答案為：．四、解答題16．已知等比數(shù)列的公比為,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)的前項(xiàng)和為,且,求的值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)的值是.【解析】（I）利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，并轉(zhuǎn)成的形式，解方程求得的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，令解方程，求得的值.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)闉楣葹榈牡缺葦?shù)列,所以,,,依題意得,即,整理得,解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)依題意,.所以,整理得,

解得所以的值是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的計(jì)算，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的求法，考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.17．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可，（2）對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)后可得在區(qū)間上遞增，再由可分析得在上單減，在上單增，從而可求出函數(shù)的最值【詳解】（1）由，得，，，函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)，，在區(qū)間上遞增，又，所以，當(dāng)，，所以在上單減，當(dāng)，，所以在上單增.所以，因?yàn)椋?，所以，令，則，，所以在上遞增，因?yàn)?，所以在上遞增，所以，所以所以.18．問題：設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.下列三個(gè)條件：①成等比數(shù)列；②；③.從上述三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中，并解答.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）選①②③分別與組成方程組，解出首項(xiàng)與公差即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可得證.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.選條件①：∵S3＝6，a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選條件②：∵S3＝6，S4＝5a2，∴，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選條件③：∵S3＝6，（n+1）an＝nan+1，∴，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）證明：∵＝，∴+…+＝＝.19．已知函數(shù)(1)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若在恒成立，求的最小值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的解，利用判別式大于零求解即可；（2）在恒成立，即，轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用導(dǎo)數(shù)即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的解，所以，解得或（2）在恒成立，即恒成立，令，則因?yàn)?，設(shè)，在上都遞減，所以在上遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上遞減，所以，所以，即20．已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，．(1)證明是等比數(shù)列(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由得，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）計(jì)算，的通項(xiàng)公式，用分組求和與錯(cuò)位相減法求和求的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由知，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，所以，所以，

，令，，兩式相減，得，所以，.21．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；(3)方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)最大值19，最小值是(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f'（﹣1），得到關(guān)于a的方程，求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；（