2021年山東省青島市平度開發(fā)區(qū)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021年山東省青島市平度開發(fā)區(qū)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】由對數(shù)的單調(diào)性可得a＞2＞b＞1，再根據(jù)c＞1，利用對數(shù)的運算法則，判斷b＞c，從而得到a、b、c的大小關(guān)系.【詳解】解：由于，，，可得，綜合可得，故選B.【點睛】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，熟練運用對數(shù)運算公式是解決對數(shù)運算問題的基礎(chǔ)和前提.2.已知兩個平面α，β和三條直線，若，且，，設(shè)和所成的一個二面角的大小為θ1，直線和平面β所成的角的大小為θ2，直線所成的角的大小為θ3，則A．θ1=θ2≥θ3 B．θ3≥θ1=θ2C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2參考答案：D3.設(shè)集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，則（）A．A=B B．A?B C．A?B D．A∩B=?參考答案：C【考點】15：集合的表示法．【分析】化簡集合A，即可得出集合A，B的關(guān)系．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A?B．故選：C．4.若log4（3a+4b）=log2，則a+b的最小值是（）A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4參考答案：D【考點】基本不等式；對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】利用對數(shù)的運算法則可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴l(xiāng)og4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，則a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，當(dāng)且僅當(dāng)a=4+2取等號．故選：D．5.直線l過拋物線C：x2=4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于（）A． B．2 C． D．參考答案：C【考點】定積分．【分析】先確定直線的方程，再求出積分區(qū)間，確定被積函數(shù)，由此利用定積分可求直線l與拋物線圍成的封閉圖形面積．【解答】解：拋物線x2=4y的焦點坐標(biāo)為（0，1），∵直線l過拋物線C：x2=4y的焦點且與y軸垂直，∴直線l的方程為y=1，由，可得交點的橫坐標(biāo)分別為﹣2，2．∴直線l與拋物線圍成的封閉圖形面積為=（x﹣）|=．故選：C．6.已知m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個不重合平面，下列條件中，一定能推出的是（）A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行可知正確.【詳解】當(dāng)時，若，可得又，可知本題正確選項：【點睛】本題考查面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題.7.若函數(shù)的最小正周期是,則正數(shù)的值是

()Ａ８Ｂ４Ｃ２Ｄ１參考答案：B8.如圖，是圓的內(nèi)接三角行，的平分線交圓于點D，交BC于E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分；②；③；④.則所有正確結(jié)論的序號是（

）A.①②

B.③④

C.①②③

D.①②④參考答案：D∵,,∴,,∴BD平分，∴∽，∴，∴，∴，.9.是所在平面內(nèi)一點，滿足，則是的A．外心

B．內(nèi)心

C．垂心

D．重心參考答案：C10.過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線的方程為A．2x+y-3=0

B．2x-y-3=0

C．4x-y-3=0

D．4x+y-3=0參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），則a的值是．參考答案：2【考點】微積分基本定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意找出2x+的原函數(shù)，然后根據(jù)積分運算法則，兩邊進行計算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案為：2；【點評】此題主要考查定積分的計算，解題的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，此題是一道基礎(chǔ)題．12.函數(shù)的定義域是___

___.參考答案：13.△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列命題正確的是________（寫出正確命題的編號）。 ①總存在某內(nèi)角，使； ②若，則B>A； ③存在某鈍角△ABC，有； ④若，則△ABC的最小角小于；參考答案：①④對①，因為，所以，而在銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中必然會存在一個角，故正確；對②，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，，當(dāng)時，，即，則，所以，即在上單減，由②得，即，所以B<A，故②不正確；對③，因為，則在鈍角△ABC中，不妨設(shè)A為鈍角，有，故③不正確；對④，由，即，而不共線，則，解得，則a是最小的邊，故A是最小的角，根據(jù)余弦定理，知，故④正確；14.已知向量=（1,2），=（0,1），=（-1，m）．若（+2）∥，則實數(shù)m=

．參考答案：﹣4【考點】平行向量與共線向量．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算與共線定理，列出方程解方程即可．【解答】解：向量，則+2=（1，4），又，∴m﹣4×（﹣1）=0，解得m=﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算與共線定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．15.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，點（2，）到直線sin()=1的距離是

