圓的專題講義

與圓有關(guān)的證明及計(jì)算1.已知，如圖，直線MN交?0于A,B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分ZCAM交?0于D，過D作DE丄MN于E.（1） 求證：DE是?0的切線；（2） 若DE=6cm，AE=3cm，求?0的半徑.2.如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的?0分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長線上，且ZCBF=*ZCAB.（1） 求證：直線BF是?0的切線；（2） 若AB=5，sinZCBF^I-，求BC和BF的長.3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于?0,BD是?0的直徑，AE丄CD，垂足為E，DA平分ZBDE.（1） 求證：AE是?0的切線；（2） 若ZDBC=30°，DE=1cm，求BD的長.4.如圖，已知AABC內(nèi)接于OO,AC是?0的直徑，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線BC的垂線，分別交CB、CA的延長線E、F.（1） 求證：EF是O0的切線；（2） 若EF=8，EC=6，求O0的半徑.5.如圖，AB是O0的直徑，弦CD丄AB與點(diǎn)E,點(diǎn)P在O0上,Z1=ZC，（1） 求證：CB〃PD；（2） 若BC=3，sinZP=￥，求O0的直徑.如圖，直線EF交O0于A、B兩點(diǎn)，AC是O0直徑，DE是O0的切線，且DE丄EF，垂足為E.（1） 求證：AD平分ZCAE；（2） 若DE=4cm，AE=2cm，求O0的半徑.

如圖，Rt^ABC中，ZABC=90°，以AB為直徑作半圓?0交AC與點(diǎn)D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE．（1） 求證：DE是半圓?0的切線.（2） 若ZBAC=30°,DE=2,求AD的長.8如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°，以AC為直徑作?0交AB于點(diǎn)D點(diǎn)，連接CD.（1） 求證：ZA=ZBCD；（2） 若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與?0相切？并說明理由.9.如圖，已知AB是?0的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD切?0于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點(diǎn)C，連接AD并延長，交BE于點(diǎn)E.1）求證：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=*，求?0半徑的長.

10.如圖AB是?0的直徑，PA,PC與?0分別相切于點(diǎn)A,C,PC交AB的延長線于點(diǎn)D,DE丄P0交P0的延長線于點(diǎn)E.（1） 求證：ZEPD=ZED0；（2） 若PC=6,tanZPDA=#，求0E的長.圓的動態(tài)探究題11.如圖，①0半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF,點(diǎn)P,Q同時(shí)分別從A,當(dāng)t= s時(shí)，四邊形PBQE為菱形;當(dāng)t= s時(shí)，四邊形PBQE為矩形.如圖，AB為?0的直徑，點(diǎn)C為AB延長線上一點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以lcm/s的速度運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運(yùn)動，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動，過點(diǎn)P作AB的垂線，分別交?0于點(diǎn)M和點(diǎn)N，已知?0的半徑為I,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.（1） 若AC=5，則當(dāng)t= 時(shí)，四邊形AMQN為菱形；當(dāng)t= 時(shí)，NQ與?0相切；（2） 當(dāng)AC的長為多少時(shí)，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請說明理由，并求出此 f/如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,以邊上AC上一點(diǎn)0為圓心,0A為半徑作00,00恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D,并與邊AC相交于另一點(diǎn)F.（1） 求證：BD是00的切線；（2） 若BC=2?方,E是半圓也GF■上一動點(diǎn)，連接AE、AD、DE.填空：當(dāng)AE的長度是 時(shí)，四邊形ABDE是菱形；當(dāng)AE的長度是 時(shí)，AADE是直角三角形.14.如圖，點(diǎn)A,B,C分別是00上的點(diǎn)，且ZB=60°,CD是O0的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn)，且AP=AC.（1） 求證：AP是00的切線；（2） 若AC=3,填空：①當(dāng)BC的長為 時(shí)，以A,C,B,D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形;②當(dāng)BC的長為 時(shí)，AABC的面積最大，最大面積為 CFDCBB0<3<31CFDCBB0<3<31)15.四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)E,且AE=EC,BE=ED，以AB為直徑的半圓過點(diǎn)E,圓心為0.（1） 利用圖1,求證：四邊形ABCD是菱形.（2） 如圖2,若CD的延長線與半圓相切于點(diǎn)F，且直徑AB=8.①厶ABD的面積為 .②BE的長 AB=6,ZABC=30°,過點(diǎn)C作圓16.在圓0中,AC是圓的弦,AB是圓的直徑,的切線交BAAB=6,ZABC=30°,過點(diǎn)C作圓（1）求證：△PACs^PCB；（2）點(diǎn)Q在半圓ADB上運(yùn)動，填空：當(dāng)AQ= 時(shí)，四邊形AQBC的面積最大;當(dāng)AQ= 時(shí)，AABC與厶ABQ全等.

