淺談教材的理解和使用-以“線段的垂直平分線”教學(xué)為例 論文

淺談教材的理解和使用------以“線段的垂直平分線”教學(xué)為例摘要：理解教材是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的前提，更是提升課堂學(xué)習(xí)效率、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的保證?！半p減”背景下，為了更好的落實(shí)課標(biāo)要求，需要教師很好地理解教材編寫意圖，挖掘教材資源，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。關(guān)鍵詞：理解教材；挖掘教材資源；數(shù)學(xué)本質(zhì)；學(xué)習(xí)效率1把握整章知識(shí)脈絡(luò)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)網(wǎng)絡(luò)“線段的垂直平分線”是滬科版數(shù)學(xué)八上第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15.2的學(xué)習(xí)內(nèi)容，本章的主要線索是“軸對(duì)稱圖形”，軸對(duì)稱變換是基本的幾何變換，而線段是重要基礎(chǔ)的幾何圖形，且是軸對(duì)稱圖形。本章首先從線段開(kāi)始研究，線段的對(duì)稱軸即為線段的垂直平分線，而軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸上的點(diǎn)具有一定的特殊性，也是研究的重點(diǎn)。同時(shí)線段的垂直平分線的探究思路、方法對(duì)于后續(xù)的軸對(duì)稱圖形角、等腰三角形同樣適用，所以本節(jié)課的學(xué)習(xí)在本章具有重要的意義，為后面的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。線段的垂直平分線的研究是按照以下思路來(lái)學(xué)習(xí)的，有線段的垂直平分線的定義、畫法（折疊法、度量法、尺規(guī)作圖）、性質(zhì)、判定以及應(yīng)用，這里性質(zhì)和判定研究幾何圖形的基本思路，應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)聯(lián)系生活的觀點(diǎn)。這些在本章角平分線、等腰三角形的學(xué)習(xí)中都有所體現(xiàn)。結(jié)合以上分析，本章學(xué)習(xí)之前可以先設(shè)置一節(jié)“序言課”，提前幫助學(xué)習(xí)感受本章知識(shí)點(diǎn)的背景（數(shù)學(xué)背景），呈現(xiàn)的線索和思路，讓學(xué)生首先嘗試整體性的看待所學(xué)內(nèi)容。本章學(xué)習(xí)開(kāi)始以及結(jié)束分別引導(dǎo)學(xué)生梳理本章知識(shí)框架，即為學(xué)生的自主預(yù)習(xí)提供幫助，同時(shí)也為整體性的理解數(shù)學(xué)，促進(jìn)知識(shí)之間的聯(lián)系和加深理解打下基礎(chǔ)。本章軸對(duì)稱圖形可以呈現(xiàn)以下知識(shí)框架：2注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的整體性 在本節(jié)課引入時(shí)，筆者采用了以下方式，首先復(fù)習(xí)回顧上節(jié)課的軸對(duì)稱圖形的概念，其次轉(zhuǎn)到“線段是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，那么它的對(duì)稱軸是什么呢？，如何畫出它的對(duì)稱軸呢？”，（如圖1、2）從而凸顯本章軸對(duì)稱的線索，同時(shí)引出本節(jié)課線段垂直平分線的概念，接著是線段垂直平分線的畫法。旨在自然的呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，減少學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效率。圖1 圖23重視數(shù)學(xué)核心概念，強(qiáng)調(diào)回到概念解決問(wèn)題在線段的垂直平分線的畫法學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)于方法1折疊法，操作之后追問(wèn)“為什么折痕就是對(duì)稱軸呢”，這里引導(dǎo)學(xué)生回到軸對(duì)稱圖形的概念來(lái)解釋，讓同學(xué)們加深對(duì)線段垂直平分線概念的理解。A BllAOBOA(B)步驟一步驟二步驟三對(duì)于方法2度量法，首先用刻度尺量出線段的中點(diǎn)，再用三角尺過(guò)中點(diǎn)畫垂線的方法作出線段的垂直平分線，之后同樣追問(wèn)“這里的根據(jù)是什么”，向?qū)W生再次強(qiáng)調(diào)線段垂直平分線的概念包含兩層含義：垂直和平分，也為后面性質(zhì)尺規(guī)作圖及性質(zhì)的證明打下基礎(chǔ)。對(duì)于方法3線段的垂直平分尺規(guī)作圖，在引導(dǎo)學(xué)生探究證明時(shí)，首先啟發(fā)學(xué)生思考，根據(jù)線段垂直平分線的概念，這里只需要證明兩個(gè)小結(jié)論即∠EOA=∠EOB=90°，OA=OB. 上述環(huán)節(jié)不斷的引導(dǎo)學(xué)生回到線段的垂直平分線概念解決問(wèn)題，同時(shí)學(xué)生在進(jìn)行線段的垂直平分線的性質(zhì)證明時(shí)，便會(huì)很容易想到證明思路。4注重知識(shí)之間的聯(lián)系對(duì)于本節(jié)線段的垂直平分線的判定的學(xué)習(xí)，教材采用了設(shè)置思考環(huán)節(jié)：

