專題7.12：橢圓的極點和極線相關(guān)問題的研究與拓展

專題7.12：橢圓的極點和極線相關(guān)問題的研究與拓展專題7.12：橢圓的極點和極線相關(guān)問題的研究與拓展【問題提出】橢圓極點和極線的定義與作圖：已知橢圓（a＞b＞0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線.極點和極線是成對出現(xiàn)的.從定義我們共同思考和討論幾個問題并寫下你的思考:（1）若點在橢圓上，則其對應(yīng)的極線是什么?（2）橢圓的兩個焦點對應(yīng)的極線分別是什么?（3）過橢圓外（上、內(nèi)）任意一點，如何作出相應(yīng)的極線？為：，即聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、（方法1）當時，直線MN方程為：令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法2）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）.探索解析幾何問題中的兩個技巧用“α法”求直線方程已知兩點坐標，求經(jīng)過這兩點的直線方程．通常采取的方法是，或者“點斜式”，或者“兩點式”．其實采用下面介紹的“α法”，運算將更加迅速簡潔．現(xiàn)介紹如下：若A（，），B（，），求直線AB的方程．先將兩個點的坐標上下對齊書寫，假設(shè)最終求出的直線方程為Ax＋By＋C＝0，則，，這種方法既形象直觀，又運算簡潔，更重要的是避免了許多情況下，因為字母運算時需要分類討論的繁瑣．大家不妨以“若A（－2,1），B（3，－1），求直線AB的方程”為例試試看.（2）巧妙分解因式通常由直線方程與二次曲線方程聯(lián)立方程組求交點坐標，這種運算是可怕的，尤其是含有大量字母運算時，但當直線與二次曲線有一個已知公共點時，則可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一個公共點的坐標．下面以橢圓為例講解這種運算技巧：若公共點為，橢圓方程為，設(shè)直線方程為，則由得，，將代入上式得，顯然有公因式，從而很方便地求出另一個交點坐標．下面運用前面介紹的兩個技巧解答2010江蘇省高考數(shù)學(xué)第18題的第⑶問．先求點M的坐標：由得將直線TA：代入上式得顯然x＋3＝0時，即為點A．要求點M，則約去（x＋3）得．代入直線TA：得點M的坐標為．同理，可求出點N的坐標為．用“α法”寫出直線MN的方程，并及時令y＝0得由于m＞0，化簡得，則x＝1即直線MN必過x軸上的定點（1，0）．探究2：在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2＝r2和直線l：x＝a（其中r和a均為常數(shù)，且0<r<a），M為l上一動點，A1，A2為圓C與x軸的兩個交點，直線MA1，MA2與圓C的另一個交點分別為P、Q．（1）若r＝2，M點的坐標為(4，2)，求直線PQ方程；（2）求證：直線PQ過定點，并求定點的坐標．解：（1）當r＝2，M(4，2)，則A1(－2，0)，A2(2，0).直線MA1的方程：x－3y+2=0，解得．直線MA2的方程：x－y－2=0，解得．由兩點式，得直線PQ方程為：2x－y－2=0．另解：(1)當r＝2，M(4，2)，則A1(－2，0)，A2(2，0).直線MA1的方程：x－3y+2=0，直線MA2的方程：x+y－2=0，所以P、Q在曲線(x－3y+2)(x－y－2)+t(x2+y2－4)=0上，當t=－1時，2x－2y－2=0為直線PQ的方程.（2）證法一：由題設(shè)得A1(－r，0)，A2(r，0).設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y=eq\f(t,a+r)(x+r)，直線MA1的方程是：y=eq\f(t,a－r)(x－r)．解得．解得．于是直線PQ的斜率kPQ＝eq\f(2at,a2－t2－r2)，直線PQ的方程為．上式中令y=0，得x＝eq\f(r2,a)，是一個與t無關(guān)的常數(shù).故直線PQ過定點．證法二：由題設(shè)得A1(－r，0)，A2(r，0).設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y=eq\f(t,a+r)(x+r)，與圓C的交點P設(shè)為P(x1，y1)．直線MA2的方程是：y=eq\f(t,a－r)(x－r)；與圓C的交點Q設(shè)為Q(x2，y2)．則點P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲線［(a+r)y－t(x+r)］［(a－r)y－t(x－r)］=0上，化簡得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)+t2(x2－r2)＝0．①又有P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圓C上，圓C：x2+y2－r2＝0．②①－t2×②得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2)－t2(x2+y2－r2)＝0，化簡得：(a2－r2)y－2t(ax－r2)－t2y＝0．所以直線PQ的方程為(a2－r2)y－2t(ax－r2)-t2y＝0．③在③中令y=0得x=eq\f(r2,a)，故直線PQ過定點．變式：已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，.（1）求橢圓C的