17.如圖，AB是?0的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一動點(diǎn)（不與A,CX,重合），過點(diǎn)P作PE丄AB,垂足為E,射線EP交盤于點(diǎn)F,交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D．（1） 求證：DC=DP；（2） 若直徑AB=12cm,ZCAB=30°,當(dāng)E是半徑0A中點(diǎn)時(shí)，切線長DC= cm：當(dāng)AE= cm時(shí)，以A,0,C,F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.18.如圖，①0的直徑AB=4,點(diǎn)C為?0上的一個(gè)動點(diǎn)，連接0C,過點(diǎn)A作?0的切線，與BC的延長線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接CE.（1） 求證：CE是?0的切線；（2） 填空：①當(dāng)CE= 時(shí)，四邊形A0CE為正方形；②當(dāng)CE= 時(shí)，ACDE為等邊三角形.

19.如圖，A19.如圖，AABC是半徑為2的?0的內(nèi)接三角形，連接0A、點(diǎn)D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點(diǎn)．（1） 試判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；（2） 填空：若AB=3，當(dāng)CA=CB時(shí)，四邊形DEFG的面積是 ；若AB=2，當(dāng)ZCAB的度數(shù)為 時(shí)，四邊形DEFG是正方形.20.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)0為邊AB的中點(diǎn)，OD丄BC于點(diǎn)D，AM丄BC于點(diǎn)M,以點(diǎn)0為圓心，線段OD為半徑的圓與AM相切于點(diǎn)N.（1） 求證：AN=BD；（2） 填空：點(diǎn)P是?0上的一個(gè)動點(diǎn)，若AB=4，連結(jié)0C，則PC的最大值是 ;當(dāng)ZB0P= 時(shí)，以0，D，B，P為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形.OBCDOBCD第10頁（共39頁）1.已知，如圖，直線MN交?0于A,B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分ZCAM交?0于D，過D作DE丄MN于E.（1） 求證：DE是?0的切線；（2） 若DE=6cm，AE=3cm，求?0的半徑.V0A=0D，.\Z0AD=Z0DA.VZ0AD=ZDAE，.\Z0DA=ZDAE.???D0〃MN.VDE丄MN，.\Z0DE=ZDEM=90°.即0D丄DE.VD在?0上,0D為?0的半徑，ADE是?0的切線.(2)解：VZAED=90°，DE=6，AE=3,?:扛二；DE?+AE2二：62+32=3/5-連接CD.VAC是?0的直徑，.\ZADC=ZAED=90°.VZCAD=ZDAE，.??△acds^ade.

