2021年北京電業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021年北京電業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線M的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，拋物線M的焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，拋物線M的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一個公共點(diǎn)，設(shè)A是拋物線M上的一點(diǎn)，若?=﹣4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2） B．（1，2）或（1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），根據(jù)拋物線的方程設(shè)A（，y0），則=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由?=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化為（x﹣3）2+（y+2）2=16，圓心坐標(biāo)為（3，﹣2），半徑為4，∵拋物線M的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一個公共點(diǎn)，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），設(shè)A（，y0）則=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由?=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故選B．2.已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，則A∩B為(

) A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1} D．{0}參考答案：C考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：利用特殊角的三角函數(shù)值確定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，確定出B，找出A與B的交集即可．解答： 解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故選：C．點(diǎn)評：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．3.在直三棱柱ABC—ABC中，分別為棱AC、AB上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若則線段DE長度的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.將1，2，3，…，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3，4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法數(shù)為 A．6種 B．12種 C．18種 D．24種 【解析】根據(jù)數(shù)的大小關(guān)系可知，1,2,9的位置是固定的，,則剩余5,6,7,8四個數(shù)字，而8只能放在在A,B兩個位置，若8放在B處，,則C處可以從5,6,7三個數(shù)字中選一個放在C處，剩余兩個按照大小放在D,A處，此時共有3種，同理，若8放在A處，則可以從5,6,7三個數(shù)字中選一個放在D處，剩余兩個按照大小放在B,C處，此時也有3種，所以共有6種填法，選A.參考答案：根據(jù)數(shù)的大小關(guān)系可知，1,2,9的位置是固定的，,則剩余5,6,7,8四個數(shù)字，而8只能放在在A,B兩個位置，若8放在B處，,則C處可以從5,6,7三個數(shù)字中選一個放在C處，剩余兩個按照大小放在D,A處，此時共有3種，同理，若8放在A處，則可以從5,6,7三個數(shù)字中選一個放在D處，剩余兩個按照大小放在B,C處，此時也有3種，所以共有6種填法，選A.【答案】A5.為了得到函數(shù)的圖像，只要把函數(shù)的圖像A.向左平行移動個單位長度B.向右平行移動個單位長度C.向左平行移動個單位長度D.向右平行移動個單位長度參考答案：【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).C3【答案解析】B

解析：,右移得.故選B.【思路點(diǎn)撥】先把化簡，然后利用平移的方法即可.6.已知實(shí)數(shù)p＞0，直線4x+3y﹣2p=0與拋物線y2=2px和圓（x﹣）2+y2=從上到下的交點(diǎn)依次為A，B，C，D，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），拋物線的焦點(diǎn)為F，由題得|BF|=|CF|=．由拋物線的定義得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．聯(lián)立直線4x+3y﹣2p=0與拋物線y2=2px且消去x解出y1=，y2=﹣2p，所以x1=，x2=2p，進(jìn)而得到答案．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），拋物線的焦點(diǎn)為F，由題意得|BF|=|CF|=由拋物線的定義得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．聯(lián)立直線4x+3y﹣2p=0與拋物線y2=2px且消去x得：2y2+3py﹣2p2=0解得：y1=，y2=﹣2p，所以x1=，x2=2p所以==．故選：C．7.．已知數(shù)列

的值為

A．11

B．12

C．13

D．14參考答案：C略8.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),那么f()等于()(A)15 (B)1 (C)3 (D)30參考答案：A略9.若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，將條件轉(zhuǎn)化為x2+ax+1≥0恒成立，利用判別式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則x2+ax+1≥0恒成立，即△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣2，2]，故選：D．10.函數(shù)f（x）=|x|+（其中a∈R）的圖象不可能是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】通過a的取值，判斷對應(yīng)的函數(shù)的圖象，即可推出結(jié)果．【解答】解：當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=|x|+=|x|，函數(shù)的圖象可以是B．當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=|x|+=|x|+，函數(shù)的圖象可以類似A；當(dāng)a=﹣1時，函數(shù)f（x）=|x|+=|x|﹣，x＞0時，|x|﹣=0只有一個實(shí)數(shù)根x=1，函數(shù)的圖象可以是D；所以函數(shù)的圖象不可能是C．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前項的和

