2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔學(xué)生用書第8章

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

?最新考綱?

1.認(rèn)識(shí)柱、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡

單物體的結(jié)構(gòu).

2.能畫出簡單空間圖形（長方形、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能

識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.

3.會(huì)用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示

形式.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、空間幾何體的三視圖與直觀圖仍會(huì)是高考的熱點(diǎn)，多結(jié)

合幾何體的體積和表面積的計(jì)算進(jìn)行考查.命題形式主要以選擇題、填空題為主.

學(xué)科素養(yǎng)：通過三視圖的識(shí)別及應(yīng)用考查直觀想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.多面9k的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

感D'

圖形

4BABaAB

底面互相一且一多邊形互相一

相交于一，

側(cè)棱延長線交于____

—但不一定相等

側(cè)面

形狀———

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

1

，U

圖形

11

1

互相平行且相

母線相交于一延長線交于—

等，____于底面

軸截面全等的—全等的________全等的________

側(cè)面

展開圖———

［提醒I臺(tái)體是由錐體截得的，注意截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).

3.直觀圖

(1)畫法：常用.

(2)規(guī)則：

①原圖形中x軸，y軸，z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸，y軸的夾角為45。(或135。)，/

軸與/軸(或y軸).

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍.平行于x軸和z軸的線段在直

觀圖中保持原長度,平行于y軸的線段的長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?

4.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括視圖、視圖、視圖，分別是從幾何體

的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)三視圖的畫法

①基本要求：長對(duì)正，高平齊，寬相等.

②畫法規(guī)則：一樣高，一樣長，一樣寬，看不到的線畫虛線.

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.常見幾何體的三視圖類型及其幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)三視圖為三個(gè)三角形，一般對(duì)應(yīng)三棱錐；

(2)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)四棱錐；

(3)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓錐；

(4)三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)三棱柱；

(5)三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓柱.

2.斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”

坐標(biāo)軸的夾角改變，

(1)“三變”］與了軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉?/p>

的一半，圖形改變.

平行性不變，

(2)“三不變”［與z軸和z軸平行的線段的長度

不改變，相對(duì)位置不變.

3.原圖形與直觀圖面積的關(guān)系

按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形的面積的關(guān)系：(1)S百觀圖=彳5城

B?;(2)S2a?s.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或"X”).

(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.()

(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱.()

(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái).()

（二）教材改編

2.［必修2P8習(xí)題Ti改編］下列說法不正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱錐的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長都相等

3.［必修2F8習(xí)題Ti改編］在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為（填寫所有正確

的序號(hào)）

①②③④⑤

（三）易錯(cuò)易混

正視圖

俯視圖

4.（三個(gè)視圖間的關(guān)東不清）將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到

的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）

ABCD

5.（斜二測(cè)畫法的規(guī)則不清）利用斜二測(cè)畫法得到的：

①三角形的直觀圖一定是三角形；

②正方形的直觀圖一定是菱形；

③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；

④菱形的直觀圖一定是菱形.

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是.

（四）走進(jìn)高考

6.［2021?全國乙卷］以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖,

組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要

求的一組答案即可）.

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征I基礎(chǔ)性］

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

B.六條棱長均相等的四面體是正四面體

C.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)

2.下列說法中正確的是（）

①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；

②三棱柱的側(cè)面為三角形；

③四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面；

④棱錐的各側(cè)棱長都相等.

A.①②B.①③C.②③D.②④

3.

［2020?全國卷I］埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱

錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三

角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

^-1^-1

A.4B.2

C.*D.3

4.［2019?全國卷II］中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀

多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖

1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)

稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且

此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長為.

圖1

反思感悟空間幾何體概念的辨析方法

匕［7>,淳京定義，由已知前金幾名履型，萬春件不:

依涉尸:變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加］

;線、面等基本元素，根據(jù)定義逆行判定

反凝nJ通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一

7—1，個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可

考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖［綜合性］

［例1］已知正三角形A8C的邊長為2,那么△ABC的直觀圖△AEC的面積為

聽課筆記：

一題多變

若例1中將“正三角形△ABC的邊長為2”改為“正△AbC的邊長為2"，則AABC

的面積為.