??'—.AE"AD??丁応則AC=15（cm）．AOO的半徑是7.5cm.2.如圖，在△ABC,AB=AC，以AB為直徑的?0分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長線上，且ZCBF專ZCAB.（1）求證：直線BF是?0的切線；求BC和BF求BC和BF的長.解答】（1）證明：連接AE，TAB是?0的直徑,??.ZAEB=90°,???Z1+Z2=9O°.TAB=AC，??.Z1專ZCAB.TZCBF專ZCAB,.\Z1=ZCBF

??.ZCBF+Z2=90°即ZABF=90°TAB是?0的直徑，???直線BF是?0的切線.(2)解：過點(diǎn)C作CG丄AB于G.Z1=ZCBF,TZ1=ZCBF,??sinZ1=￥_,T在Rt^AEB中，ZAEB=90°,AB=5,??BE二ABsinZ1=T5,VAB=AC,ZAEB=90°,???BC=2BE=2.：g,在Rt^ABE中，由勾股定理得AE=；?喬百尹=2込,???sinZ2= = = ,cosZ2= = =L,AB5BC AB5BC在Rt^CBG中，可求得GC=4,GB=2,?AG=3,.?.△agcs^abf.?GCAGBFAB?GCAGBFAB3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于?0,BD是?0的直徑，AE丄CD,垂足為E,DA平分ZBDE.

（1） 求證：AE是?0的切線;求BD的長.（2） 若ZDBC=30°,DE=1cm求BD的長.【解答】(1)證明：連接0A?/DA平分ZBDE,???ZBDA=ZEDA.??PA=0D,???Z0DA=Z0AD,.\Z0AD=ZEDA,???0A〃CE.TAE丄CE,??.AE丄0A.???AE是?0的切線.(2)解：TBD是直徑，.\ZBCD=ZBAD=90°.VZDBC=30°,ZBDC=60°,???ZBDE=120°.?/DA平分ZBDE,.\ZBDA=ZEDA=60°..\ZABD=ZEAD=30°.ZEAD=30°,ZABD=30°,T?在Rt^AEDZEAD=30°,ZABD=30°,AD=2DE.T?在Rt^ABD中，ZBAD=90°,BD=2AD=4DE.TDE的長是1cm,???BD的長是4cm.4.如圖，已知AABC內(nèi)接于OO,AC是?0的直徑，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線BC的垂線，分別交CB、CA的延長線E、F.（1） 求證：EF是O0的切線；（2） 若EF=8,EC=6，求O0的半徑.【解答】（1）證明：連接0D交于AB于點(diǎn)G.VD是AB的中點(diǎn)，0D為半徑，AG=BG.VA0=0C,???0G是厶ABC的中位線.???OG〃BC,即OD〃CE.又TCE丄EF,??.0D丄EF,???EF是O0的切線.（2）解：在RtACEF中，CE=6,EF=8,CF=10.設(shè)半徑OC=OD=r,貝U0F=10-r,??PD〃CE,.?.△FODs^fCE,FC~CE10-r=r106即：?0的半徑為普.E5.如圖，AB是?0的直徑，弦CD丄AB與點(diǎn)E,點(diǎn)P在?0上，Z1=ZC,（1） 求證：CB〃PD；（2） 若BC=3,sinZP=3，求?0的直徑.【解答】(1)證明：???zc=zp又VZ1=ZC.\Z1=ZP??.CB〃PD；(2)解：連接ACTAB為?0的直徑，??.ZACB=90°又TCD丄AB,???EC=ED,??.ZP=ZCAB,又VsinZP=￥,??sinZCAB=￡,即匹=L,AB5又知，BC=3,?AB=5，?直徑為5．如圖，直線EF交?0于A、B兩點(diǎn)，AC是?0直徑，DE是?0的切線，且DE丄EF，垂足為E.（1） 求證：AD平分ZCAE；（2） 若DE=4cm，AE=2cm，求?0的半徑.【解答】（1）證明：連接0DV0D=0A，???Z0DA=Z0AD，?「DE是?0的切線，??.ZODE=90°，0D丄DE，又TDE丄EF，???0D〃EF，.\Z0DA=ZDAE，???ZDAE=ZOAD,???AD平分ZCAE；（2）解：連接CD,VAC是?0直徑，??.ZADC=90°,在Rt^ADE中，DE=4cm,AE=2cm,???根據(jù)勾股定理得：AD=2?.污cm,由（1）知：ZDAE=ZOAD,ZAED=ZADC=90°,.?.△adcs^aed,?血二虬，即2后二也C,?.忑詡' 2二師'?AC=10,AO0的半徑是5.如圖，Rt^ABC中，ZABC=90°，以AB為直徑作半圓?0交AC與點(diǎn)D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),連接DE.（1） 求證：DE是半圓?0的切線.（2） 若ZBAC=30°,DE=2，求AD的長.解答】（1）證明：連接0D,0E,BD,VAB為圓0的直徑,.\ZADB=ZBDC=90°,在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，??.DE=BE,在厶OBE和△ODE中，'OE二OD乂0E=0E，艇二DE.?.△OBE竺AODE(SSS),.\ZODE=ZABC=90°,則DE為圓0的切線；(2)在Rt^ABC中,ZBAC=30°,.?.BC專AC,?/BC=2DE=4,?AC=8,又VZC=60°,DE=CE,???△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2,貝UAD=AC-DC=6.&如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°，以AC為直徑作?0交AB于點(diǎn)D點(diǎn)，連接CD.（1） 求證：ZA=ZBCD；（2） 若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與?0相切？并說明理由.?「AC?「AC為直徑,??.ZADC=90°,??.ZA+ZDCA=90°,VZACB=90°,??.ZDCB+ZACD=90°,???ZDCB=ZA；（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線DM與?0相切;解：連接DO,「D0=C0,.\Z1=Z2,「DM=CM,.\Z4=Z3,VZ2+Z4=90°,AZ1+Z3=90°,???直線DM與?0相切，故當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線DM與?0相切.

