2022-2023學(xué)年湖南省婁底市新化縣高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省婁底市新化縣高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，全集則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念求解即可.【詳解】.故選：C2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】取判斷充分性，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷必要性.【詳解】取，滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故“”不是“”的充分條件.若，則，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的必要不充分條件.故選:B.3．已知，則（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】作差即可比較大小.【詳解】,故.故選:A.4．（

）A． B． C． D．—【答案】C【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求得正確答案.【詳解】.故選：C5．這三個(gè)數(shù)的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別比較與中間值0和1的大小關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，故選：C.6．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)的平移得答案.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，即故選：C7．給定函數(shù)，用表示中的較大者，記為，例如當(dāng)時(shí)，，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】B【分析】將寫(xiě)出分段函數(shù)形式，畫(huà)出圖象，由圖象可得最小值.【詳解】令，可得，即，解得；令，可得，即，解得或.所以.作出的圖象如圖所示：由圖象可得的最小值為0.故選:B.8．已知函數(shù),若實(shí)數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)做出函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得出選項(xiàng).【詳解】令，得，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，做出函數(shù)的圖象，如下圖所示，因?yàn)?，由圖象可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,關(guān)鍵在于做出函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中檔題.二、多選題9．命題，．命題q：任意兩個(gè)等邊三角形都相似．關(guān)于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是（

）A．p是真命題 B．，C．q是真命題 D．：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似【答案】BCD【分析】根據(jù)根的判別式可判斷命題的真假，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷命題的真假，從而判斷AC，根據(jù)命題的否定可判斷BD.【詳解】對(duì)于方程，,所以，無(wú)解，故p是假命題，故A錯(cuò)誤；，，故B正確；任意兩個(gè)等邊三角形都相似，故q是真命題，故C正確；：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似，故D正確.故選:BCD.10．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】直接借助根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11．下列說(shuō)法不正確的是(