反思感悟原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”

I坐標(biāo)軸的夾角改變

(1)“三變"v與y軸平行的線段的長度改變(減半)

圖形改變

平行性不變

(2)“三不變\與a軸平行的線段長度不變

相對(duì)位置不變

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.以下關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的結(jié)論，

①角的水平放置的直觀圖一定是角；

②相等的角在直觀圖中仍然相等；

③相等的線段在直觀圖中仍然相等；

④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原

來的圖形是（）

KO)C

有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所

示），ZABC=45°,AB=AO=1,DCVBC,則這塊菜地的面積為.

考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖［綜合性］

角度1已知幾何體，識(shí)別三視圖

［例2］如圖，四面體ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)是長方體的四個(gè)頂點(diǎn)（長方體是虛擬圖形，起輔

助作用），則四面體ABCZ）的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是（用①②③④⑤⑥代表圖形）（）

A.①②⑥B.①②③

C.④⑤⑥D(zhuǎn).③④⑤

聽課筆記：

反思感悟已知幾何體，識(shí)別三視圖的步驟

(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界

線，對(duì)于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

角度2已知三視圖還原幾何體

［例3］［2020?全國卷H］如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在

正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()

A.EB.FC.GD.H

聽課筆記:

反思感悟由三視圖確定幾何體的步驟

定底面—卜［根據(jù)俯視圖判斷出底面形狀:

_____________、________________________________________________>

,0,...................

云菽癡磯鼠據(jù)正、側(cè)視圖嘉定幾時(shí)體前側(cè)反與側(cè)面原誓征:

--_____\____________________________________________?

__定形狀VS注_:三_視_圖_5_遍_「_和_實(shí)_蠢_變_化_,_確_定幾__何_體_形狀>:

角度3已知三視圖中的部分視圖，判斷其他視圖.

［例4］(1)［2021?全國甲卷］

正視圖

在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG

后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

（2）把邊長為1的正方形ABC。沿對(duì)角線8。折起，使得平面平面CB。，形成的

三棱錐C-ABQ的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為（）

聽課筆記:

反思感悟由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法

解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找

其剩下的部分視圖的可能形式，當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?山西省八校高三聯(lián)考]已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個(gè)邊

長為2的正三角形，則該幾何體中最長棱的長度為（）

俯視圖

A.2B.3銀

C.3D.2蜴

2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最大面的面積是（）

第八章立體幾何初步

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

積累必備知識(shí)

平

L行相等平行平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形

垂

直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)

2.a

3.:測(cè)畫法(2)垂直平行于坐標(biāo)軸不變一半

a)M證

4.三側(cè)俯⑵正側(cè)正俯側(cè)俯

案

L、

答：(1)X(2)X(3)V(4)X(5)X

2.解析：根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等.

答案：B

3.解析：由棱柱的定義可判斷③⑤屬于棱柱.

答案：③⑤

4.解析：由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示.則

該幾何體的側(cè)視圖為B.

答案：B

5.解析：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，正方形的直觀圖是一般的平行四

邊形；③錯(cuò)誤，因?yàn)樾倍y(cè)畫法平行關(guān)系不變，所以等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形;

而菱形的直觀圖也不一定是菱形，故④也錯(cuò)誤.

答案：1

6.解析：根據(jù)“長對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，

圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④

或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示.

圖1

答案：③④（答案不唯一，②⑤也可）

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

1.解析：底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A

錯(cuò)；斜四棱柱也有可能兩個(gè)側(cè)面是矩形，所以C錯(cuò)；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間

的部分才叫圓臺(tái)，D錯(cuò).

答案：B

2.解析：由棱錐的定義可知，棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形，①正確；由棱錐的定義可

知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，②錯(cuò)誤；③正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，

但各側(cè)棱必須有一個(gè)公共頂點(diǎn)，④錯(cuò)誤.故選B.

答案：B

3.解析：如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長8c=a,側(cè)面等腰三角形底邊上的高

則正四棱錐的高P0=

...以|P0|為邊長的正方形面積為h2-

1

側(cè)面三角形面積為新/?,

/1

h2—■*=iah,

二4層一2a/?一。2=（）,

兩邊同除以標(biāo)可得40-2!-1=0,

b1+^

解得二=-,

bk舟1

又：A0,二=~r.

答案：C

4.解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體

的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多

面體共有26個(gè)面.注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多

面體的棱長為X,則Tx+x+亍x=l,解得x=力一1,故題中的半正多面體的

棱長為a-1.

答案：26.一1

考點(diǎn)二

例1解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.從圖②可知，A'B'=

答案：T

一題多變

解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.從圖②可知，AB=A'B'^2,

所以AABC的高OC=2O，C=2遙.