9.如圖，已知AB是?0的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD切?0于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE垂直于PD,交PD的延長線于點(diǎn)C,連接AD并延長，交BE于點(diǎn)E.（1）求證：AB=BE；VPD切?0于點(diǎn)D,??.0D丄PD,TBE丄PC,???0D〃BE,???ZAD0=ZE,V0A=0D,???Z0AD=ZAD0,???Z0AD=ZE,?AB=BE；（2）解：由（1）知，0D〃BE,???ZPOD=ZB,cosZPOD=cosB=*,在Rt^POD中，cosZPOD二=,OP5VOD=OA,PO=PA+OA=2+OA,??? 二—?2+OA5?OA=3，AOO半徑=3.10.如圖AB是?0的直徑，PA,PC與?0分別相切于點(diǎn)A,C,PC交AB的延長線于點(diǎn)D,DE丄線于點(diǎn)D,DE丄PO交PO的延長線于點(diǎn)E.求證：ZEPD=ZEDO；1）.\ZAPO=ZEPD且PA丄A0,C,?ZPAO=90°,VZAOP=ZEOD,ZPAO=ZE=9O°,?ZAPO=ZEDO,?ZEPD=ZEDO；2）解：連接OC，PA=PC=6，:tanZPDA冷,??在Rt^PAD中，AD=8,PD=10,??CD=4,:tanZPDA冷,??在Rt^OCD中，0C=0A=3,OD=5,?°ZEPD=ZODE,?.△DEPs^OED,?DP_PE_ED_2DODEOEDE_2OE在Rt^OED中，OE2+DE2—OD2,即5OE2—52,?OE-.污.11.如圖，①0半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF,點(diǎn)P,Q同時(shí)分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度沿AF,DC向中點(diǎn)F,G運(yùn)動?連接PB,QE,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s）.（1） 求證：四邊形PEQB為平行四邊形；（2） 填空：當(dāng)t-2s時(shí)，四邊形PBQE為菱形；當(dāng)t-0或4s時(shí)，四邊形PBQE為矩形.【解答】(1)證明：：?正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O0,??.AB=BC=CD=DE=EF=FA,ZA=ZABC=ZC=ZD=ZDEFZF,T點(diǎn)P,Q同時(shí)分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度，運(yùn)動時(shí)間為t(s),???AP=DQ=t，貝UPF=QC=4-t,在厶ABP和厶DEQ中'AB二DE乂ZA=ZD(AP=DQ.?.△ABP竺ADEQ(SAS)BP=EQ，同理可證，PE=QB,?四邊形PEQB是平行四邊形．(2)解：①當(dāng)四邊形PBQE為菱形時(shí)，PB=PE=EQ=QB,.△ABP竺ADEQ竺APFE竺△QCB,AP=PF=DQ=QC，即t=4-t,得t=2,故答案為：2；②當(dāng)t=0時(shí)，ZEPF=ZPEF=30°,??.ZBPE=120°-30°=90°,???此時(shí)四邊形PBQE為矩形；當(dāng)t=4時(shí)，ZABP=ZAPB=30°,??.ZBPE=120°-30°=90°,???此時(shí)四邊形PBQE為矩形.故答案為：0或4．如圖，AB為?0的直徑，點(diǎn)C為AB延長線上一點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿

AC方向以lcm/s的速度運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運(yùn)動，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動，過點(diǎn)P作AB的垂線，分別交?0于點(diǎn)M和點(diǎn)N,已知?0的半徑為I,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.（1）若AC=5，則當(dāng)t= 時(shí)，四邊形AMQN為菱形；當(dāng)t= 時(shí)，NQ~3_— —2—與?0相切；（2） 當(dāng)AC的長為多少時(shí)，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請說明理由，并求出此時(shí)t由，并求出此時(shí)t的值.【解答】解：(1)AP=t,CQ=t,則PQ=5-2t,TNM丄AB,??.PM=PN,???當(dāng)PA=PQ時(shí)，四邊形AMQN為菱形，即t=5-2t,解得t=|-；當(dāng)ZONQ=90°時(shí)，NQ與?0相切，如圖，0P=t-1，0Q=AC-0A-QC=5-1-t=4-t，VZN0P=ZQ0N,???RtA0NP^RtA0QN,但盤，即OQON但盤，即OQON整理得t2-5t+5=0，解得t廣苓亙，t2==F（lWtW2.5,故舍去）,即當(dāng)上=苓￡時(shí)，NQ與?0相切;故答案為邑 呂；3 2

（2）當(dāng)AC的長為3時(shí)，存在t=1,使四邊形AMQN為正方形.理由如下:???四邊形AMQN為正方形.??.ZMAN=90°,???MN為?0的直徑，而ZMQN=90°,???點(diǎn)Q在?0上,AQ為直徑，?點(diǎn)P在圓心，MN=AQ=2，AP=1，t=AP=1，CQ=t=1，AC=AQ+CQ=2+1=3．如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,以邊上AC上一點(diǎn)0為圓心,0A為半徑作?0,?0恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D,并與邊AC相交于另一點(diǎn)F.（1）求證：BD是?0的切線；（2）若BC=2七,E是半圓出GF上一動點(diǎn)，連接AE、AD、DE.填空：①當(dāng)AE的長度是|~n時(shí)，四邊形ABDE是菱形;時(shí)，A時(shí)，AADE是直角三角形.【解答】（1）證明：連接0D,如圖,VZBAC=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),?DB=DA=DC，VZB=60°，

???△ABD為等邊三角形，??.ZDAB=ZADB=60°,ZDAC=ZC=30°,而OA=OD，??.ZODA=ZOAD=30°,??.ZODB=60°+30°=90°,OD丄BC,BD是?O的切線；(2)解：①?「△ABD為等邊三角形，??.AB=BD=AD=CD=方，在Rt^ODC中,OD=#CD=1,當(dāng)DE〃AB時(shí)，DE丄AC,?AD=AE,VZADE=ZBAD=60°,??△ade為等邊三角形，??.AD=AE=DE,ZADE=60°,??.ZAOE=2ZADE=120°,?AB=BD=DE=AE,?四邊形ABDE為菱形TOC\o"1-5"\h\z此時(shí)AE的長度= =2n；180 3②當(dāng)ZADE=90°時(shí)，AE為直徑，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)AE的長度= =n；180當(dāng)ZDAE=90°時(shí)，DE為直徑，ZAOE=2ZADE=60°,此時(shí)AE的長度= =丄兀,180 3n.所以當(dāng)AE的長度為寺n或n時(shí)，^ADE是直角三角形.故答案為Zn；丄nn.3 3