)A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．C．1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角D．若，則與的終邊相同【答案】ACD【分析】根據(jù)任意角的基本概念和三角函數(shù)定義即可逐項(xiàng)判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，三角形內(nèi)角范圍是，其中90°不屬于象限角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，大小為2的角終邊在第二象限，故cos2＜0，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，1弧度的角是長(zhǎng)為半徑的“弧”所對(duì)的圓心角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則α和β的終邊相同或關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤．故選：ACD．12．已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) B．C． D．有100個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】由題設(shè)有、、，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)且是周期為4的奇函數(shù)，利用周期性求、、，判斷A、B、C；再畫(huà)出與的函數(shù)部分圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷它們的交點(diǎn)情況判斷D.【詳解】由題設(shè)，，即，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，A正確；又，則，即是周期為4的奇函數(shù)，由，即，，B正確；，，故，C錯(cuò)誤；綜上，與的函數(shù)部分圖象如下：當(dāng)，過(guò)點(diǎn)，故時(shí)與無(wú)交點(diǎn)；由圖知：上與有1個(gè)交點(diǎn)；上的每個(gè)周期內(nèi)與有兩個(gè)交點(diǎn)，共有個(gè)交點(diǎn)；而與且，即時(shí)無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)，過(guò)點(diǎn)，故時(shí)與無(wú)交點(diǎn)；由圖知：上與有3個(gè)交點(diǎn)；上的每個(gè)周期內(nèi)與有兩個(gè)交點(diǎn)，共有個(gè)交點(diǎn)；而與且，即時(shí)無(wú)交點(diǎn)；綜上，共有個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ABD三、填空題13．計(jì)算_____．【答案】.【詳解】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得：，故答案為2.14．已知函數(shù)的定義域是_____________.【答案】【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)非負(fù)即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域應(yīng)滿(mǎn)足，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.15．已知函數(shù)和的圖象均連續(xù)不斷，若滿(mǎn)足：，均有，則稱(chēng)區(qū)間為和的“區(qū)間”，則和在上的一個(gè)“區(qū)間”為_(kāi)________．（寫(xiě)出符合題意的一個(gè)區(qū)間即可）【答案】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)性，得到答案.【詳解】和的定義域都是，當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足“區(qū)間”的定義，故和在區(qū)間上的一個(gè)“區(qū)間”可以是．故答案為：16．研究表明，函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，若函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)中心為，那么_____【答案】【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，即可求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】令，則，則由，可得為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)中心為，則故答案為：四、解答題17．（1）知，計(jì)算；（2）已知都是銳角，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對(duì)原式弦化切后求值即可；（2）由已知及同角三角函數(shù)平方和是1求出，對(duì)變形成，再利用兩角差的余弦公式計(jì)算.【詳解】解：（1），；（2）且是銳角，，且，，.18．已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求解；（2）由（1）得，設(shè),作差即可證明.【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以,解得或.當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不滿(mǎn)足題意.故.（2）由（1）得，故.設(shè),則，因?yàn)?，所以，，所?所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.19．為了做好新冠疫情防控工作，某學(xué)校要求全校各班級(jí)每天利用課間操時(shí)間對(duì)各班教室進(jìn)行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測(cè)定，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時(shí)間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過(guò)程中與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)），其圖象經(jīng)過(guò)，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問(wèn)題.(1)求從藥物釋放開(kāi)始，與的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下時(shí)，才能保證對(duì)人身無(wú)害，若該校課間操時(shí)間為分鐘，據(jù)此判斷，學(xué)校能否選用這種藥物用于教室消毒？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)可以，理由見(jiàn)解析.【分析】(1)將圖象上給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式計(jì)算作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合題意，列出不等式求解作答.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，因函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，即，解得，又當(dāng)時(shí)，，解得，而圖象過(guò)點(diǎn)，則，因此，所以與的函數(shù)關(guān)系式是.（2）由(1)知，因藥物釋放完畢后有，，則當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下，有，解得：，因此至少需要36分鐘后才能保證對(duì)人身無(wú)害，而課間操時(shí)間為分鐘，所以學(xué)?？梢赃x用這種藥物用于教室消毒.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，在理解題意的基礎(chǔ)上，找出分散的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題作答.20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求使成立的的取值集合.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)圖象先求出周期可得，再由特殊點(diǎn)可得；（2）由三角恒等變換化簡(jiǎn)出，解正弦型三角不等式即可得解.【詳解】（1）由已知得，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?（2）因?yàn)楹瘮?shù)，，因?yàn)椋瑒t，所以，故，所以符合條件的的取值集合為.21．設(shè)函數(shù)．(1)若不等式的解集，求a，b的值；(2)若，①，，求的最小值，并指出取最小值時(shí)a，b的值．②求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)(2)①，時(shí)，取最小值2；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意可知?1，1是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理求解；（2）根據(jù)題意得，①利用基本不等式進(jìn)行處理運(yùn)算，注意“1”得運(yùn)用；②分類(lèi)討論判斷單調(diào)性求解．【詳解】（1）由的解集是知?1，1是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得（2）由得，①，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值是2．②由于，得，則，函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為．22．歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱(chēng)的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱(chēng)函數(shù)為倒函數(shù).(1)已知，，判斷和是不是倒函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若是上的倒函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，方程是否有正整數(shù)解？并說(shuō)明理由；(3)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴(yán)格增函數(shù).記，證明：是的充要條件.【答案】(1)是倒函數(shù)，不是倒函數(shù)，理由見(jiàn)解析(2)沒(méi)有，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用“倒函數(shù)”的定義判斷函數(shù)、，可得出結(jié)論；（2）分析可知當(dāng)時(shí)，，則方程若存在整數(shù)解，則，構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；（3）推導(dǎo)出函數(shù)為上的奇偶性、單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性結(jié)合充分條件、必要條件的定義證明可得結(jié)論.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的，，所以，函數(shù)為倒函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)不是倒函數(shù).（2）解：當(dāng)時(shí)，則，由倒函數(shù)的定義可得，由滿(mǎn)足倒函數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)、均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有整數(shù)解，則，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在，使得，即，故方程無(wú)整數(shù)解.（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，，任取、且，則，所以，，，所以，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，故函?shù)為上的奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，即，則，所以，，即“”“”