9數(shù)列與數(shù)學文化

1.（2019山東新高考適應性調(diào)研）〃中國剩余定理〃又稱〃孫子定理〃.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中〃物不知數(shù)〃問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法復合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為〃中國剩余定理’.〃中國剩余定理’講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1至2018這2018個數(shù)中，能被3除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列a/，則此數(shù)列共有（）A.98項 B.97項 C.96項 D.95項解析能被3除余1且被7除余1的數(shù)就只能是被21除余1的數(shù)，故a=21nn-20,由1%仔2018得1vnv97,又n^N*,故此數(shù)列」共有97項.答案B2.（數(shù)學文化）著名的斐波那契數(shù)列{an}:1,1,2,3,5,8,???，滿足a】二a2二TOC\o"1-5"\h\z1,an+2=an+1+an,n^N-那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契數(shù)列的第 項.解析1+a3+a5+a7+a9+_+a2017=a2+a3+a5+a7+a9+_+a2017=a4+a+a+a++a=a+a+a++a=a+a++a==a5 7 9 …2017 6 7 9 …2017 8 9 …2017 …2+a=a ，即為第2018項.016 2017 2018答案20183.（2019北京海淀區(qū)質(zhì)檢）中國古詩詞中，有一道〃八子分綿”的數(shù)學名題：〃九百九十六斤綿，贈分八子作盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言’.題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是（）丸174斤 B.184斤C.191斤 D.201斤解析用a「a2,…，a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿數(shù)，由題意得數(shù)列a「a2，…，a8是公差為17的等差數(shù)列，且這8項的和為996,8x7??.8a+° x17=996,解之得a=65.1??a=65+7x17=184,即第8個兒子分到的綿是184斤.8答案B.（2018北京卷）"十二平均律"是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為（設此數(shù)列為｛an｝，則之二12戶f,即第八個單音的頻率為;產(chǎn)f.答案D.（2017全國口卷）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：〃遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，目相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞解析設塔的頂層的燈數(shù)為a/七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則依題意S7=381,公比q=2;一：I)=381,解得a=3.12 1答案B.某同學利用暑假時間到一家商場勤工儉學該商場向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；第二種，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此類推；第三種，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他應該選擇哪種方式領取報酬呢？解設該學生工作n天，每天領工資a元，共領工資5元，則第一種方案an n n(1)二38,Sn(1)=38n；第二種方案a。⑵=4n,Sn⑵=4(1+2+3+...+n)=2n2+2n；04(1-2)第三種方案a"0.4x2n-1，S，=.(n)=0.4(2n-1).n(3) n(3) 1^^-令S 2s 即38n22n2+2n，解得nw18,即小于或等于18天時，第一種方案比第二種方案報酬高(18天時一樣高).令Sn(1)2Sn(3)，即38n“"心-1)，利用計算器計算得小于或等于9天時，第一種方案報酬高，所以少于10天時，選擇第一種方案.^10(3)>^10(2)，?…Sn(3)>^n(2).比較第二、第三種方案，S10⑵^10(3)>^10(2)，?…Sn(3)>^n(2).所以等于或多于10天時，選擇第三種方案..某廠2019年投資和利潤逐月增加，投入資金逐月增長的百分率相同，利潤逐月增加值相同.已知1月份的投資額與利潤值相等，12月份投資額與利潤值相等，則全年的總利潤3與總投資N的大小關系是（）A.3>N B.3<NC.3=N D.不確定解析投入資金逐月值構(gòu)成等比數(shù)列Q｝，利潤逐月值構(gòu)成等差數(shù)列｛a/，等比數(shù)列｛%｝可以看成關于n的指數(shù)式函數(shù)，它是凹函數(shù)，等差數(shù)列｛aj可以看成關于n的一次式函數(shù).由于ai=bi，己"二相當于圖象有兩個交點，且兩交點間指數(shù)式函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，所以全年的總利潤=a]+a2+...+ai2比總投資N=bi+b2+...+bi?，故選A.答案A.（20i7全國卷口）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：〃遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?〃意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈： ）解析：選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為n｝，貝喻7項的和S7二381,a -2.公比q=2,依題意，得S二上一^_二381,解得a=3.7 1-2 1.［數(shù)學建模一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒開機時占據(jù)內(nèi)存1KB，然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機 分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB=210KB).解析：由題意可知，病毒每復制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)烈｝，且ar2,q=2,：a「2n，?-2n=64x210=216,：n=16,即病毒共復制了16次.所需時間為16、3=48(分鐘).答案：48.(1)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：〃三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相謨大意為：〃有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.〃則此人第4天和第5天共走了( )A.60里 B.48里C.36里 D.24里(2)(2019北京東城區(qū)模擬)為了觀看2022年的冬奧會，小明打算從2018年起，每年的1月1日到銀行存入2元的一年期定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.2到22年的1月1日不再存錢而是將所有的存款

和利息全部取出，則可取回 元.［解桐⑴由題意知，此人每天走的里數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列^},( 1、a1設等比數(shù)列的首項為a，則a1設等比數(shù)列的首項為a，則1 -'7=378,1-211解得a=192,所以a=192x1=24,a=24x1=12,1 4 8 5 2貝Ua4+a5=24+12=36,