你能寫出上面定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果是真命題，請(qǐng)給出證明.由性質(zhì)到判定是研究幾何圖形的一般思路，這里可以實(shí)現(xiàn)“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的觀念，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生從知識(shí)聯(lián)系的角度去探究思考。另外在對(duì)比學(xué)習(xí)線段的垂直平分線性質(zhì)及判定時(shí)，筆者采用了以下方式：點(diǎn)P在線段AB的線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩的距離相PA=PB垂直平分線上等到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上 同時(shí)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)，性質(zhì)是由數(shù)量關(guān)系得到位置關(guān)系，而判定恰好相反，啟發(fā)學(xué)生感受數(shù)量和位置關(guān)系相互決定的本質(zhì)。

滬科版數(shù)學(xué)教材P130設(shè)置了一個(gè)習(xí)題如下：已知：C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且CA=CB，DA=DB.求證：直線CD垂直平分線段AB.這里的題目首先提供了一種線段的垂直平分線的判定方法，這是由“點(diǎn)”到“線”的變化，也是以后證明線段相等及垂直關(guān)系的方法。同時(shí)筆者在學(xué)完線段的垂直平分線的判定以后，引導(dǎo)學(xué)生思考“還有別的方法證明線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖的正確性嗎？”，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)之間的聯(lián)系。5充分利用好課后習(xí)題的資源，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解本節(jié)15.2有這樣一道課后習(xí)題： 已知：如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線DE分別與邊AB、BC交于點(diǎn)D，E.求證：AB>AC這里需要添加輔助線DC，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題，筆者受此啟發(fā)，在線段的垂直平分線性質(zhì)運(yùn)用練習(xí)中，做了如下設(shè)置：首先幾何畫板拖動(dòng)線段AB垂直平分線上的點(diǎn)P（如圖），問(wèn)：此時(shí)PA與PB有怎樣的關(guān)系？為什么？ 接著將點(diǎn)P拖到線段AB的垂直平分線之外，再次追問(wèn)：此時(shí)PA與PB有怎樣的關(guān)系？如何來(lái)證明呢？設(shè)計(jì)意圖：首先點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí)，PA=PB，這是線段垂直平分線性質(zhì)的運(yùn)用，追問(wèn)的目的在于強(qiáng)調(diào)線段垂直平分線性質(zhì)的運(yùn)用條件：“點(diǎn)在線上”；而當(dāng)點(diǎn)P不在垂直平分線上時(shí)，就不具備了這個(gè)結(jié)論，接下來(lái)過(guò)度到垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，即需要添加輔助線EB，這里體現(xiàn)了一種轉(zhuǎn)化的思想，加深學(xué)生對(duì)于垂直平分線性質(zhì)的理解。對(duì)于圖3中數(shù)量關(guān)系的探究，首先引導(dǎo)學(xué)生猜想PA>PB，其次證明時(shí)讓學(xué)生聯(lián)系之前所學(xué)關(guān)于幾何線段的不等關(guān)系，很多同學(xué)容易聯(lián)想到13章學(xué)習(xí)的三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)而想到使PA成為三角形的兩邊之和。這里也是思考的難點(diǎn)所在，同時(shí)也是體會(huì)利用線段的垂直平分線性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。另外結(jié)合本節(jié)15.2課后習(xí)題2：已知：如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC=8，BC=5，則△BEC的周長(zhǎng)等于多少？筆者在上述環(huán)節(jié)之后設(shè)置了以下變式練習(xí)：（1）若PA+PB=8，求△PEB的周長(zhǎng)（2）若PA-PB=2，△PEB的周長(zhǎng)為8，求PB與PA設(shè)計(jì)意圖：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求三角形的周長(zhǎng)，是本小節(jié)的經(jīng)典題目，在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)變式練習(xí)，旨在加深對(duì)于這一轉(zhuǎn)化思想的體會(huì)，同時(shí)聯(lián)系方程的思想。結(jié)合本節(jié)15.2習(xí)題4：

