中考圓知識點總結(jié)復習

-z.初中圓復習一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線〔也叫中垂線〕；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓點在圓；2、點在圓上點在圓上；3、點在圓外點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離〔圖1〕無交點；外切〔圖2〕有一個交點；相交〔圖3〕有兩個交點；切〔圖4〕有一個交點；含〔圖5〕無交點；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：〔1〕平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。弧?〕弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。弧?〕平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：①是直徑②③④弧?、莼』≈腥我?個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：①；②；③；④弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角∴2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在⊙中，∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：假設(shè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注意：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓接四邊形圓的接四邊形定理：圓的接四邊形的對角互補，外角等于它的對角。即：在⊙中，∵四邊是接四邊形∴九、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑〔如上圖〕推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分十一、圓冪定理1、相交弦定理：圓兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙中，∵弦、相交于點，∴推論：如果弦與直徑垂直相交，則弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在⊙中，∵直徑，∴2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在⊙中，∵是切線，是割線∴3、割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等〔如右圖〕。即：在⊙中，∵、是割線∴十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、兩點∴垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：〔1〕公切線長：中，；〔2〕外公切線長：是半徑之差；公切線長：是半徑之和十四、圓正多邊形的計算〔1〕正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計算在中進展：；〔2〕正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進展，：〔3〕正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進展，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：〔1〕弧長公式：；〔2〕扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積2、圓柱：〔1〕圓柱側(cè)面展開圖=〔2〕圓柱的體積：3、圓錐側(cè)面展開圖〔1〕=〔2〕圓錐的體積：十六、切圓及有關(guān)計算。〔1〕三角形切圓的圓心是三個角平分線的交點，它到三邊的距離相等?！?〕△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則切圓的半徑r=。BOAD〔3〕S△ABC=BOAD〔4〕弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C練習題1．假設(shè)⊙O的半徑為4cm，點A到圓心O的距離為3cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系是()A．點A在圓B．點A在圓上c．點A在圓外D．不能確定2．⊙O的半徑為5,弦AB的弦心距為3,則AB的長是3．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點，點P是直徑MN上一個動點，則求PA+PB的最小值_N_N_M_B_A__P_O4如圖2，BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點E，假設(shè)∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為5．與直線L相切于點的圓的圓心的軌跡是______．6．直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則它的外接圓半徑R=______，切圓半徑r=______．7．⊙O的半徑為6，⊙O的一條弦AB為6，以3為半徑的同心圓與直線AB的位置關(guān)系是．8．PA、PB是⊙O的切線，切點是A、B，∠APB=50°，過A作⊙O直徑AC，連接CB，則∠PBC=______．9．如圖4，AB是⊙O的直徑，弦AC、BD相交于P，則CD∶AB等于A．sinBPC B．cosBPC C．tanBPC D．cotBPC圖4圖510．如圖5，點P為弦AB上一點，連結(jié)OP，過PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，假設(shè)AP=4，PB=2，則PC的長是A． B．2 C．2 D．311．圓的最大的弦長為12cm，如果直線與圓相交，且直線與圓心的距離為d，則A．d<6cmB．6cm<d<12cmC．d≥6cmD．d>12cm12．如圖6，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，P為切點，設(shè)AB=12，則兩圓構(gòu)成圓環(huán)面積為______．圖6圖713．如圖7，PE是⊙O的切線，E為切點，PAB、PCD是割線，AB=35，CD=50，AC∶DB=1∶2，則PA=______．14．如圖8，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，且BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線．圖815.如圖，AB既是⊙C的切線也是⊙D的切線，⊙C與⊙D相外切，⊙C的半徑r=2，⊙D的半徑R=6，求四邊形ABCD的面積。16．如圖10，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC于E，求證：(1)AC是⊙O的切線．(2)假設(shè)AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直徑．(12分)圖1017．如圖11，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC2=PE·PO．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)假設(shè)OE∶EA=1∶2，PA=6，求⊙O的半徑；(3)求sinPCA的值．(12分)圖1118．如圖，⊙O的兩條割線AB、AC分別交圓O于D、B、E、C，弦DF//AC交BC于C．〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)CF＝AE．求證：△ABC為等腰三角形．19.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠1=∠C，〔1〕求證：CB∥PD；〔2〕假設(shè)BC=3，sinP=，求⊙O的直徑。20．如圖，△ABC接于⊙O，AB是⊙O的直徑，PA是過A點的直線，∠PAC＝∠B．〔l〕求證：PA是⊙O的切線；〔2〕如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3，求AB的長和∠ECB的正切值．21．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，求證：〔l〕AC是⊙D的切線；〔2〕AB＋EB＝AC．22．如圖，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙；與⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足為E．〔l〕求證：AD＝DC；〔2〕求證：DE是⊙的切線；〔3〕如果OE＝EC，請判斷四邊形OED是什么四邊形，并證明你的結(jié)論．考點一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用利用與圓相關(guān)的概念來解決一些問題是必考的容，在復習中準確理解與圓有關(guān)的概念，注意分清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.

