2023屆湘豫名校聯(lián)考高三年級下冊學期2月入學摸底考試數(shù)學（理）試題【含答案】

2023屆湘豫名校聯(lián)考高三下學期2月入學摸底考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得集合，根據(jù)集合的交集運算即可得答案.【詳解】由題意得，集合，，故，故選：B.2．復數(shù)的共軛復數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念可得結果.【詳解】因為，所以復數(shù)的共軛復數(shù)是.故選：A.3．2022年秋，某京劇演員因疫情原因無法演出，在短視頻平臺開設自己的賬號，不斷直播京劇知識.初始直播時已有50名粉絲，經(jīng)過x天后，粉絲人數(shù)滿足關系式：，其中M，k為常數(shù)，若開播10天后有200名粉絲，則開播30天后預計該京劇演員在平臺上的粉絲數(shù)量為（

）A．600 B．800 C．3200 D．3400【答案】C【分析】先根據(jù)題目中條件求出和，得的解析式，然后可求出的值即可得解.【詳解】根據(jù)題意，得解得故.當時，.所以開播30天后預計該京劇演員在平臺上的粉絲數(shù)量為.故選：C.4．函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，有特殊點的函數(shù)值排除BD，選出正確答案.【詳解】定義域為R，且，所以為偶函數(shù)，排除C；令，得，排除B；因為，排除D，A符合要求，.故選：A.5．河南一國家級濕地，以其獨特的地理環(huán)境和良好的生態(tài)環(huán)境，吸引了全國近三分之一的鳥種在此繁衍生息，成了鳥類自然保護區(qū).天鵝戲水、白鷺覓食，形成了一幅群鳥嬉戲的生態(tài)美景.該保護區(qū)新建一個橢球形狀的觀鳥臺，橢球的一部分豎直埋于地下，其外觀的三視圖（單位：米）如下，正視圖中橢圓（部分）的長軸長為16米，則該橢球形狀觀鳥臺的最高處到地面的垂直高度為（

）A．8米 B．10米 C．12米 D．16米【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，【詳解】如圖，以長軸中點為坐標原點，長軸為軸，垂直長軸為軸，建立平面直角坐標系，設正視圖的橢圓（部分）對應的標準方程為，結合題意及三視圖可得:，所以橢圓（部分）對應的標準方程為，將點代入，可得.故該橢球形狀觀鳥臺的最高處到地面的垂直高度為（米）.故選：C.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k的值為1，則輸出n的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】按照程序框圖運行，當時，結束循環(huán)，輸出.【詳解】輸入，第一次循環(huán)：，，；第二次循環(huán)：，，；第三次循環(huán)：，，；第四次循環(huán)：，結束循環(huán)，此時，.所以輸出.故選：B.7．若一個數(shù)列的后項與其相鄰的前項的差值構成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23，…，設此數(shù)列為，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二階等差數(shù)列的定義，結合累加法求得，利用裂項求和法求得.【詳解】由題可知，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.所以.所以.所以.故，所以數(shù)列的前項和.故選：D8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線與雙曲線C交于A，B兩點（點A在第二象限），且.則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線斜率可得傾斜角，作焦點三角形，利用余弦定理，結合雙曲線的定義，可得答案.【詳解】因為，所以.因為，所以.所以.根據(jù)余弦定理，得，.所以.故雙曲線的離心率為.故選：A.9．某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，以單次最大續(xù)航里程500公里為標準進行測試，且每輛汽車是否達到標準相互獨立，設每輛新能源汽車達到標準的概率為p（），當100輛汽車中恰有80輛達到標準時的概率取最大值時，若預測該款新能源汽車的單次最大續(xù)航里程為X，且，則預測這款汽車的單次最大續(xù)航里程不低于600公里的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8【答案】A【分析】100輛汽車中恰有80輛達到標準時的概率為，，求導判斷單調性，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可求解.【詳解】設100輛汽車中恰有80輛達到標準時的概率為，則，則.當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減.所以在處取得最大值.所以.故選：A10．在中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點D，且，則周長的最小值為（

）A．7 B． C． D．4【答案】C【分析】先利用面積相等與三角形面積公式，結合正弦的倍角公式求得，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到的關系式，從而利用基本不等式求得，由此得解.【詳解】由題可得，，即，又，所以，則，因為，所以，則，所以，即，又因為，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，當且僅當時，等號成立，則，故周長的最小值為.故選：C..11．某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4，上底面的直徑為8，已知為上底面的直徑，點P是上底面圓周上一點，且，是該圓臺的一條母線，且，則與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：根據(jù)題意求出，圓臺的高，，從而利用等體積法求得點到平面的距離為，從而由可得答案；方法二：先利用線面垂直的判定定理證得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面，從而得到與平面所成的角即為，再由三角形三線合一得到，由此得解.