已知：如圖，AB=CD，線段AC和BD的垂直平分線交于點(diǎn)E

求證：∠ABE=∠CDE筆者引導(dǎo)學(xué)生分析：要證角相等，我們可以怎么做？這里的線段垂直平分線條件如何來(lái)用？旨在引導(dǎo)學(xué)生明確線段垂直平分線的性質(zhì)可以得到線段相等，不僅可以用于前面的幾何計(jì)算，同時(shí)在幾何的論證中同樣發(fā)揮著重要作用。在此題的基礎(chǔ)上，筆者聯(lián)想到了往年的安徽中考題，（如下呈現(xiàn)），都較好的體現(xiàn)了垂直平分線的用法。（2015年安徽中考23題）如圖(1),在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線,過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,連接GA,GB,GC,GD,EF,若∠AGD=∠BGC.(1)求證:AD=BC;(2)求證:△AGD∽△EGF; AD

(3)如圖(2),若AD,BC所在直線互相垂直,求的值.EF 圖(1) 圖(2)

這里題目構(gòu)造圖形的方法是：“在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線,過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,連接GA,GB,GC,GD,EF,”，也就是考察了線段垂直平分線的性質(zhì)，進(jìn)而為證明三角形全等提供邊的條件。（2016年安徽中考題23題）如圖(1),A,B分別在射線OM,ON上,且∠MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形,分別是△OAP,△OBQ,點(diǎn)C,D,E分別是OA,OB,AB的中點(diǎn).(1)求證:△PCE≌△EDQ;

(2)延長(zhǎng)PC,QD交于點(diǎn)R.①如圖(2),若∠MON=150°,求證:△ABR為等邊三角形; AB②如圖(3),若△ARB∽△PEQ,求∠MON的大小和PQ 的值.圖(3)圖(1)圖(2)這里題目的第（2）小問(wèn)邊利用到了線段垂直平分線的性質(zhì)，首先需要連接輔助線RO，由性質(zhì)分別得到RO=RA，RO=RB，

通過(guò)兩次中考?jí)狠S題的呈現(xiàn)，體現(xiàn)了中考備考需要重視基礎(chǔ)，回歸課本。6注重?cái)?shù)學(xué)聯(lián)系生活

本節(jié)課后小練習(xí)中設(shè)置這樣一道題：公路同側(cè)的A，B兩村，共同出資在公路邊修離相建一個(gè)停靠站C，使?？空镜紸，B兩村距等.請(qǐng)你確定停靠站C的位置.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求，“數(shù)學(xué)教學(xué)素材應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)