集合典型例題

集合的含義及其表示（一）集合元素的互異性1.已知xR，則集合{3,x,x22x}中元素x所應(yīng)滿足的條件為變式：已知集合A{a2,(a1)2,a23a3}，若1A，則實(shí)數(shù)a的值為_______Ma,b,c中三個(gè)元素可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，那么此三角形可能是①直角三角形 ②銳角三角形 ③鈍角三角形 ④等腰三角形（二）集合的表示方法用列舉法表示下列集合（1）A{x|x|a||b|,a,b為非零實(shí)數(shù)}ab__________________________變式：已知a,b,c為非零實(shí)數(shù),則abcabc的值組成的集合為___|a||b||c||abc|（2）A{(x,y)|y6Z,xN*}____A{(1,3),(2,6),(4,6),(5,3),(6,2),(9,1)}3x變式1：AxxN,12N6x變式2：A x,y x y 6,x N ,y N（3）集合A{x|xZ,2x2},B{y|yx2,},用列舉法表示集合BxA（4）已知集合M=6N*}，則集合M中的元素為a5變式：已知集合M=6Z|aN*}，則集合M中的元素為{a用描述法表示下列集合（1）直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn) _______________________________變式：直角坐標(biāo)平面中一、三象限角平分線上的點(diǎn) ______________（x,y)y x,x R（2）能被3整除的整數(shù) _______________________

xx 3n,n Z.3.已知集合A0，1，BxxA，CxxA（1）用列舉法寫出集合B,C；（2）研究集合A,B,C之間的包含或?qū)儆陉P(guān)系4.命題(1)0x20；(2)00,0；(3)0；(4)0N表述正確的是.使用和和數(shù)集符號(hào)來替代下列自然語言：（1）“255是正整數(shù)”（2）“2的平方根不是有理數(shù)”（3）“3.1416是正有理數(shù)”（4）“-1是整數(shù)”（5）“x不是實(shí)數(shù)”6.用列舉法表示下列集合：（1）不超過30的素?cái)?shù)（2）五邊形ABCDE的對(duì)角線（3）左右對(duì)稱的大寫英文字母（4）60的正約數(shù)7.用描述法表示：若平面上所有的點(diǎn)組成集合E，AE,BE（1）平面上以A為圓心，5為半徑的圓上所有點(diǎn)的集合為_________PEPA5（2）說明下列集合的幾何意義：PEPA5；PEPAPB8.當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，集合xaxb0是有限集？無限集？空集？9.元素0、空集、0、三者的區(qū)別？請(qǐng)用描述法寫出一些集合A，使它滿足：i）集合A為單元素集，即A中只含有一個(gè)元素；ii）集合A只含有兩個(gè)元素；iii）集合A為空集試用集合概念分析命題：先有雞還是先有雞蛋？解釋：表述問題時(shí)把有關(guān)集合的元素說清楚，大有好處。先有雞還是先有雞蛋？讓我們運(yùn)用集合概念來分析它。設(shè)地球上古往今來的雞組成一個(gè)集合J，孵出了最早的雞的蛋算不算雞蛋呢？這是關(guān)鍵問題。 設(shè)所有的雞蛋組成集合 D，要確定D的元素，就得立個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，說定什么是雞蛋，一種定義方法是：雞生的蛋才叫雞蛋；另一種定義方法是：孵出了雞的蛋和雞生的蛋都叫雞蛋。如果選擇前一種定義，問題的答案只能是先有雞；選擇后一種定義，答案當(dāng)然是先有雞蛋。至于如何選擇，不是數(shù)學(xué)的任務(wù)，那是生物學(xué)家的事。（三）空集的性質(zhì)若?{x|x2≤a，a∈R}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________2. 已知a是實(shí)數(shù)，若集合｛ x|ax＝1｝是任何集合的子集，則 a的值是 _______.0下列三個(gè)集合中表示空集的是(1){0}