.參考答案：12.若曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與圓相切，則r=__________.參考答案：【分析】求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，利用直線與圓相切的幾何關(guān)系即可得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案?！驹斀狻坑煽傻茫€在點(diǎn)處的切線方程的斜率，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，又切線與圓相切，圓心到切線的距離等于圓半徑：，即，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，同時考查直線與圓相切的幾何關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型。13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足，則z=2|x|+y的取值范圍_______參考答案：[-1,1]14.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的同學(xué)有30人，則的值為．參考答案：100略15.若直線（m﹣l）x﹣y+2=0與直線3x+my+3=0垂直，則實(shí)數(shù)m的值等于．參考答案：考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．專題：直線與圓．分析：根據(jù)兩直線垂直時，一次項對應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，解方程求得m的值．解答：解：∵直線（m﹣l）x﹣y+2=0與直線3x+my+3=0垂直，∴（m﹣1）3+（﹣1）m=0，解得m=，故答案為．點(diǎn)評：本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時，一次項對應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，屬于基礎(chǔ)題．16.黨的十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，則這50位農(nóng)民的年收入（單位：千元）的中位數(shù)為_________．參考答案：【分析】先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，再根據(jù)概率求中位數(shù).【詳解】中位數(shù)所在區(qū)間在，設(shè)為，則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖以及中位數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.17.定義在R上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時，．下列四個不等關(guān)系：；；；．其中正確的個數(shù)是

．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為2a2x+y﹣b=0，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）確定a，b的關(guān)系式（用a表示b）；（Ⅱ）對于任意負(fù)數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為2a2x+y﹣b=0確定a，b的關(guān)系式（用a表示b）；（Ⅱ）對于任意負(fù)數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，即對于任意負(fù)數(shù)a，x＞0，使f（x）min＜M成立，即可求實(shí)數(shù)M的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，∴f′（x）=ex[x2﹣ax+b﹣（a+2）]，∴f′（0）=﹣2a2，∴b=a+2﹣2a2；（Ⅱ）對于任意負(fù)數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，即對于任意負(fù)數(shù)a，x＞0，使f（x）min＜M成立，由（Ⅰ）可知f′（x）=ex（x﹣2a）（x+a），令f′（x）=0，可得x=2a，或x=﹣a．a(chǎn)＜0，0＜x＜﹣a，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x＞﹣a，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＞0，f（x）min=f（﹣a）=e﹣a（3a+2），令g（a）=e﹣a（3a+2），則g′（a）=e﹣a（1﹣3a）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即g（a）＜g（0）=2，∴M≥2．19.為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2009年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬元滿足x＝4－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2009年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．(1)將該廠家2009年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；(2)該廠家2009年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時廠家利潤最大？參考答案：略20.如圖,某市擬在長為的道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動賽道，賽道的前一部分為曲線段,該曲線段為函數(shù)的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為;賽道的后一部分為折線段.為保證參賽運(yùn)動員的安全,限定.

(1)求的值和兩點(diǎn)間的距離;(2)應(yīng)如何設(shè)計,才能使折線段線段最長?參考答案：（Ⅰ）依題意，有（1’），又，。

（2’），當(dāng)時，

（4’）

又

（5’）（Ⅱ）解法一在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，設(shè)∠PMN=，則0°<<60°由正弦定理得,

（7’）故（10’）0°<<60°

（11’）當(dāng)=30°時，折線段賽道MNP最長，亦即，將∠PMN設(shè)計為30°時，折線段道MNP最長

（12’）解法二：在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP=即

（7’）故，從而，即（10’）當(dāng)且僅當(dāng)時，折線段道MNP最長

（12’）21.如圖1，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，將圖1沿直線BC折起，使得二面角A﹣BC﹣C為60°．如圖2．（1）求證：AE⊥平面BDC；（2）求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】空間角．【分析】（1）取BD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，由余弦定理及勾股定理，可得AE⊥EF，由線面垂直的性質(zhì)可得BD⊥AE，由線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BDC；（2）以E為原點(diǎn)建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線AC的方向向量與平面ABD的法向量，代入向量夾角公式，可得直線AC與平面ABD所成角的余弦值．【解答】證明：（1）取BD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，則，（2分），由余弦定理知：，∵AF2+EF2=AE2，∴AE⊥EF，（4分），又BD⊥平面AEF，AE?平面AEF，∴BD⊥AE，又∵EF∩BD=F，EF，BD?平面BDC∴AE⊥平面BDC；

（6分）解：（2）以E為原點(diǎn)建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，（8分），設(shè)平面ABD的法向量為=（x，y，z），由，得，取，則y=﹣3，∴．∵，∴（11分）故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為．（12分）【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，解答（1）的關(guān)鍵是