【詳解】方法一：由題可得，因為，所以，由題意可得圓臺的高，則，所以，因為，所以，設點到平面的距離為，則，解得，故與平面所成的角的正弦值為.故選：D.方法二：如圖，設為上底面的圓心，因為，所以，設為下底面的圓心，所以，因為，平面，所以平面.因為，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因為平面平面，所以在平面的射影為，則與平面所成的角即為，過點作于點，因為，，所以，則，因為，所以，故，所以.故選：D..12．設函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，利用導數(shù)研究其單調性、極值，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，結合圖像可得答案.【詳解】設，則，，，令，得；令，得或，故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.所以，，設，則.令，得.在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，聯(lián)立消去得，化簡得.整理得，解得或或.若數(shù)的值域為，由數(shù)形結合易知.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：設，，利用這兩個函數(shù)的圖象求解是解題關鍵.二、填空題13．已知，，且，則的最大值是_____.【答案】4【分析】根據(jù)均值不等式，即可求得答案.【詳解】因為，，所以由基本不等式得,所以，得，所以，當且僅當即，時取等號,所以的最大值是4,故答案為：414．在的展開式中的系數(shù)為_____．【答案】15【分析】依題意可得，再寫出展開式的通項，從而求出的系數(shù)．【詳解】因為，且的展開式為，故的系數(shù)為．故答案為：15．15．已知函數(shù)，若，，，則的值為_____.【答案】【分析】根據(jù)輔助角公式得到，求出，從而得到，，結合誘導公式，同角三角函數(shù)關系及正切二倍角公式求出答案.【詳解】根據(jù)題意，.因為，，，所以，所以，.所以，，所以.故.故答案為：16．已知實數(shù)，函數(shù)，.若方程在上有且僅有4個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【分析】方法一：由得到在上有且僅有4個實數(shù)根，構造，求導得到其單調性，再求出相應的極值，比較大小后得到實數(shù)的取值范圍；方法二：轉化為在上有且僅有4個實數(shù)根，設，，由，消去得，畫出兩個函數(shù)的圖像，找到兩個恰好不成立的臨界位置，分別為和，求出此時對應的的值，數(shù)形結合求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】方法一：因為，，所以由，得.所以方程在上有且僅有4個實數(shù)根.因為，所以.令，則.令，即，所以，，所以的單調遞增區(qū)間為，，，令可得：的單調遞減區(qū)間為，.因為，所以.因為，，，易知，所以，即.方法二：由題可得，方程，即在上有且僅有4個實數(shù)根.設，，則函數(shù)與的圖象有且僅有4個交點.如圖為兩個恰好不成立的臨界位置.設函數(shù)與相切于點，又，，所以，消去得.因為，，所以，，所以，.由圖觀察知兩種臨界位置分別為時，；時，.此兩種情況對應的值分別為，，所以.故答案為：【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結合法，將不等式轉化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.三、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析，，(2)，【分析】（1）根據(jù)條件以及等比數(shù)列的定義求出的通項公式，在根據(jù)其通項公式的代數(shù)式結構推導；（2）根據(jù)（1）求得的通項公式推出的通項公式，再運用錯位相減法求和.【詳解】（1）因為，所以，因為，，所以，，，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，即，，經(jīng)檢驗也成立，整理可得，，由于，…，；（2）由（1）知，，又，，，當時，…①，…②，-②得：，，又時，也滿足上式，所以，；綜上，，，.18．抖音（TikTok）是由今日頭條推出的一款短視頻分享APP，于2016年9月上線，是一個專注于年輕人音樂短視頻創(chuàng)作分享的社區(qū)平臺.抖音的出現(xiàn)是一把雙刃劍，可以鼓勵人們表達、溝通和記錄，讓每一個人看見并連接更大的世界，但同時也出現(xiàn)部分網(wǎng)民長時間沉迷刷抖音的現(xiàn)象，長時間刷抖音會影響用眼健康.為了解網(wǎng)民刷抖音的情況，某研究小組從抖音用戶中隨機抽取100人，對其平均每天刷抖普的時長進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計表如下：平均每天刷抖音的時長不大于1小時大于1小時且小于3小時不少于3小時人數(shù)（男）20256人數(shù)（女）201514該研究小組按照用戶平均每天刷抖音時長將沉迷刷抖音程度分為重度、中度、輕度、若某人平均每天刷抖音的時長不少于3小時則稱為“重度沉迷”；平均每天刷抖音的時長大于1小時且小于3小時，叫稱為“中度沉迷”；平均每天刷抖音的時長不大于1小時，則稱為“輕度沉迷”.(1)根據(jù)調查數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)數(shù)據(jù)判斷是否有95%的把握認為性別與是否為“重度沉迷”刷抖音有關系？非“重度沉迷”“重度沉迷”合計人數(shù)（男）人數(shù)（女）合計(2)該研究小組為鼓勵用戶適度刷抖音，從這100名研究對象中按分層抽樣的方式隨機抽取20位，分別給與“重度沉迷”“中度沉迷”和“輕度沉迷”的抖音用戶50元、100元、150元的購書券獎勵.