二次函數(shù)與面積計(jì)算問題

二次函數(shù)與面積計(jì)算問題第1頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1:已知拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)位于B點(diǎn)的左側(cè)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為P，S△AOC=______________

S△BOC=_______

43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)第2頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日S△COP=_______

S△PAB=_______

43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)第3頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日S△PCB=_______

(3,0)43212OACPB(0,3)(-1,0)(1,4)S△ACP=_______

EFFDE第4頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A，B兩點(diǎn)的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值。（2004紹興中考題）

M

x

y

A

B

C

O

-1

3

第5頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二次函數(shù)中面積問題常見解決方法：一、運(yùn)用二、運(yùn)用四、運(yùn)用分割三、運(yùn)用相似第6頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日BC鉛垂高水平寬ha圖2AxCOyABD11圖1例1：如圖1，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1，4)，交x軸于點(diǎn)A(3，0)，交y軸于點(diǎn)B。（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝S△CAB

，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。一、運(yùn)用第7頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日xCOyABD11圖2P（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h

第8頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日AxyBO練習(xí)1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．第9頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日AxyBO解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于M．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．M代入坐標(biāo)易得所求拋物線的解析式為y＝x

2＋x．

C（3）存在．直線AB的解析式為y＝x＋

x＝－1代入直線AB的解析式∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，)P

當(dāng)x＝－時(shí)，△PAB的面積有最大值，最大值為（2）設(shè)經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為第10頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.如圖，拋物線y＝－x

2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(－3，0)兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；PQOBACyxP第11頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）在（1）中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．QOBACyxP第12頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日ABMPONxyx＝my＝x3．如圖，已知拋物線y＝ax

2＋bx－4與直線y＝x交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，A、B的橫坐標(biāo)分別為－1和4。（1）求此拋物線的解析式。（2）若平行于y軸的直線x＝m（0＜m＜＋1）與拋物線交于點(diǎn)M，

（3）在（2）的條件下，連接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM

的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。與直線y＝x交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P，求線段MN的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）。拋物線的解析式為y＝x2－2x－4

MN＝MP＋PN＝－m

2＋3m＋4

當(dāng)m＝1.5時(shí)，S有最大值。第13頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如圖，二次函數(shù)圖象與軸x交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M，為直角三角形,圖象的對(duì)稱軸為直線，P點(diǎn)是拋物線上位于A、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積的最大值為（）

C（西湖區(qū)2011學(xué)年第一學(xué)期期末測(cè)試）第14頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日P-3-13Q第15頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日PQ第16頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2.（貴州省遵義市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△COD（點(diǎn)A轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置），拋物線y＝ax

2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過C、D、B三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為P，求△PAB的面積；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MBC的面積等于△PAB的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．-3BAxyO2-1-112345-21345二.運(yùn)用第17頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日-3BAxyO2-1-112345-21345P(1)∵拋物線經(jīng)過B（4，0），C（－2，0）．∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋2)(x－4)D（0，4）代入上式

（2）S△PAB＝S四邊形PEOB－S△AOB－S△PEA＝6

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為M（x，y）∴y＝±2．EC第18頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

練習(xí)1．已知二次函數(shù)y＝x

2＋ax＋a－2．（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)a＜0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式；（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）∵△＝a

2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0∴不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）設(shè)x1、x2是x

2＋ax＋a－2＝0的兩個(gè)根則x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2．∵此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為∴(x1－x2)2＝13．即(x1＋x2)2－4x1x2＝13．∴(－a)2－4(a－2)＝13，整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5．∵a＜0，∴a＝－1．∴此二次函數(shù)的解析式為y＝x

2－x－3．（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）∴|y|＝3，∴y＝±3再得x＝－2或x＝3；x＝0或x＝1

P1（－2，3），P2（3，3），P3（0，－3）或P4（1，－3）第19頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日BAOQPxy2．已知：t1，t2是方程t

2＋2t－24＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且t1＜t2，拋物線y＝x

2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（t1，0），B（0，t2）．（3）在（2）的條件下，當(dāng)□OPAQ的面積為24時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使□OPAQ為正方形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求□OPAQ的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)S＝24時(shí),P的坐標(biāo)為（－3，－4）、（－4，－4）當(dāng)點(diǎn)P為（－3，－4）時(shí)，滿足PO＝PA，此時(shí)，□OPAQ是菱形．當(dāng)點(diǎn)P為（－4，－4）時(shí)，不滿足PO＝PA，此時(shí)□OPAQ不是菱形要使□OPAQ為正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－3），而（－3，－3）不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)P，使□OPAQ為正方形．

第20頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3:如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1＞x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x1，x2是方程x

2－2x－8＝0的兩個(gè)根．（1）求這條拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；BAyOPECx（3）探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．∴A（4，0），B（－2，0）．∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0）又∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，

三、運(yùn)用相似第21頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日BAyOPECx（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖．∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2．∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE∵－2≤m≤4，∴當(dāng)m＝1時(shí)，S△CPE有最大值3．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）G第22頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日練習(xí)1．如圖，已知拋物線y＝ax

2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長(zhǎng)（OA＜OC）是方程x

2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的解析式；yxBDOAECA（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．當(dāng)m＝2時(shí)，S有最大值2D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）

第23頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長(zhǎng)為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．yxBDOAEC第24頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如圖，拋物線y＝ax2＋2ax＋c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－4，0）．（1）求該拋物線的解析式；AOBxQCDEy第25頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ，當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；AOBxQCDEy第26頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－2，0）．問是否有這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．AOBxQCDEy第27頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2．如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3

:

4．動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PC與BQ相互平分；（3）連結(jié)PQ，設(shè)△PBQ的面積為y，探求y與t的函數(shù)關(guān)系式，求t為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

CDABQPBC＝10t=0≤

t

＜時(shí)

第28頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日CDABQPEF第29頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日CDABQPE綜合①②，得

當(dāng)t＝3秒時(shí)，y有最大值為厘米2

第30頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.（11·杭州）（本小題滿分12分）圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，又關(guān)于直線AC，BD對(duì)稱，AC=10，BD=6，已知點(diǎn)E，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)O到EF，MN的距離分別為h1和h2，△OEF與△OGH組成的圖形稱為蝶形。（1）求蝶形面積S的最大值；（2）當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時(shí)，求h1與h2

滿足的關(guān)系式，并求h2的取值范圍。第31頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形.，即所以當(dāng)時(shí)，.由⊿ABD∽⊿AEF第32頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例4．如圖，拋物線y＝x

2－2x＋k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，－3）．（圖2、圖3為解答備用圖）（1）k＝

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

；（2）設(shè)拋物線y＝x

2－2x＋k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；．－3

（－1，0）

（3，0）

yxBAOCM（2）M的坐標(biāo)為（1，－4）．

S四邊形ABMC

＝S△AOC＋

S△COM

＋

S△MOB＝9

四、運(yùn)用分割方法第33頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）在拋物線y＝x

2－2x＋k上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形yxBAOCM第34頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日yxBAOCD（3）設(shè)D（m，m

2－2m－3），連結(jié)OD，如圖．則0＜m＜3，m

2－2m－3＜0．S四邊形ABDC

＝S△AOC＋

S△COD

＋

S△DOB四邊形ABDC的面積最大（4）Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．第35頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日OCABxyM（圖①）OCABxy（圖②）練習(xí)1．如圖①，已知拋物線y＝ax

2＋bx＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．y＝－x

2－2x＋3

S四邊形BOCE

最大，且最大值為．

E第36頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期日DCMyOABQPx2．如圖，已知拋物線y＝a(x－1)2＋(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連結(jié)BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．問：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．