2022-2023學(xué)年湖北省紅安縣高二年級下冊學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 解析版

紅安一中2023年3月份高二數(shù)學(xué)考試卷一、單選題1．設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．02．已知，若方程有99個實數(shù)根，則的值為（

）A．5050 B．1 C．0 D．1003．已知一個圓柱形空杯，其底面直徑為，高為，現(xiàn)向杯中注入溶液，已知注入溶液的體積（單位：）關(guān)于時間（單位：）的函數(shù)為，不考慮注液過程中溶液的流失，則當(dāng)時杯中溶液上升高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足：.則的前60項的和為（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．27605．如果自然數(shù)是一個三位數(shù)，而且十位與個位、百位的差的絕對值均不超過1，我們就把自然數(shù)叫做“集中數(shù)”．那么，“集中數(shù)”一共有（

）個．A．65 B．70 C．75 D．806．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)有三個不同的零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知是離最近的整數(shù)，則數(shù)列的前2021項和是（

）A．60544 B．60585 C．60612 D．60625二、多選題9．已知橢圓E：，，分別為它的左右焦點，A，B分別為它的左右頂點，點是橢圓上異于A，B的一個動點．下列結(jié)論中，正確的有（

）A．橢圓的長軸長為8B．滿足的面積為4的點恰有2個C．的的最大值為16D．直線與直線斜率乘積為定值10．已知數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．為奇數(shù)時，11．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．當(dāng)時， B．，都有C．的解集為 D．的單調(diào)遞增區(qū)間是，12．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．是的極小值點B．有三個零點C．曲線與直線只有一個公共點D．函數(shù)為奇函數(shù)三、填空題13．已知集合，集合，則以集合為定義城，集合為值域的函數(shù)的個數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）14．如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.15．已知函數(shù)所有滿足的點中，有且只有一個在圓C上，則圓C的方程可以是__________.（寫出一個滿足條件的圓的方程即可）16．對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)p的取值范圍為______．四、解答題17．用0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)能被5整除的概率；(2)是偶數(shù)的概率；(3)千位大于百位大于十位大于個位的概率．18．已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)，都有．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求的最大值．19．某家具制造公司，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的名貴木板裁制成一個矩形桌面板，已知，，且米，曲線段是以點為頂點且開口向上的拋物線的一段，如果要使矩形桌面板的相鄰兩邊分別落在、上，且一個頂點落在曲線段上，問應(yīng)如何精準(zhǔn)設(shè)計才能使矩形桌面板的面積最大？并求出最大的面積．20．已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記為數(shù)列的前n項和，證明：．21．已知雙曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標(biāo)原點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：1．D【詳解】因為為常數(shù)，所以.故選：D.2．C【詳解】根據(jù)題意，有．故選：C.3．B【詳解】由題意杯子的底面面積，則杯中溶液上升高度，則，當(dāng)時，，即當(dāng)時杯中溶液上升高度的瞬時變化率為.故選：B.4．D【詳解】由，故，，，，….故，，，….從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于3；，，，….從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以13為首項，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D.5．C【詳解】解：自然數(shù)是一個三位數(shù)，而且十位與個位、百位的差的絕對值均不超過1，我們就把自然數(shù)叫做“集中數(shù)”．則3個數(shù)，相等或相鄰，十位數(shù)為0時，有100，或101，共2個；十位數(shù)為1時，有110，111，112，210，211，212共6個；十位數(shù)為2時，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9個；十位數(shù)為3，4，5，6，7，8時，與十位數(shù)是2時，相同各有9個；十位數(shù)為9時，有，899，898，998，999共4個．綜上共有：個．故選：．6．A【詳解】.設(shè)，則有，單調(diào)遞減，從而，所以，故，即，而，故有．故選：A．7．D【詳解】如圖，由有三個不同的零點，可得有三個不同的零點，畫出函數(shù)的圖象，直線過定點，當(dāng)時，設(shè)過的直線與的切點為,，由，得，，故切線方程為，把定點代入得：，即．