現(xiàn)從這20位抖音用戶中隨機抽取兩人，求這兩人所獲得購書券總和X的分布列和期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有95%的把握認為性別與是否為“重度沉迷”刷抖音有關系(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖表分析可得列聯(lián)表，計算，對照臨界值表可得結論；（2）根據(jù)分層抽樣計算出抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”與“輕度沉迷”的抖音用戶人數(shù)，求出的所有可能取值及其概率，可得分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）由圖表可知，非“重度沉迷”的抖音用戶男性有：（人），“重度沉迷”的抖音用戶男性有：6人；非“重度沉迷”的抖音用戶女性有：（人），“重度沉迷”的抖音用戶女性有：14人填寫列聯(lián)表如下：非“重度沉迷”“重度沉迷”合計人數(shù)（男）45651人數(shù)（女）351449合計8020100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算可得，因此有95%的把握認為性別與是否為“重度沉迷”刷抖音有關系.（2）由表可知：“重度沉迷”的抖音用戶有（人），“中度沉迷”的抖音用戶有（人），“輕度沉迷”的抖音用戶有（人）.抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”與“輕度沉迷”的抖音用戶分別有（人），（人），（人），X的所有可能取值為100，150，200，250，300，則；；；；.所以X的分布列為：X100150200250300P故購書券總和的數(shù)學期望為.19．如圖，四邊形是菱形，，平面，，，設，連接，交于點，連接，.(1)試問是否存在實數(shù)，使得平面?若存在，請求出的值，并寫出求解過程；若不存在，請說明理由.(2)當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）依題意，可得平面，過點作于點，則四邊形為矩形，設，求出，，，欲使平面，只需，再列方程求解即可；（2）建立空間直角坐標系利用向量法求解.【詳解】（1）存在，且，理由如下：因為四邊形為菱形，所以，與互相垂直且平分，因為，所以，所以三角形是等邊三角形.因為平面，平面，平面，所以，，因為，平面，平面，所以平面.又平面，所以.過點作于點，易得四邊形為矩形，設，則，，因為，所以，所以，，.欲使平面，只需，即，所以，解得.所以存在實數(shù)，使得平面，且.（2）如圖，以為原點，邊上的垂直平分線所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，所以，解得，令，則平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，所以，解得，令，則平面的一個法向量為.設銳二面角的平面角為，則.故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20．已知拋物線與橢圓存在相同的焦點，第一象限內(nèi)曲線上的一點到其焦點的距離為2，直線與相交于兩點（不與點重合），直線，關于直線對稱.(1)求證：直線的斜率為定值；(2)若橢圓上存在不同的兩點關于直線對稱，求原點到直線距離的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由橢圓的方程求得焦點坐標，從而由焦點相同求得拋物線的方程，再利用拋物線的定義求得點，從而假設直線，的方程，分別與拋物線的方程聯(lián)立的坐標，由此利用直線的斜率公式即可得證；（2）方法一：根據(jù)題意假設直線與的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得，，，從而得到，進而得到的范圍，由此利用點線距離公式即可得解；方法二：利用點差法求得，進而求得，，再利用點在橢圓內(nèi)求得的范圍，由此利用點線距離公式即可得解；【詳解】（1）因為橢圓，所以橢圓的焦點坐標分別為，，又拋物線與橢圓存在相同的焦點，所以，，故拋物線的方程為，因為第一象限內(nèi)曲線上的一點到其焦點的距離為2，曲線的準線為，所以根據(jù)拋物線的定義得，所以，則，故（負值舍去），則，因為直線，關于直線，即對稱，所以兩直線的斜率之和為0，設直線，的方程分別為和（，且存在），聯(lián)立方程，消去，得，則由，解得，設，，則，，所以代入，得點的坐標為，同理可得點的坐標為，所以，即直線的斜率為定值.（2）方法一：依題意，設橢圓上關于直線對稱的兩點為，，的中點為，直線的方程為，即，直線的方程為.聯(lián)立方程，消去，得，則由，解得，且，故，，代入，可得，所以，所以，因為原點到直線的距離為，又，所以，故，即，所以原點到直線的距離的取值范圍是.方法二：依題意，設橢圓上關于直線對稱的兩點為，，的中點為，因為，，所以，又，，兩式相減，得，所以，即①，設直線的方程為，則②，由①②可得，，，又因為點在橢圓內(nèi)，所以，所以，所以原點到直線的距離，所以原點到直線的距離的取值范圍為.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線位置關系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達定理解決相應關系，其中的計算量往往較大，需要反復練習，做到胸有成竹.21．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)切點和斜率求得切線方程.（2）由分離常數(shù)，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)以及圖象求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以.所以曲線在點處的切線的斜率為.又，故曲線在點處的切線方程是，即.（2），函數(shù)有兩個零點等價于方程有兩個不相同的實數(shù)根.因為不是該方程的實數(shù)根，所以令（且），則直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點.因為.令，得或.當時，；當時，；當時，，所以在，上單調遞增，在，上單調遞減.又當時，，所以，又，，，，，當時，，，，由此畫出的大致圖象如圖所示，所以由圖可得，當或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即函數(shù)有兩個零