14.如圖，點(diǎn)A,B,C分別是?0上的點(diǎn)，且ZB=60°,CD是?0的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn)，且AP=AC．（1）求證：AP是?0的切線；（2）若AC=3，填空：①當(dāng)BC的長為豐兀時(shí)，以A，C，B，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形;時(shí)，AABC的面積最大，最大面積為時(shí)，AABC的面積最大，最大面積為解答】（1）證明：連接0A．VZB=60°，.\ZAOC=2ZB=120°，又V0A=0C，??.ZACP=ZCAO=30°,??.ZAOP=60°，vap=ac，.\ZP=ZACP=30°，??.ZOAP=90°，???0A丄AP，???AP是?0的切線,

(2)①連接AD,TZADC=ZB=60°,CD是直徑,???ZDAC=90°,TAC=3,?°?AD=3，CD=2.：3，0C=..3，當(dāng)AB是直徑時(shí)，四邊形ADBC是矩形，此時(shí)EC= =n.180 3②VZB=60°,???當(dāng)BA=BC時(shí)，AABC的面積最大，此時(shí)AABC是等邊三角形,?命_120兀?翻=麗n,S合bc=^X32=15.四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)E,且AE=EC,BE=ED，以AB為直徑的半圓過點(diǎn)E,圓心為0.（1） 利用圖1,求證：四邊形ABCD是菱形.（2） 如圖2,若CD的延長線與半圓相切于點(diǎn)F,且直徑AB=8.厶ABD的面積為16 .BE的長Zn.一3—CFDCAB0B0CFDCAB0B0【解答】解：（1）VAE=EC,BE=ED,???四邊形ABCD是平行四邊形.TAB為直徑，且過點(diǎn)E,

