向量組的線性相關性的判定

向量組的線性相關性的判定摘要：向量組的線性相關性是線性代數(shù)中的一塊基石，在它的基礎上我們推導和衍生出其它許多理論.本文利用線性相關性的定義，行列式的值，矩陣的秩，齊次線性方程組的解，弗朗斯基判別法等知識對向量組的線性相關性進行了判定，并比較了幾種不同判定方法的適用條件.關鍵詞：向量組；線性相關；行列式引言向量組的線性相關性在線性代數(shù)中起到貫穿始終的作用.線性相關性這個概念在許多數(shù)學專業(yè)課程中都有體現(xiàn)，如微分幾何，高等代數(shù)和偏微分方程等等.它是線性代數(shù)理論的基本概念，它與向量空間（包括基，維數(shù)），子空間等概念有密切關系，同時在微分幾何以及偏微分方程中都有廣泛的應用.因此，掌握線性相關性這個概念有著非常重要的意義，也是解決其它問題的重要理論依據(jù).向量組的線性相關與線性無關判定方法是非常靈活的.本文參考文獻［2］介紹了線性相關的定義及其性質，并給出了證明.文獻［1］、［3］、［4］、［5］則是介紹了關于向量組線性相關判定的幾種方法，給出了證明并舉出了幾個例子.本文從線性相關性的定義出發(fā)，分別運用了定義法、線性關系、向量空間的性質、矩陣的秩、行列式的值、反證法、線性變換的性質等幾種方法對向量組的線性相關性進行了判定.如果向量組是函數(shù)，那么可用弗朗斯基判別法判定.特別是反證法，線性變換的性質，弗朗斯基判別法運用于一些復雜和特殊的題目，是比較方便的.1.向量組線性相關性的相關定義及性質定義1.1⑴定義在P上的線性空間V，對于給定的一組向量x,x,…,x,TOC\o"1-5"\h\z2 n如果存在n個不全為0的數(shù)九,九，…,九，使得1 2 n九x+九x+???+九x=0.11 22 nn那么稱x,x,…,x是線性相關的?否則稱x,x,…,x是線性無關的.1 2 n 1 2 n性質1?1若x,x,…,x線性相關，則其中至少有一個向量可由其余n-1個1 2 n向量線性表示.證明二)若這n個向量線性相關，那么九x+九x+?—九x=0，11 22 nn其中九不全為0,不妨設九0，那么可解得ii九 九x=——1x—nx.i九1 九nii所以該結論是成立的?u)如果其中一個向量可由其余向量線性表示，那么這n個向量是線性相關的?這是因為如果設x=kx+kx+???kx+kx+???+kx，i 11 22 i—1i—1 i+1i+1 nn那么移項得kx+kx+???+kx+kx+?—+kx+(—x)=0.11 22 i-1i-1 i+1i+1 nn i顯然，x的系數(shù)為-1,那么由線性相關的定義知，這n個向量是線性相關的.i性質1?2含有零向量的向量組必是線性相關的?性質1?3單個向量線性相關的充要條件是這個向量是零向量?性質1.4若向量組a,a,a線性無關，a,a,a,B線性相關，那么卩TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n可由a,a，…,a線性表示.1 2 n，性質1.5如果向量組0,0，…,0的部分組12 m0,0，…,0(ke{1,2，…,n})k1k2 kmj線性相關，那么0,0，…,0也一定是線性相關的.即部分組線性相關，則整體線1 2 n性相關.向量組的線性相關與線性無關的概念也可應用于線性方程組.當方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時，這個方程就是多余的，那么稱方程組是線性相關的.反之，它們是線性無關的.2.向量組線性相關性的判定方法定義法定義法是判定向量組的線性相關性的最基本的方法 .對給定的n個向量x,x，…,x,只需令TOC\o"1-5"\h\z1 2 n九X+九X+? 九X=0.11 2 2 nn °根據(jù)題中的條件去求九,九，…,九即可.1 2 n當九,九，…,九不全為0時，X,X,X是線性相關的.當九,九，…,九全為0時,1 2 n 1 2 n 1 2 nX,X,X是線性無關的.1 2 n例1設a,a,a線性無關，證明a+a,a+a,a+a也線性無關.123122331證明設對于任意的k,k,k，有123k(a+a)+k(a+a)+k(a+a)=0.112223331整理得(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0.131122233由于a,a,a線性無關，得123k+k=0,1 3vk+k=0,12k+k=0.23解得k=0,1vk=0,2k=0.3所以a+a,a+a,a+a也線性無關.1 2 2 3 3 1

