自動控制理論頻率特性的基本概念

自動控制理論頻率特性的基本概念第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20231頻率特性的基本概念頻率特性的對數(shù)坐標圖頻率特性的極坐標圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內容

第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20232第一節(jié)頻率特性的基本概念第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20233考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時也用正弦波輸入時系統(tǒng)的響應來分析，但這種響應并不是單看某一個頻率正弦波輸入時的瞬態(tài)響應，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦波輸入下所對應的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應。因此，這種響應也叫頻率響應。頻率響應盡管不如階躍響應那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應法是分析和設計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20234一、頻率特性的定義：系統(tǒng)的頻率響應定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關系。對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點。若：則：第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20235拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當，即穩(wěn)態(tài)時：式中，分別為：第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20236而式中：Rm、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動了。

和都是頻率的函數(shù)。第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20237定義穩(wěn)態(tài)響應與正弦輸入信號的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應對不同頻率輸入信號的相位移特性；定義穩(wěn)態(tài)響應的幅值與輸入信號的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復平面上構成一個完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復數(shù)形式，即第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20238由于這種簡單關系的存在，頻率響應法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學上是等價的。頻率特性與傳遞函數(shù)的關系為：幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關系：第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/20239[結論]：當傳遞函數(shù)中的復變量s用代替時，傳遞函數(shù)就轉變?yōu)轭l率特性。反之亦然。到目前為止，我們已學習過的線性系統(tǒng)的數(shù)學模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應函數(shù)和頻率特性。它們之間的關系如下：第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202310從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：可見，頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學關系。是頻率域中的數(shù)學模型。第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202311[例子]：設傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202312頻率響應法的優(yōu)點之一在于它可以通過實驗量測來獲得，而不必推導系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。事實上，當傳遞函數(shù)的解析式難以用推導方法求得時，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。此外，在驗證推導出的傳遞函數(shù)的正確性時，也往往用它所對應的頻率特性同測試結果相比較來判斷。頻率響應法的優(yōu)點之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設計中有非常重要的作用。第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202313頻率特性的推導是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應cs(t)，當然也就無法由實際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應。但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實驗方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202314工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實部為直角坐標橫坐標，以其虛部為縱坐標，以為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2．對數(shù)坐標圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以為橫坐標，對數(shù)分度，分別以和作縱坐標的一種圖示法。3．對數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位為橫坐標，以為縱坐標，以為參變量的一種圖示法。二、頻率特性的表示方法：第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202315一、極坐標頻率特性曲線（奈魁斯特曲線、幅相頻率特性曲線）它是在復平面上用一條曲線表示由時的頻率特性。即用矢量的端點軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線的上的任意一點可以確定實頻、虛頻、幅頻和相頻特性。由于是偶函數(shù)，所以當從 和變化時，奈魁斯特曲線對稱于實軸。根據(jù)上面的說明，可知：頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時在G(s)平面上的映射。第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202316二、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）它由兩條曲線組成：幅頻特性曲線和相頻特性曲線。波德圖坐標（橫坐標是頻率，縱坐標是幅值和相角）的分度：

橫坐標分度：它是以頻率的對數(shù)值進行分度的。所以橫坐標（稱為頻率軸）上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程（或十倍頻），用Dec表示。如下圖所示：由于以對數(shù)分度，所以零頻率線在處。第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202317

縱坐標分度：幅頻特性曲線的縱坐標是以或表示。其單位分別為貝爾（Bl）和分貝（dB）。直接將或 值標注在縱坐標上。相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度。一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標（頻率軸）。當幅制特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關系為：20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值第18頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六4/24/202318使用對數(shù)坐標圖的優(yōu)點：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性。可以將乘法運算轉化為加法運算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進