；(2){(

x,

y)|

y2=-x2,

x∈R，y∈R}；(3){

x∈N|2x2+3x-2=0}.變式

1：若集合 A

{y|y

x},B

{x|y

1 x},

則A

B=_______變式

2：若集合

A

1,0,1

，B

y|y

cos(x),x

A，則AI

B

_____

1,1（四）集合相等1.已知集合A=a,b,1，B=a2,ab,0，若A=B，則a2004b2003_____a2.已知集合A1,1x,12x，集合B1,y,y2，且AB，求實(shí)數(shù)x和y的值.3.已知A{2,2010,x21},B{0,2010,x23x},且AB，則x的值為________已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，試求x，y的值．5. 已知集合P 1,1d,1 2d,Q 1,q,q2,且P Q，則d __,q __兩個(gè)集合只要元素相同，就認(rèn)為它們是相同的，從這個(gè)角度出發(fā)，試回答下列問題：（1）用列舉法分別寫出下列集合： A a Z 2 a 4；B b Z 2 b 4（2）請(qǐng)你判斷兩集合 A和集合B是否相等？集合方程問題1.若集合Ax|ax2bx10,xR（1）若A1,1，求a,b的值；（2）若A1，求a,b的值2.若集合{x|ax2x10}有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值集合為.3.設(shè)yx2axb,Axyxa，求a,b.4.已知集合Axax22x10,xR，a為實(shí)數(shù).1）若A是空集，求a的取值范圍；2）若A是單元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍．5.已知集合Aa關(guān)于x的方程x241有惟一解，用列舉法表示集合A為.xa變式：若分式方程的分子和分母對(duì)調(diào)，結(jié)論如何？子集、全集、補(bǔ)集1.集合A{x|kx10}，集合B{x|xk0}，若，的取值集合為______ABk．．．．2.設(shè)集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|y2=3}，則CUA=.x13.M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a1}.若MN，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4.若Axx22(a1)xa210，B={x|x22，若A-4x=0}，C={x|x-8x+16=0}BＵC,求實(shí)數(shù)a的取值范圍5.A{xx1或x2}B{x4xa0}，當(dāng)BA時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____，6.已知集合A{x1ax2}，B{xx1}，滿足AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____變式：已知集合Ax0ax15，集合B1x2x21）若2）若