所以SAABC=aX2X2遍=2顯

答案：2n

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：角的水平放置的直觀圖一定是角，①正確；相等的角在直觀圖中不一定相等,

例如在正方體ABCD-EFGO的直觀圖中ZAOCW/D4B,故②錯(cuò)誤；相等的線段在直觀圖

1

中不一定相等，例如在正方體ABC￡>-EFG。的直觀圖中AO=5DC,故③錯(cuò)誤；若兩條

線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行，故④正確.綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為

2.

答案：C

2.解析：由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長為短，所以原圖

形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長為2月.

答案：A

3.

解析：如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E.

在RtZ\ABE中，AB=1,NABE=45：；.BE=T.

而四邊形AECQ為矩形，AD=l,

：.EC=AD^\,：.BC=BE+EC=T+l.

由此可還原原圖形如圖.

在原圖形中，A'D'=1,A'B'=2,

Vi

B'C'=T+l,

且A'D'〃夕C',A'B'LB'C,

.?.這塊菜地的面積S=l(A'D'+B'C')A'B'=去X(1+1+￥)x2=2+T.

答案：2+T

考點(diǎn)三

例2解析：正視圖是邊長為3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下

是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖是邊長為5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左

下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖是邊長為3和5的矩形，其對(duì)角線左上到右下是

實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.故選B.

答案：B

例3

解析：根據(jù)三視圖可得直觀圖如圖所示，圖中的點(diǎn)U在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯

視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,所以該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E.

答案：A

例4解析：(1)根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，結(jié)合選項(xiàng)

可知該幾何體的側(cè)視圖為D.

解析：(2)由三棱錐C—AB。的正視圖、俯視圖得三棱錐C—AB。的側(cè)視圖為直角邊長

是亍的等腰直角三角形，其形狀如圖所示，所以三棱錐C-ABO的側(cè)視圖的面積為

答案：（1）D（2）D

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：由三視圖還原該幾何體的直觀圖，為如圖所示的四棱錐「一ABC。，其中該四

棱錐的底面是一個(gè)上底為1、下底為2、高為2的直角梯形，平面「8CL底面ABC。，/XPBC

是邊長為2的正三角形，易知AB=BC=PB=PC=2,CD=l,AD=PD^書,%=

26，所以最長棱的長度為2a

答案：D

2.解析：如圖所示，由三視圖可知該幾何體是四棱錐P-ABC。截去三棱錐P-AB。后得

到的三棱錐P-BCD其中四棱錐中，底面ABC￡＞是正方形，力1.底面ABC。，且%=A8=2,

易知面積最大面為面產(chǎn)8。，面積為六（2叭遮

答案：C

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積

?最新考綱?

了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：高考常以三視圖為載體，主要考查柱、錐、球的表面積和體積，以選擇題、

填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

側(cè)面

展開圖意㈣

側(cè)面積

S圓柱惻=_______S圓錐側(cè)=_______SMl臺(tái)側(cè)=_______________

公式

2.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱幾何體表面積體積

柱體

S表面積=S惻+2S底v=____

（棱柱和圓柱）

錐體

S表面積=5側(cè)+S底v=________

（棱錐和圓錐）

臺(tái)體

S衣面積=S他+S上+S下

（棱臺(tái)和圓臺(tái)）V=（S上+S下+）/?

球S=________v=________

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.正方體的棱長為“，球的半徑為R，

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=A；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=%

2.長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,h,c,外接球的半徑為R,則2R=

Va2+tf+C2.

3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“，”或“X”）.

（1）圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是

27ts.（）

（2）錐體的體積等于底面面積與高之積.（）

（3）臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.（）

（4）球的體積之比等于半徑之比的平方.（）

（二）教材改編

2.［必修2中27練習(xí)「改編］己知圓錐的表面積等于12TTcm2,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，

則底面圓的半徑為cm.

3.

［必修2P29習(xí)題B組Ti改編］某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于

，表面積等于.

（三）易錯(cuò)易混

4.（長度單住與體積單核的換算出錯(cuò)）《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1

丈3尺33寸，容納米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛為容積單位，1斛比1.62

立方尺，兀七3）,則圓柱底面圓的周長約為（）

A.1丈3尺B.5丈4尺

C.9丈2尺D.48丈6尺

5.（不會(huì)分類討論致誤）圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6兀和4兀的矩形，則圓柱的表面積

為?