例2設1,x+1,x2+1€P[x]，判斷它們的線性相關性.n解設k,k,k€P，令123k+k(x+1)+k(x2+1)=0，123整理得(k+k+k)+kx+kx2=0,12323所以有k+k+k=0,1 2 3< k=0,2k=0.3解得k=k=k=0.123從而1,1+x,1+X2是線性無關的.利用向量空間的性質進行判定利用向量組的線性相關性的性質也可以判定很多題目.(1「(0'判斷a=0,a=2,a1O2、0,3例3(1]例3=1的相關性.l0丿證明由題意可得1a=a+—a,122那么由性質1.1知，a,a,a是線性相關的.123這種判定方法適用于具體的題目，一般不用于理論分析.定理2.2.2n維向量空間中任意n+1個向量是線性相關的.例4設V是P上的線性空間，b是V上的線性變換.證明QQ2,...Qn2是線性相關的.證明設L(V)是V上所有的線性變換組成的集合，L(V)關于線性變換的加法和數(shù)乘運算構成一個向量空間?而L(V)的維數(shù)為n2，又因為所以由定理2.2.2知O,O2,…Qn2是線性相關的.從上面的例題可以看出，運用線性相關性的性質判斷相關性是比較方便的，因此熟練地掌握線性相關性的性質顯得尤其重要.利用齊次線性方程組的解進行判定在應用定義法解一個齊次線性方程組時，需由該方程組的解去判定這個向量組的相關性.即用定義法的同時也應用了齊次線性方程組的解進行了判定.一般地，要判斷一個向量組a=(a,a，…，a)i i1i2 in是否線性相關就是看方程xa+x +xa=0 (1)1 1 2 2 nn有無非零解.從這里可以看出，如果向量組線性無關，那么在每一個向量上添加一個分量得到的n+1維的向量組卩=(a,a，…,a,a)也是線性無關的.i i1i2 inin+1把(1)寫出來就是xa+xa+???+xa=0,111 212 n1nxa+xa+???+xa=0,<121 222 n2n (2),???xa+xa+???+xa=0.1n1 2n2 nnn因之，(1)線性相關的充要條件是(2)有非零解[2].因此具體判斷一個向量組是線性還是線性無關的問題可以歸結為解方程組的問題.例5設x=(—1,1,1),x=(—2,1,2),x=(—1,2,—1),試判斷它們是否線性相關.123解令kx+kx+kx=0.112233即-k-2k-k=0,1 2 3<k+k+2k=0,1 2 3k+2k一k=0.1 2 3解得「k=0,1<k=0,2k=0.3故x,x,x是線性無關的.123利用矩陣的秩判定向量組的線性相關性定理2.4.1設向量組a,a,???,?,是由m個n維列向量所組成的向量組，則向TOC\o"1-5"\h\z1 2 m量組a,a,a的線性相關性可由該向量組所構成的矩陣12mA=(a,a，…,a)1 2 m的秩來決定[3].TOC\o"1-5"\h\z若R(A)=m,a,a，…,a是無關的；\o"CurrentDocument"1 2 m若R(A)<m，那么a,a,a就是相關的.1 2 m定理2.4.2⑷設B是階梯型矩陣，矩陣A經(jīng)過一系列的行消法變換之后得到B，即laT丿m那么n元向量組a,a，…,a線性相關的充要條件是矩陣B中出現(xiàn)零行..1 2 m推論⑹向量組a,a,...,a線性無關的充要條件是矩陣B中不出現(xiàn)零行.1 2 m對矩陣AT進行初等行變換化為階梯型矩陣B的過程，實質上是對a,a，…,a進行行向量的線性運算.如果B中出現(xiàn)零行，那么a,a，…,a中一定TOC\o"1-5"\h\z1 2 m 1 2 m有某個向量能被其余的m-1個向量線性表示，即a,a，…,a線性相關.相反地，1 2 m若B中無零行，那么可知a,a,...,a是線性無關的.1 2 m例6判斷向量組P二(1,3,—4,6,2),P二(2,4,—5,3,2),P二(4,6,—7，&3)的相1 2 3關性.解將P,P,P以行排成矩陣，且經(jīng)過一系列行消法變換，即12362'r13—462、320—22—9—283丿<003111丿由于矩陣A化為階梯型之后沒有出現(xiàn)零行,所以它們線性無關.例7設a=(2,1,2,2,—4),a=(1,1,—1,0,2),a=(0,1,2,1,—1),a=(—1,—1,—1,—1,1),a=(1,2,1,1,1)1 2 3 4 5試判斷它們的線性相關性并求它們的一個極大無關組.解將a，a，a，a,a寫成列向量，拼成一個矩陣，并進行初等行變換，12345將此矩陣化為階梯型.r210-111r111-121111-120-1-21-32-12-110-2200201-110-1100「42-111丿<021-13丿r111-121r111-12101-10001-1000031-30031-300-31-300000<00000丿<00000丿所以a，a，a，a,a是線性相關的，從最后一個矩陣可以看出，a,a,a為向1 2 3 4 5 1 2 3量組的一個極大無關組.