B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍B A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（3）A、B能否相等？若能，求出 a的值；若不能，試說明理由7.已知集合Mx|3a1x2a，Nx|1x3，若N≠CRM，實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________8.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，AB{2},(CUA)(CUB){1,9},(CUA)B{4,6,8}，則A,B.9.設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0,若(CUA)B，m=________10.已知全集U{0,1,2,3}，若CuM{1,3,a2a}，則a的值為____________11.若集合A{x|0x2}.分別求出當(dāng)全集為下列集合時(shí)的eUA.(1)UR；(2)U{x|x1}；(3)U{x|0x3}.12.若集合M{xx2x60}，N{x(x2)(xa)0}，且NM，則實(shí)數(shù)a的值為_______13. 已知集合 A {2,4,6,8,9}，B {1,2,3,5,8}，是否存在集合 C，使C中的每個(gè)元素加上2就變成了 A的一個(gè)子集，且 C中的每個(gè)元素減去 2就變成了 B的一個(gè)子集？若存在，求出集合 C；若不存在，說明理由14.U{1,2}，A{xx2pxq0}，CuA{1}，則pq____15.寫出滿足條件{a}M{a，b，c，d}的集合M16.已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B=17.設(shè)集合A1,2,3,4,5,6,B4,5,6,7,則滿足SA且SIB的集合S的個(gè)數(shù)為____________5618.已知集合Axx2pxq0,Bxqx2px10同時(shí)滿足：AIB,-2A，求實(shí)數(shù)p,q的值.解：兩式相減，得p5,q1或p1,q2或p3,q2219.已知集合Ayy2x1,0x1,Bx(xa)x(a3)0，分別根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.（1）AIBA；（2）AIB（1）-2，-1；（2）-4,120.Axax40，Bxx24x30，Cx2x2mx80xa（1）若3A，求a的取值范圍；（2）若4A，求a的取值范圍；（3）若BCC，求m的取值范圍.（4）若BC，求m的取值范圍21.有限集中有一個(gè)特殊的集合，約定“空集是任何集合的子集”，為什么要作出這樣的約定？任何一個(gè)約定式定義，它必須遵循：① 規(guī)定的必要性；② 規(guī)定的合理性。1）必要性：從子集的定義可知，子集定義中所涉及的集合不包括空集。為了完善子集定義，約定空集是任何集合的子集是必要的；2）合理性：由子集的定義顯然有任何一個(gè)集合是它本身的子集，但是，上述這個(gè)結(jié)論中的“任何一個(gè)集合”，也是不包括空集的，只有規(guī)定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述結(jié)論對(duì)每一個(gè)集合（包括空集）都成立，這就是約定的合理性。請(qǐng)問是否存在這樣的集合，它的某一個(gè)元素同時(shí)又是它的子集？若存在，請(qǐng)舉例；若不存在，請(qǐng)說明理由。 A , B 1,1等等；【拓展思考】 請(qǐng)你給出一個(gè)集合，使它的兩個(gè)元素同時(shí)也是它的子集，符合條件的集合，可以只含有這兩個(gè)元素嗎？ C 1,2,1,2 ；可以，集合 D ,元素和相等的子集（i）設(shè)集合M 1,3,4,6,8,9,是否存在兩個(gè)無共同元素的子集，兩子集元素之和相等？（ii）在1~9這9個(gè)數(shù)字中任取 6個(gè)不同的數(shù)組成集合 M，請(qǐng)問符合條件（ 1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的結(jié)論？【拓展思考】若將集合M的元素個(gè)數(shù)變?yōu)?7~9種的任一個(gè)，結(jié)論如何？與其子集元素個(gè)數(shù)一樣多的集合是否存在這樣的集合，它所含的元素的個(gè)數(shù)與它的某個(gè)真子集所含元素的個(gè)數(shù)一樣多？【拓展思考】 請(qǐng)你寫出幾個(gè)符合條件的無限集約數(shù)集的個(gè)數(shù)設(shè)非空集合

S

N

，且滿足條件“如果

x S，那么

16

S”x（i

）請(qǐng)你寫出一個(gè)只含有一個(gè)元素的集合

S；（ii

）只含有三個(gè)元素的集合

S只有是否唯一？若不唯一，請(qǐng)寫出兩個(gè)不同的集合

S？（iii

）滿足題設(shè)的集合

S共有幾個(gè)？（iV）對(duì)非空集合

S

N

，若使集合

S所含元素的個(gè)數(shù)不超過四個(gè)，

那么題設(shè)條件可以改為_______________________交集、并集運(yùn)算1.已知Axyx1,Byy2x1,xR，則AIB_________變式1：若集合M{y|y2x},P{y|yx1}，則M∩P=:2.設(shè)集合A{x|x10或x40},B{x|2axa2}1）若AIB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________2）若AIBB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________3.已知集合A={x|y1x2,xZ},B{y|y2x1,xA},則AB=4.已知集合Axa1xa4，Bxx2或x5，全集UR（1）若AIB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若ACuB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍5.集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80滿足AIB,，AIC,實(shí)數(shù)a的值為6.已知全集Ux|0x9,Ax|1xa，若非空集合AU，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________7.若集合A{x2x1或x1}，B{xaxb}，且AB{xx2}，AB{x1x3}，則a___________，b___________8.已知集合A{xxa}，B{x1x2}，且AU(CRB)R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是9. 已知非空集合 A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，則能使A (A∩B)成立的所有a值的集合是10. 已知A={a1，a2，a3，a4}，B={a12,a22,a32,a42}，其中a1<a2<a3<a4，a1，a2，a3，a4∈N，若

A∩B={a1，a4}

，a1+a4=10，且

A∪B所有元素和為

124，則集合

A=

B=11. 設(shè)集合

A

直線，B

圓，則

A

B的元素個(gè)數(shù)為

____________12. 設(shè)集合

A