，即直線的斜率為．則使有三個不同的零點的的取值范圍是．故選：D8．B【詳解】顯然，其中，因此，因此取值為k的項有個，考慮到，于是數(shù)列的前2021項和．故選：B.9．AC【詳解】由橢圓方程可得：.對于，因為橢圓的長軸長，故選項正確；對于，因為，則，，所以，所以這樣的點不存在，故選項錯誤；對于，由橢圓的定義可得：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，則，所以的的最大值為，故選項正確；對于，設(shè)點，則，則有，又因為，所以，故選項錯誤，故選：.10．AC【詳解】對于A，因為，所以，則，故A正確；對于B，因為，，所以不是等差數(shù)列，故B錯誤；對于C，因為，所以，兩式相減，得，所以為等差數(shù)列，故C正確；對于D，因為，所以，兩式相減，得，所以數(shù)列的奇數(shù)項為等差數(shù)列，公差為，又由選項C知，的偶數(shù)項也為等差數(shù)列，公差為，，當(dāng)為奇數(shù)時，，故D錯誤.11．BD【詳解】對于A，當(dāng)時，，則，函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，則，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則，綜上，當(dāng)時，，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，，故B正確；對于C，由B可知，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，綜上，不等式，其解集為，故C錯誤；對于D，由B可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.12．ABC【詳解】由函數(shù)，則求導(dǎo)可得，令，解得或，可得下表：極大值極小值則是的極小值點，故A正確；，，由，，顯然函數(shù)在分別存在一個零點，即函數(shù)存在三個零點，故B正確；聯(lián)立，消去可得，化簡可得，則該方程組存在唯一實根，故C正確；令，，故D錯誤.故選：ABC.13．【詳解】分以下兩種情況討論：①集合中的元素分三組為{3,1,1}與集合B分別對應(yīng)時，滿足條件的函數(shù)個數(shù)；②集合中的元素分三組為{2,2,1}與集合B分別對應(yīng)時，滿足條件的函數(shù)個數(shù).由分類加法計數(shù)原理可知，滿足條件的同函數(shù)的個數(shù)為.故答案為：.14．【詳解】以為原點，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)直線，即，則，所以，所以，，則，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，最短，此時.故答案為：15．(答案不唯一，與直線相切即可)【詳解】解：因為，，所以為奇函數(shù)，因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，即，即，因為單調(diào)，所以有，即，所以在直線上，因為直線與圓C有且只有一個共同的點，只需直線與圓相切即可，若圓的圓心為，則，此時圓的方程為故答案為：(答案不唯一，與直線相切即可)16．【詳解】由題意可得，∴時，，兩式相減可得：，化為，時，，滿足上式，故故，∵對任意的恒成立，∴，即，解得，即，故答案為：17．(1)；(2)；(3).【詳解】（1）用0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是：，能被5整除的四位數(shù)，個位數(shù)字是0的四位數(shù)有個，個位數(shù)字是5的四位數(shù)有個，因此能被5整除的四位數(shù)的總個數(shù)是：，所以能被5整除的概率是.（2）組成的四位偶數(shù)中，個位數(shù)字是0的有，個位數(shù)字是2，4之一的有個，因此組成的四位偶數(shù)總個數(shù)是：，所以是偶數(shù)的概率.（3）千位大于百位大于十位大于個位的四位數(shù)個數(shù)是：，所以千位大于百位大于十位大于個位的概率.18．(1)(2)【詳解】（1）解：當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，則，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）解：，所以，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以當(dāng)或時，取得最大值．19．把桌面板設(shè)計成長為米，寬為米的矩形時，矩形桌面板的面積最大，最大面積為平方米．【詳解】解：以為原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線方程為，且，所以，即，故點所在曲線段的方程為，設(shè)是曲線段上的任意一點，則在矩形中，，，所以，桌面板的面積為，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有最大值，此時，，此時，.答：把桌面板設(shè)計成長為米，寬為米的矩形時，矩形桌面板的面積最大，最大面積為平方米．20．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意知，所以，即從而，，則．顯然滿足上式，所以（2）由（1）知，所以，所以．又因為，所以，所以．21．(1)(2)存在，【詳解】（1）由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，因為，分別為其兩條漸近線上的點，所以，不妨設(shè)，，由于，則點為的中點，所以，又點在雙曲線上，所以，整理得：因為的面積為8，所以，則，故雙曲線的方程為；（2）由（1）可得，所以為當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為：，，則，所以，則恒成立，所以，假設(shè)在軸上是否存在定點，設(shè)，則要使得為常數(shù)，則，解得,定點，；又當(dāng)直線的斜率