2022-2023學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)集合即得解.【詳解】由題得，所以.故選：B2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值，從充分性和必要性進(jìn)行分析，即可判斷和選擇.【詳解】取，滿足，但不滿足，故充分性不滿足；當(dāng)，根據(jù)不等式性質(zhì)，則，故滿足必要性；綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的取值范圍求得的范圍，即得所求【詳解】因?yàn)?，所以，所以的定義域?yàn)楣蔬x：A.4．某同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)，分別給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)的值域是C．函數(shù)在R上是增函數(shù) D．方程有實(shí)根【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，，故是偶函數(shù)，，不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，而是偶函數(shù)，的值域是，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，而是偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即，解得，故D正確，故選：D5．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)每一段的單調(diào)性及端點(diǎn)值判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解抽象不等式即可.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為：.故選：A.6．已知函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的值域?yàn)榱胁坏仁剑纱饲蟮玫娜≈捣秶?【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，即為，需滿足，解得.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B7．已知函數(shù)則下述關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減求解.【詳解】解：∵，∴f（x）為偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴.∵，∴，故選：A.8．已知，函數(shù)在上存在最值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的最值點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)不等式得到，由的取值范圍即可求解.【詳解】當(dāng)取最值時(shí)，．即，由題知，故．即．因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，；顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上必有最值點(diǎn)．綜上，所求．故選:D．二、多選題9．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則（

）A．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) B．的最小正周期是C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的平移變換可得的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的奇偶性、周期、對(duì)稱(chēng)性以及單調(diào)性一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則,該函數(shù)不是偶函數(shù)，最小正周期為，則A錯(cuò)誤，B正確.令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則C正確.令，，解得，，當(dāng)時(shí)，即得在上單調(diào)遞減，則D正確.故選：BCD.10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若不等式的解集為，則B．若命題，則的否定為C．在中，“”是“”的充要條件D．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判斷A；由全稱(chēng)量詞命題的否定可判斷B；由充要條件的判斷可判斷C；變?cè)D(zhuǎn)化為一次函數(shù)恒成立可判斷D【詳解】對(duì)于A：不等式的解集為，則和是方程的兩個(gè)根，故，解得，所以，故A正確；對(duì)于B：命題，則的否定為，故B正確；對(duì)于C：由可得，所以，又，所以或，所以“”不是“”的充要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，由對(duì)恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故D正確；故選：ABD11．下列說(shuō)法正確的是（

）A．如果是第一象限的角，則是第四象限的角B．如果，是第一象限的角，且，則C．若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形面積為D．若圓心角為的扇形的弦長(zhǎng)為，則該扇形弧長(zhǎng)為【答案】AD【分析】由象限角的概念判斷A；舉反例判斷B；由扇形弧長(zhǎng)、面積公式計(jì)算判斷C，D作答.【詳解】對(duì)于A，是第一象限的角，即，則，是第四象限的角，A正確；對(duì)于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正確；對(duì)于C，設(shè)扇形所在圓半徑為r，則有，解得，扇形面積，C不正確；對(duì)于D，設(shè)圓心角為的扇形所在圓半徑為，依題意，，扇形弧長(zhǎng)，D正確.故選：AD12．已知函數(shù)，，，有，則實(shí)數(shù)a的可能取值是（

）A． B．1 C． D．3【答案】CD【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，時(shí)，，然后分別求出兩函數(shù)的最小值，從而可求出a的取值范圍，進(jìn)而可得答案【詳解】，有等價(jià)于當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．的圖象開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，∴當(dāng)時(shí)，，∴，解得．故選：CD．三、填空題13．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.【答案】【分析】先得到使函數(shù)有意義的關(guān)系式，求解即可.【詳解】若使函數(shù)有意義，需滿足：，解得；故答案為：14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】【分析】先求得函數(shù)的定義域，結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，解得，又由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)為，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：.15．已知是第四象限角，且，則___________.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)目標(biāo)式求值即可.【詳解】由題設(shè)，，.故答案為：16．命題“對(duì)任意的，總存在唯一的，使得”成立的充要條件是______.【答案】【分析】方程變形為，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)，，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合，求解a的范圍即可【詳解】由得：；當(dāng)時(shí)，，則，解得：,∵，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，；若存在唯一的，使得成立，則與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中作出在上的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得：，則；當(dāng)時(shí)，,結(jié)合圖象可得：，解得：，則；綜上所述：原命題成立的充要條件為，故答案為：-1<a<1.四、解答題17．設(shè)集合，.(1)若，求a的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出集合，根據(jù)，即可得出，從而即得；（2）由題可知，然后分類(lèi)討論，從而得出實(shí)數(shù)組成的集合．【詳解】（1）由，解得或，所以，因?yàn)?，所以，則，所以；（2）因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得集合.18．已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用換元法令，列不等式先解出的范圍，再解出的范圍即可；（2）利用（1）中的換元，先得到的范圍，再根據(jù)的范圍求值域即可.【詳解】（1）令，，可整理為，則即，解得，所以，解得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且?dāng)，有最小值；當(dāng)或3時(shí)，有最大值4；所以的值域?yàn)?19．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)的值．【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先確定取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值及其對(duì)應(yīng)自變量.【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期為，由的單調(diào)增區(qū)間是可得，解得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）設(shè)，則，由在上的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，即，；當(dāng)時(shí)，即，．【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)，（1）求的值．（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明；（3）若對(duì)于任意不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）減函數(shù)；（3）【詳解】試題分析：（1）可利用如果奇函數(shù)在處有意義，一定滿足，代入即可解得；（2）用單調(diào)性定義證明，特別注意“變形”這一步中，需通過(guò)通分、分解因式等手段，達(dá)到能判斷差式的符號(hào)的目的；（3）含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，我們往往可以采用分離參數(shù)的辦法，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而求得參數(shù)的取值范圍．試題解析：（1）因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，則即所以又成立，所以（2）證明：設(shè)，因?yàn)?，所以，故所以是R上的減函數(shù)且為奇函數(shù)（3）由于是R上的減函數(shù)且為奇函數(shù)故不等式可化為所以即恒成立所以，即的取值范圍為21．某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分．根據(jù)專(zhuān)家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于80時(shí)學(xué)習(xí)效果最佳．（1）試求的函數(shù)關(guān)系式；（2）教師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）【詳解】【解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，將(14，81)代入，得于是（2）解不等式組得解不等式組得故當(dāng)時(shí)，，答：老師在時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳．22．若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立，則稱(chēng)該函數(shù)為“圓滿函數(shù)”.已知函數(shù)；（1）判斷函數(shù)是否為“圓滿函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)，證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】（1）不是“圓滿函數(shù)”，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）取特殊值，代入“圓滿函數(shù)”的定義，判斷是否有實(shí)數(shù)能滿足；（2）當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理討論存在零點(diǎn)，以及當(dāng)時(shí)，證明在上沒(méi)有零點(diǎn)，再化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為證明不等式.【詳解】解：（1）若是“圓滿函數(shù)”.取，存在，使得，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圓滿