本方法把對向量組相關性的判別方法轉化為矩陣的初等行變換，簡單易懂.但該方法只適用于對Pn中的向量組進行判定，有很大的局限性.2.5利用行列式的值來判定向量組的線性相關性定理2.5.1如果向量組a,??,???,a是由n個n維列向量所組成的向量組，且1 2 n向量組所構成的矩陣A二(a,a，…,a)，也就是說，A為n階方陣，那么1 2 n(1)若|A|=0，則向量組a,a，…,(1)若|A|=0，則向量組a,a，…,a12是線性相關的;(2)若|A|豐0，則向量組a,a，…,a12是線性無關的.例8r2]〔11已知a=1,a=3,a=41丄2<4丿3<2丿n,試討論它們的線性相關性.證明由于a,a,a123121121134=013142021121013二—5，|A|—5所以a,a,a線性無關.123行列式的值的判定性質實質上是根據(jù)克萊姆法則判定以向量組作為系數(shù)向量的齊次線性方程組是否有非零解，然后再對向量組的線性相關性作出判定.但是該方法的局限性在于只有符合向量組的個數(shù)和單個向量的分量個數(shù)相等的條件時才用此法.2.6反證法在有些題目中，直接的給出證明結論往往比較困難，而從結論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知的定義，定理，公里相悖的結果，從而說明原結論成立.例9設向量組a,a,a中任一向量不是它前面向量的線性組合，且1 2 na鼻0，證明向量組a,a,a是線性無關的.1 1 2 n證明如果此向量組線性相關，則存在不全為0的n個數(shù)，使得ka+ka+???+ka=0.1 1 2 2 nn假設k工0,那么由上式可得nTOC\o"1-5"\h\zkk ka=—―fa——2a—.…一一n-ia.nkik2 k n—in n n即可由它前面n—1個向量線性表示，故與題設矛盾，所以k=0n且ka+ka+?—+ka=0.TOC\o"1-5"\h\z11 22 n—1n—1 °同理可得k=k=???=k=0，n—1 n一2 2所以有ka=0.由于aH0，所以k=0，即1111k=k=???=k=0.1 2 n這與k不全為0相矛盾.所以該向量組是線性無關的.i2.7利用線性變換的性質進行判定引理2.7.1設V是數(shù)域P上的線性空間，a是V上的一個線性變換，a,a，…，agV，若a,a，…，a線性相關，則a(a)q(a)，…q(a)也是線性相1 2 n 1 2 n 1 2 n關的.證明 由于a,a,a線性相關，那么存在不全為0的數(shù)k,k，…,k使得1 2 n 1 2 nka+ka+?—fka=0.1 1 2 2 nn由于C是V上的線性變換，那么有o(ka+ka+???+ka)=0.1 1 2 2 nn即kc(a)+kc(a)+???+kc(a)=0.TOC\o"1-5"\h\z112 2 n n因此，o(a),o(a),???,c(a)是線性相關的.1 2 n但是該定理反過來不一定成立.即c(a),o(a),???,c(a)線性相關，1 2 na,a，…,a并不一定也是線性相關的.若c為零變換，假設a,a，…,a是線性無1 2 n 1 2 n關的，零變換把a,a，…,a全部變成零向量，它們是線性相關的，從而滿足該1 2 n條件，但是a,a，…,a是線性無關的.1 2 n推論設V是數(shù)域P上的線性空間，c是V上的一個線性變換，若c(a),c(a),???,c(a)是線性無關的，那么a,a，…,a也是線性無關的.1 2 n 1 2 n定理2.7.1設V是數(shù)域P上的線性空間，c是V上的一個線性變換，且c是V中可逆的線性變換，線性空間V中的向量組a,a,a線性相關的充要條件是1 2 n它們的象c(a),c(a),???,c(a)線性相關.1 2 n證明=)若a,a,…,a線性相關，則存在不全為0的數(shù)k,k，…k，使得1 2 n 1 2 nka+ka+???+ka=0.1 1 2 2 nn那么kc(a)+kc(a)+???+kc(a)=0.TOC\o"1-5"\h\z112 2 n n所以c(a),c(a),???,c(a)是線性相關的.1 2 nu)若c(a),c(a),???,c(a)線性相關，則存在不全為0的數(shù)k,k，…k，使1 2 n 1 2 n由于是可逆的，從而所以1,2,綜上所述，()k(1由于是可逆的，從而所以1,2,綜上所述，()k(1那么有(k1也是線性相關的.該定理是成立的.n)0n0，2.8運用弗朗斯基判別法進行判定如果向量組是由函數(shù)組成的話該怎么判定呢？而弗朗斯基判別法主要是判定多項式的相關性的.定理2?8?1(弗朗斯基判別法) 設f(x),g(x),h(x),…w(x)是n個n1次可導的函數(shù)，若w(x)

w'w(x)

w'(x)0，f(x)f'(x)g(x)g'(x)h(x)h'(x)f(n1)(x)g(n1)(x)h(n1)(x)...w(n1)(x)則f(X),g(x),h(x),w.(x)就是線性無關的.例10判斷l(xiāng),cosx,sirx的相關性.解