（四）走進(jìn)高考

6.［2021?全國甲卷］已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀，則該圓錐的側(cè)面積為

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一空間幾何體的側(cè)面積和表面積［基礎(chǔ)性、綜合性］

［例1］（1）［2022?云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測(cè)］《九章算術(shù)》中將底面為矩形、一條側(cè)棱垂

直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.己知某

“陽馬”和某“塹堵”的組合體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（）

■4

A.28+12線

C.26+12線D.12+24◎

⑵

[2022?河南周口模擬]如圖，在三棱柱ABC-4BiG中，A41_L底面ABC,ABA,BC,A4,

=AC=2,直線AC與側(cè)面A41sB所成的角為30。，則該三棱柱的側(cè)面積為（）

A.4+4顯B.4+4用

C.12D.8+4線

聽課筆記：

反思感悟三類幾何體表面積的求法

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖

的表面積形面積的方法求多面體的表面積

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后

求旋轉(zhuǎn)體

求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)側(cè)面

的表面積

展開圖中的邊長關(guān)系

求不規(guī)則通常將不規(guī)則幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先

幾何體的求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和

表面積或作差，求出不規(guī)則幾何體的表面積

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2020?全國卷1H]如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4顯B.4+4

C.6+2有D.4+2

2.[2022.安徽池州市高三模擬]古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在其著作《幾何原本》中定義了

相似圓錐：兩個(gè)圓錐的高與底面的直徑之比相等時(shí)，則稱這兩個(gè)圓錐為相似圓錐.已知圓錐

SO的底面圓O的半徑為3,其母線長為5.若圓錐早0,與圓錐SO是相似圓錐，且其高為8,

則圓錐卜0,的側(cè)面積為（）

A.157rB.607r

C96兀D.1207r

3.［2022?福建廈門市高三模擬］2008年北京奧運(yùn)會(huì)游泳中心（水立方）的設(shè)計(jì)靈感來于威

爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對(duì)開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文體是一種多面體，它由正六邊

形和正方形圍成（其中每一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形），已知該多面體共有24

個(gè)頂點(diǎn)，且棱長為1,則該多面體表面積是（）

開爾文胞體

百十6B.9遮+8

陋+6D.12在+8

考點(diǎn)二空間幾何體的體積［綜合性］

角度1公式法求體積

［例2］正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+12第iB.28短

聽課筆記:

角度2割補(bǔ)法求體積

［例3］

在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為4cm,母線長最短5cm,最長8cm,

則斜截圓柱的體積V=cm3.

聽課筆記：

一題多變

(變問題)若例3中條件不變，求斜截圓柱的側(cè)面面積S=cm2.

角度3等體積法求體積

［例4］如圖所示，己知三棱柱ABC-A/Ci的所有棱長均為1,且A41_L底面ABC,則

三棱錐Bi-ABQ的體積為()

A.12B.

反思感悟

(1)處理體積問題的思路

指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不容易求面積的底面轉(zhuǎn)

換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)

換為容易看出并容易求解的高

指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡單的幾何體,

便于計(jì)算

指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一

個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一

個(gè)四棱柱，還臺(tái)為錐，這些都是拼補(bǔ)的方法

(2)求體積的常用方法

①直接法：對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算.

②割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則

的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算.

③等體積法：選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐

的任一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

C,

B：

41c------B

1.如圖，在直四棱柱A8CZXA山iGA中，底面ABC。是平行四邊形.點(diǎn)E是棱

的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CCi上靠近C,的三等分點(diǎn)，且三棱錐Ai-AEF的體積為2,則四棱柱

ABCD-AxB\C\D\的體積為（）

A.12B.8C.20D.18

2.圖1是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中ABC。是矩形，A8FE和

CDE尸都是等腰梯形，且ADJ_平面CDEF.現(xiàn)測(cè)得AB=20cm,AD-15cm,EF=30cm,

AB與EF間的距離為25cm,則幾何體EF-ABCD的體積為（）

A.2500cm3B.3500cm3

C.4500cm3D.3800cm3

考點(diǎn)三空間幾何體的外接球與內(nèi)切球］創(chuàng)新性|

角度1幾何體的外接球

［例5］（1）［2022?天津市武清區(qū)檢測(cè)］《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐

稱之為鱉嚅.若三棱錐尸-ABC為鱉膈，弘_1_平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC

的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.12兀B.20兀C.24兀D.32兀

（2）［2022?天津高三模擬］長方體ABCD^B\C\D\的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且AB=2,

AD=aAAi=l,則球面面積為（）

84

A.，B.3nC.4nD.8兀

聽課筆記：

反思感悟處理球的“接”問題的策略

把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外

接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

［例6］(1)12022?成都市高三模擬］《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱

之為鱉席，若三棱錐P-A8C為鱉襦，以1.平面ABC,B4=BC=4,AB=3,ABX.BC,若三

棱錐P-ABC有一個(gè)內(nèi)切球。，則球。的體積為()

A.2B.*C.lfiD.9兀

(2)［2022?江蘇南京高三模擬］已知直三棱柱ABC-ASG的底面ABC為等邊三角形，若該

棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為()

A.25：1B.2書：1

C.5：1D.5：1

聽課筆記：

一題多變

(變條件，變問題)若例6(1)中“若三棱錐P-A8C有一個(gè)內(nèi)切球O,"改為“若三棱錐

P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，”則球。的表面積為.

反思感悟

(1)處理球的“切”問題的策略，解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，

解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多

面體過球心的對(duì)角面來作.

(2)解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題求解，其解題的思維流程是：

|二上如:建而面鼠,麻加心到百工盔距“目掌且0多徑］

二如果是外接球，則球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑：

_!_幅疝/茬石瓦祚山嬴山'(委謔至下漏瓦底哥葡演

作截面「的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素：

一J―■間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的J

求徑、根據(jù)作出截面中的幾何元根，建立關(guān)于球半徑的；

|I下I結(jié)論廠U;方程,并求解!

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?河北衡水市檢測(cè)］已知正三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為

的，則此三棱錐的外接球的表面積為()

A.兀B.3兀C.6兀D.9兀

2.［2022?沙坪壩區(qū)測(cè)試］在三棱錐P-A8C中，PA=PB=PC^書,AB=4C=BC=

百，則三棱錐P-A8C外接球的表面積是（）

竺

A.9兀B.，兀

25

C.4KD.,兀

3.已知在三梭錐A3CO中，AB=CD=2,AD=AC=BC=BD=3.則該三棱錐內(nèi)切球

的體積為（）

A.64B.6

C.D.B

微專題28數(shù)學(xué)文化與立體幾何的交匯交匯創(chuàng)新

縱觀近幾年高考，立體幾何以數(shù)學(xué)文化為背景的問題層出不窮，讓人耳目一新.從中國

古代數(shù)學(xué)文化中挖掘素材，考查立體幾何的有關(guān)知識(shí)，既符合考生的認(rèn)知水平又可以引導(dǎo)考

生關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并提升審題能力，增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［例］

［2022.四川眉山市高三模擬］中國古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個(gè)面均

為直角三角形的四面體為“鱉腌”.如圖所示的鱉膈ABC。中，A3,平面BCD,CD1BC,

若8=1,AC=巡，且頂點(diǎn)A,B,C,。均在球O上，則球O的表面積為

解析:

由題意可知：球。為鱉腌4BCD的外接球,

?.?A2_L平面BCD,BD,C￡>u平面BCD,：.ABVBD,ABLCD,

又CDLBC,AB,BCu平面ABC,ABnBC=B,

.,.CQ_L平面ABC,

又4Cu平面ABC,：.CD1AC；

取AC中點(diǎn)E,連接CE,

VABIBC,:.BE=AE=DE,同理可知：CE^AE^DE,

-“AG+CD2

點(diǎn)E與球。的球心。重合，球0的半徑R=2AD=2

...球O的表面積5=4兀產(chǎn)=6兀

答案：67r

名師點(diǎn)評(píng)求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題，首先要在閱讀理解上下功夫，明確其

中一些^念的意義，如“塹堵”“陽馬”和“鱉腌”等的特征是求解相關(guān)問題的前提，其次

目標(biāo)要明確，根據(jù)目標(biāo)聯(lián)想相關(guān)公式，然后進(jìn)行求解.