參考答案：116.已知，，則_____▲____．參考答案：17.已知cos（α﹣）=，α∈（0，），則=．參考答案：﹣【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式進行化簡求值．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，0），∵cos（α﹣）=，∴sin（α﹣）=﹣=，==﹣=﹣2sin（）=﹣．故答案是：﹣．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）函數(shù)f（x）=3sin（2x+）的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）寫出f（x）的最小正周期及圖中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題目所給的解析式和圖象可得所求；（Ⅱ）由x∈可得2x+∈，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0為函數(shù)的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈，∴當(dāng)2x+=0，即x=時，f（x）取最大值0，當(dāng)2x+=，即x=﹣時，f（x）取最小值﹣3【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．19.已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若將f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x的值．參考答案：解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期為π；（2）∵將f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，∴=．∵x∈[0，）時，，∴當(dāng)，即時，g（x）取得最大值2；當(dāng)，即x=0時，g（x）取得最小值．考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）利用三角函數(shù)的倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)f（x），然后直接由周期公式求周期；（2）通過函數(shù)的圖象的平移求解函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=，由x的范圍求出的范圍，從而求得函數(shù)g（x）的最值，并得到相應(yīng)的x的值．解答：解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期為π；（2）∵將f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，∴=．∵x∈[0，）時，，∴當(dāng)，即時，g（x）取得最大值2；當(dāng)，即x=0時，g（x）取得最小值．點評：本題考查了三角函數(shù)的倍角公式及誘導(dǎo)公式，考查了三角函數(shù)的圖象平移，訓(xùn)練了三角函數(shù)的最值得求法，是中檔題．20.已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦定理．【專題】計算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形．【分析】（1）先化簡函數(shù)f（x），再求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．=sin2x﹣﹣=sin（2x﹣）﹣1∴T==π∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是：[kπ，kπ+]，k∈Z（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，則sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴C=∵sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a①∵c=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab=3②由①②可得a=1，b=2．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的性質(zhì)，考查余弦定理、正弦定理的運用，屬于中檔題．21.（本小題滿分13分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．（Ⅰ）當(dāng)λ＝1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．參考答案：（17）（本小題滿分13分）方法一：（Ⅰ）證明：如圖①，連接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知BC1∥AD1.當(dāng)λ＝1時，P是DD1的中點，又F是AD的中點，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………5分圖①圖②（Ⅱ）如圖②，連接BD.因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四邊形PQBD是平行四邊形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，從而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因為BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四邊形EFPQ也是等腰梯形．同理可證四邊形PQMN也是等腰梯形．分別取EF，PQ，MN的中點為H，O，G，連接OH，OG，則GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ與面PQMN所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則∠GOH＝90°.連接EM，F(xiàn)N，則由EF∥MN，且EF＝MN知四邊形EFNM是平行四邊形．連接GH，因為H，G是EF，MN的中點，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝，故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．……13分方法二：以D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖③所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，P(0，0，λ)．

圖③(－2，0，2)，F(xiàn)P＝(－1，0，λ)，F(xiàn)E＝(1，1，0)．…………2分（Ⅰ）證明：當(dāng)λ＝1時，F(xiàn)P＝(－1，0，1)，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………6分（Ⅱ）設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n＝(x，y，z)，則由于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一個法向量為m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝.故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．………13分

22.有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在[59,101]范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在[71,89)內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：

直徑分組[59,65)[65,71)[71,77)[77,83)[83,89)[89,95)[95,101]甲基地頻數(shù)1030120175125355乙基地頻數(shù)5351151651106010

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有95%以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)”？

甲基地乙基地合計優(yōu)質(zhì)品

非優(yōu)質(zhì)品

合計

（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；（3）記甲基地直徑在[95,101]范圍內(nèi)的五個桔柚分別為A、B、C、D、E，現(xiàn)從中任取二個，求含桔柚A的概率.附：，.

P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828參考答案：（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表如下：

甲基地乙基地合計優(yōu)質(zhì)品420390810非優(yōu)質(zhì)品80