1.運用圓與角〔圓心角，圓周角〕，弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進展解題【例1】：如下圖，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓交AB于D，求弧AD的度數(shù).【例2】如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠AOC=100°，則∠ABC的度數(shù)為〔〕.

Ａ.30°

Ｂ.45°

Ｃ.50°

Ｄ.60°

2.利用圓的定義判斷點與圓，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

【例3】⊙O的半徑為3cm，A為線段OM的中點，當OA滿足：

〔1〕當OA=1cm時，點M與⊙O的位置關(guān)系是.

〔2〕當OA=1.5cm時，點M與⊙O的位置關(guān)系是.

〔3〕當OA=3cm時，點M與⊙O的位置關(guān)系是.

【例4】⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是〔〕.

Ａ.相交Ｂ.相切Ｃ.相離Ｄ.無法確定【例5】兩圓的半徑分別為3cm和4cm，圓心距為2cm，則兩圓的位置關(guān)系是______________.3.正多邊形和圓的有關(guān)計算

【例6】正六邊形的周長為72cm，求正六邊形的半徑，邊心距和面積.

4.運用弧長及扇形面積公式進展有關(guān)計算

【例7】如圖，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點E，則陰影局部的面積為〔結(jié)果保存〕.

5.運用圓錐的側(cè)面弧長和底面圓周長關(guān)系進展計算

【例8】圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的母線長與底面半徑長的比是.

考點二：圓中計算與證明的常見類型1.利用垂徑定理解題

垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過圓心，它們在圓常常構(gòu)成圓周角、等分線段、直角三角形等，從而可以應(yīng)用相關(guān)定理完成其論證或計算.

【例1】在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點P，夾角為30°，且分直徑為1∶5兩局部，AB=6，則弦CD的長為.

Ａ.2Ｂ.4Ｃ.4Ｄ.22.利用“直徑所對的圓周角是直角〞解題

“直徑所對的圓周角是直角〞是非常重要的定理，在解與圓有關(guān)的問題時，常常添加輔助線構(gòu)成直徑所對的圓周角，以便利用上面的定理.

【例2】如圖，在⊙O的接△ABC中，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD=∠OCB.

3.利用圓接四邊形的對角關(guān)系解題

圓接四邊形的對角互補，這是圓接四邊形的重要性質(zhì)，也提醒了確定四點共圓的方法.【例3】如圖，四邊形ABCD為圓接四邊形，E為DA延長線上一點，假設(shè)∠C＝45°，AB＝，則點B到AE的距離為________.

4.判斷圓的切線的方法及應(yīng)用判斷圓的切線的方法有三種：〔1〕與圓有惟一公共點的直線是圓的切線；

〔2〕假設(shè)圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，則該直線是圓的切線；

〔3〕經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【例4】如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是線段BC的中點.

〔1〕試判斷點D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.

〔2〕過點D作DE⊥AC，垂足為點E，求證：直線DE是⊙O的切線.【例5】如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F，求證CD與⊙O相切.

【例6】如圖，半圓O為△ABC的外接半圓，AC為直徑，D為劣弧上一動點，P在CB的延長線上，且有∠BAP=∠BDA.求證：AP是半圓O的切線.【課堂穩(wěn)固練習】選擇題：1.⊙O的半徑為R，點P到圓心O的距離為d，并且d≥R，則P點［］A.在⊙O或圓周上B.在⊙O外C.在圓周上D.在⊙O外或圓周上2.由一點P到圓上各點的最大距離為5，最小距離為1，則圓的半徑為［］A、2或3B、3C、4D、2或43.如圖，⊙O中，ABDC是圓接四邊形，∠BOC=110°，則∠BDC的度數(shù)是［］A.110°B.70°C.55°D.125°4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一條半徑，則劣弧AB的度數(shù)等于［］A.30°B.120°C.150°D.60°5.直線ａ上有一點到圓心O的距離等于⊙O的半徑，則直線ａ與⊙O的位置關(guān)系是［］Ａ、相離Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交6、如圖，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于點Ｂ、Ｃ，假設(shè)PA＝5，PB＝BＣ，則ＰＣ的長是［］Ａ、10Ｂ、5Ｃ、Ｄ、7．如圖，*城市公園的雕塑是由3個直徑為1m的圓兩兩相壘立在水平的地面上，則雕塑的最高點到地面的距離為［］A．B.C.D.8、兩圓的圓心距是9，兩圓的半徑是方程2*2－17*+35=0的兩根，則兩圓有［］條切線。1條B、2條C、3條D、4條9、如果等腰梯形有一個切圓并且它的中位線等于20cm，則梯形的腰長為［］Ａ、１０ｃｍＢ、１２ｃｍＣ、１４ｃｍＤ、１６ｃｍ10、如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，且AO1、AO2分別是兩圓的切線，A是切點，假設(shè)⊙O1的半徑r=3，⊙O2的半徑R=4，則公共弦AB的長為［］A、2B、4.8