[變式訓(xùn)練I[2022?安徽高三測(cè)試]《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，在卷五《商功》

中有一問題：今有溝，上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈.問積幾何？答日：四千

三百七十五尺.意思是說現(xiàn)在有一條水溝，截面是梯形，梯形上底長一丈五尺，下底長一丈，

水溝的深為五尺，長七丈.問水溝的容積是多大？答案是4375立方尺.若此溝兩坡面坡度

相同，某人想給此溝表面鋪上水泥進(jìn)行固定，不計(jì)水泥厚度，則需要水泥多少平方尺？(一

丈等于十尺)()

A.4375B.1875+350書

C.1750+350書D.700+350書

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積

積累必備知識(shí)

1.2ndnrln(rf+r)l

2.ShiSh4nR2荷中

--、

1.答案：(l)x(2)X(3)V(4)X

2.解析：設(shè)底面半徑為r,由側(cè)面展開圖為半圓可知，圓錐母線長/=2r，所以$*=兀產(chǎn)

+?！?兀產(chǎn)+兀廠2r=3兀/=]2n,所以3=4,所以r=2.

答案：2

3.解析：如困，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2,高為3的圓柱的一半，故該

11

2

幾何體的體積為弓X7tX22X3=6兀，表面積為2義5X3lX2+4X3+7tX2X3=107t+

12.

答案：6n12+lOn

4.解析：設(shè)圓柱底面圓半徑為r,高為h,依題意，圓柱體積為V=nrh,即2

000X1.62^3X^X13.33,所以戶Q81,即r七9尺，所以圓柱底面圓周長為2〃和54尺，即

圓柱底面圓周長約為5丈4尺.

答案：B

5.解析：圓柱的側(cè)面積S加=6兀X4TI=24兀2.①以邊長為6兀的邊為軸時(shí)，4n為圓柱底面

圓周長，所以2口=4兀，即廠=2.所以S底=4兀，所以S*=24兀2+8兀

②以4兀所在邊為軸時(shí)，6兀為圓柱底面圓周長，所以2a=6兀，即r=3,所以5底=9兀,

所以SE=24兀?+18Ji.

答案：247r2+8?；?47r2+18兀

15

6.解析：設(shè)該圓錐的高為/?,則由已知條件可得介兀*62><仁30兀，解得仁,,

則圓錐的母線長為Vh2+6?=:T,故該圓錐的側(cè)面積為

13

兀X6X彳=39兀.

答案：397r

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

例1解析:

(1)由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，“塹堵”的底面是直角邊

長為2的等腰直角三角形，高為4,“陽馬”的底面是邊長為2的正方形，高為2,所以該

1_

幾何體的表面積分兩部分，“塹堵”部分的表面積S至.=孑X2X2X2+2力X4+

2X4+2X4-aX2X2=18+8力，

1

“陽馬”部分的表面積，5陽馬=2X2+iX2X2+

5X2X2直++2X2力=6+46，

所以該幾何體的表面積為S??+S陽馬=18+86+6+46=24+120.

(2)連接AjB.因?yàn)?41，底面A2C,則XABLBC,CAB=A,所以

BC_L平面AAiBiB,所以直線AC與側(cè)面AA\B\B所成的角為NCA|B=30。.又AAt=AC=2,

所以AC=2收,BC=0.又ABA.BC,貝()AB=q，則該三棱柱的側(cè)面積為

20X2+2X2=4+4力.

答案：⑴B(2)A

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：在正方體中還原幾何體如圖.

幾何體為正方體的一部分：三棱錐P-4BC,

S表兩相=SA?4C+S△出B+SAPBC+SABAC

工U行的】工1片

=aX2銀X2V2X^+：x2X2+3X2X2+5X2X2=2g

+6.

答案：C

2.解析：由題意得：圓錐SO的底面直徑為6,高為V52-3J=4,

所以高與底面直徑之比為6=3,

因?yàn)閳A錐SO,與圓錐S。是相似圓錐，且其高為8,

8

T

所以圓錐S。，的底面直徑為5=12,則底面半徑為6,

所以圓錐S。，的母線長為%+6=

所以圓錐30,的側(cè)面積為2X2KX6X10=607t.

答案：B

3.解析：棱長為1的正方形的面積為1X1=1,正六邊形的面積為

1艱"3

6XaXlXlX6=—,

又正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，正六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，所以最多有6

個(gè)正方形，最少有4個(gè)正六邊形，1個(gè)正六邊形與3個(gè)正方形相連，

所以該多面體有6個(gè)正方形，正六邊形有6X4+3=8個(gè)，

所以該多面體的表面積為8X￥+6=12遮+6.

答案:C

考點(diǎn)二

例2

解析：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖,

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長分別為2,