??.ZAEB=90°,即AC丄BD.???四邊形ABCD是平行四邊形,???四邊形ABCD是菱形.(2)①連結(jié)OF(2)①連結(jié)OF.A 0EEVCD的延長線與半圓相切于點(diǎn)VCD的延長線與半圓相切于點(diǎn)F,???0F丄CF.VFC〃AB,???0F即為△ABD中AB邊上的高..??S^bd專ABXOF專X8X4=16,V點(diǎn)0是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),…S…S^obe^[S^abd=4.②過點(diǎn)D作DH丄AB于點(diǎn)H.VAB〃CD,OF丄CF,???F0丄AB,.\ZF=ZFOB=ZDHO=90°.???四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4.V在Rt^DAH中，sinZDAB==,AD2???ZDAH=30°.V點(diǎn)0,E分別為AB,BD中點(diǎn)，??.OE〃AD,.\ZEOB=ZDAH=30°,???BE的長度= =—n.180 3故答案為：16,￡n.16.在圓0中，AC是圓的弦，AB是圓的直徑，AB=6,ZABC=30°,過點(diǎn)C作圓的切線交BA的延長線于點(diǎn)P,連接BC.（1）求證：△PACs^PCB；（2）點(diǎn)Q在半圓ADB上運(yùn)動，填空：①當(dāng)AQ=3衛(wèi)時(shí),四邊形AQBC的面積最大；②當(dāng)AQ=3或3方時(shí)，AABC與厶ABQ全等.【解答】（1）證明：如圖1所示，連接0C.PC是圓0的切線，0C是半徑，???0C丄PC，??.ZPCO=90°??.ZPCA+ZACO=90°，VAB是直徑，??.ZACB=90°，.\ZB+ZCAB=90°，0C=0A，.\Z0AC=Z0CA，.\ZB+Z0CA=90°，.\ZPCA=ZB，又VZP=ZP，.?.△PACs^PCB；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到0Q丄AB時(shí)，四邊形AQBC的面積最大;如圖2所示：連接AQ、BQ，V0A=0B，0Q丄AB，?0Q=BQ，AB是直徑，???ZAQB=90°,???△ABQ是等腰直角三角形，??.AQ=￥aB=3?.邁,故答案為：3?:2;②如圖3所示：???ZACB=90°,ZABC=30°,??.AC=*AB=3,BC=i￡aC=3iE,分兩種情況：a.當(dāng)AQ=AC=3時(shí)，在Rt^ABC和Rt^ABQ中，粗處(AC=AQ.?△abc^^abq(hl)；b.當(dāng)AQ=BC=3i弓時(shí)，同理△ABC^^BAQ；綜上所述：當(dāng)AQ=3或3?沱時(shí)，AABC與厶ABQ全等.如圖，AB是?0的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一動點(diǎn)（不與A,C重合），過點(diǎn)P作PE丄AB,垂足為E,射線EP交AC于點(diǎn)F,交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D.（1） 求證：DC=DP；（2） 若直徑AB=12cm,ZCAB=30°,當(dāng)E是半徑OA中點(diǎn)時(shí)，切線長DC=4三cm：當(dāng)AE=3cm時(shí)，以A,O,C,F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.【解答】解：(1)連接OC．TCD是?0的切線，???ZOCD=90°,0A=0C,.\Z0AC=Z0CA,PE丄AB,??.ZPEA=90°,??.ZOAC+ZAPE=90°,ZOCA+ZPCD=90°,.\ZAPE=ZPCD,VZAPE=ZCPD,???ZPCD=ZCPD,?DC=DP．(2)①連接BC,AB是直徑,??.ZACB=90°VZA=30°,AB=12,VAC二ABcos30°=6Tp,在Rt^APE中，TAE=*0A=3,???AP=AEFcos30°=2..虧,???PC=AC-AP=4丙,VZAPE=ZDPC=60°,DP=DC,???△DPC是等邊三角形，???DC=4..虧,故答案為4丙?②當(dāng)AE=E0時(shí)，四邊形A0CF是菱形理由：連接AF、0F．VAE=EO,FE丄0A,FA=F0=0A,???△AFO是等邊三角形，.?ZFAO=60°,VZCAB=30°,ZFAC=30°,ZFOC=2ZFAC=60°,△FOC是等邊三角形，CF=CO=OA=AF，?四邊形AOCF是菱形，AE=3cm時(shí)，四邊形AECF是菱形.如圖，①O的直徑AB=4,點(diǎn)C為?O上的一個(gè)動點(diǎn)，連接OC,過點(diǎn)A作?O的切線，與BC的延長線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接CE.（1）求證：CE是?0的切線；(2)填空：①當(dāng)CE=2時(shí)，四邊形AOCE為正方形;【解答】(1)證明：連接AC、OE，如圖(1),VAB為直徑，??.ZACB=90°,???△ACD為直角三角形，又TE為AD的中點(diǎn)，EA=EC，在厶OCE和△OAE中，'0C=0A”0E=0E，lEC=EA.?△OCE^^OAE(sss)，.?ZOCE=ZOAE=90°，CE丄OC，CE是?O的切線；(2)解：①C在線段BD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AOCE為正方形.理由如下:當(dāng)C為邊BD的中點(diǎn)，而E為AD的中點(diǎn)，?ce為Abad的中位線，??.CE〃AB，CE專AB=OA，???四邊形OAEC為平行四邊形，VZOAE=90°，???平行四邊形OCEA是矩形，又VOA=OC，???矩形OCEA是正方形，

??.CE=0A=2,故答案為：2②連接AC,如圖（2）,?「△CDE為等邊三角形,??.ZD=60°,ZABD=30°,CE=CD,在Rt^ABC中，AC=^AB=2,在