方波信號的傅里葉變換

圖4.2方波信號的傅里葉級數例4―1試將圖4.2所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數。方波信號f(t)展開為傅里葉級數目前一頁\總數八十三頁\編于九點

解我們將信號按式(4―6)分解成傅里葉級數,并按式(4―7)、(4―8)、(4―9)分別計算an,

bn及c。目前二頁\總數八十三頁\編于九點目前三頁\總數八十三頁\編于九點目前四頁\總數八十三頁\編于九點例3.3-1試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。

解f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為f(t)的傅里葉級數展開式。據可知，其基波頻率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分別為二、三、六次諧波頻率。且有振幅譜和相位譜例題目前五頁\總數八十三頁\編于九點其余目前六頁\總數八十三頁\編于九點圖3.3-1例3.3-1信號的頻譜振幅譜；

(b)相位譜目前七頁\總數八十三頁\編于九點圖3.3-2例3.3-1信號的雙邊頻譜(a)振幅譜；(b)相位譜目前八頁\總數八十三頁\編于九點例3.4-2

求指數函數f(t)的頻譜函數。圖3.4-2單邊指數函數e-αt及其頻譜(a)單邊指數函數e-αt;(b)e-αt的幅度譜單邊指數函數f(t)的頻譜函數目前九頁\總數八十三頁\編于九點其振幅頻譜及相位頻譜分別為解目前十頁\總數八十三頁\編于九點(4―41)(4―40)單邊指數信號的頻譜例4―4求單邊指數信號的頻譜。解單邊指數信號是指目前十一頁\總數八十三頁\編于九點圖4.7單邊指數信號及其頻譜目前十二頁\總數八十三頁\編于九點例3.4-3

求圖3.4-3(a)所示雙邊指數函數的頻譜函數。偶對稱雙邊指數函數的頻譜函數目前十三頁\總數八十三頁\編于九點圖3.4-3雙邊指數函數及其頻譜(a)雙邊指數函數；(b)頻譜目前十四頁\總數八十三頁\編于九點(4―42)從頻譜函數的定義式出發(fā)(4―43)例4―5求雙邊指數信號的頻譜。解雙邊指數信號是指偶對稱雙邊指數信號的頻譜目前十五頁\總數八十三頁\編于九點圖4.8雙邊指數信號及其頻譜目前十六頁\總數八十三頁\編于九點例3.4-4

求圖3.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數。圖3.4-4例3.4-4圖(a)信號f(t);(b)頻譜奇對稱雙邊指數函數的頻譜函數目前十七頁\總數八十三頁\編于九點(a>0)解圖示信號f(t)可表示為目前十八頁\總數八十三頁\編于九點

例3.4-1

圖3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數。其寬度為τ，高度為1，通常用符號gτ(t)來表示。試求其頻譜函數。解門函數gτ(t)可表示為門函數的頻譜函數目前十九頁\總數八十三頁\編于九點圖3.4-1門函數及其頻譜(a)門函數；(b)門函數的頻譜；(c)幅度譜；(d)相位譜目前二十頁\總數八十三頁\編于九點

圖4.6矩形脈沖信號及其頻譜矩形脈沖信號gτ(t)的頻譜例4―3求矩形脈沖信號gτ(t)的頻譜。目前二十一頁\總數八十三頁\編于九點(4―36)gτ(t)的傅里葉變換為(4―37)(4―38)(4―39)解矩形脈沖信號gτ(t)是一個如圖4.6（a）所示的門函數。其定義為目前二十二頁\總數八十三頁\編于九點例3.4-5

求單位沖激函數δ(t)的頻譜函數。圖3.4-5信號δ(t)及其頻譜(a)單位沖激信號δ(t);(b)δ(t)的頻譜δ(t)的頻譜函數目前二十三頁\總數八十三頁\編于九點解可見，沖激函數δ(t)的頻譜是常數1。也就是說，δ(t)中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。顯然，信號δ(t)實際上是無法實現的。目前二十四頁\總數八十三頁\編于九點根據分配函數關于δ(t)的定義，有目前二十五頁\總數八十三頁\編于九點(4―34)(4―35)沖激信號δ(t)的頻譜例4―2求沖激信號δ(t)的頻譜。解由頻譜函數的定義式有目前二十六頁\總數八十三頁\編于九點

圖4.5沖激信號及其頻譜目前二十七頁\總數八十三頁\編于九點(4―75)移位沖激函數δ(t-t0)的頻譜函數例4―12求移位沖激函數δ(t-t0)的頻譜函數。解由于已知沖激函數δ(t)的頻譜函數為1,求移位沖激函數δ(t-t0)的頻譜函數，此時可利用傅里葉變換的時移特性式(4―74)。目前二十八頁\總數八十三頁\編于九點例3.4-6

求直流信號1的頻譜函數。圖3.4-6

直流信號f(t)及其頻譜(a)直流信號f(t);(b)頻譜直流信號1的頻譜函數目前二十九頁\總數八十三頁\編于九點解直流信號1可表示為目前三十頁\總數八十三頁\編于九點(4―45)(4―46)例4―6求單位直流信號的頻譜。解幅度為1的單位直流信號可表示為

f(t)=1,-∞<t<∞(4―44)

它可以看作是雙邊指數信號在α取極限趨近0時的一個特例,即單位直流信號的頻譜目前三十一頁\總數八十三頁\編于九點(4―47)(4―48)(4―49)目前三十二頁\總數八十三頁\編于九點圖4.9單位直流信號及其頻譜目前三十三頁\總數八十三頁\編于九點例3.4-7

求符號函數Sgn(t)的頻譜函數?？疾炖?.4-4所示信號f(t)符號函數Sgn(t)的頻譜函數目前三十四頁\總數八十三頁\編于九點當α→0時，其極限為符號函數Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數F(jω)當α→0的極限的方法來求得Sgn(t)的頻譜函數。例3.4-4

所示信號的頻譜函數為 ，從而有目前三十五頁\總數八十三頁\編于九點圖3.4-7

符號函數Sgn(t)及其頻譜(a)Sgn(t)的波形；(b)頻譜目前三十六頁\總數八十三頁\編于九點(4―50)符號函數的頻譜例4―7求符號函數的頻譜。解符號函數簡記為sgn(t),它的定義為目前三十七頁\總數八十三頁\編于九點圖4.10符號函數及其頻譜目前三十八頁\總數八十三頁\編于九點(其中α>0)(4-51)符號函數sgn(t)也可看作是下述函數在α取極限趨近0時的一個特例:目前三十九頁\總數八十三頁\編于九點例3.4-8

求階躍函數ε(t)的頻譜函數。由階躍函數ε(t)的波形容易得到解從而就可更為方便地求出ε(t)的頻譜函數，即階躍函數ε(t)的頻譜函數目前四十頁\總數八十三頁\編于九點圖3.4-8階躍函數及其頻譜(a)ε(t)的波形；(b)頻譜目前四十一頁\總數八十三頁\編于九點例3.5-1

求圖3.5-1(a)所示信號的頻譜函數。圖3.5-1例3.5-1的圖(a)f(t)的波形；(b)相位譜門(平移后)信號的頻譜函數目前四十二頁\總數八十三頁\編于九點解目前四十三頁\總數八十三頁\編于九點例4―11已知求gτ(2t)的頻譜函數解根據傅里葉變換的尺度變換性質,gτ(2t)的頻譜函數為尺度變換求頻譜目前四十四頁\總數八十三頁\編于九點

圖4.13尺度變換目前四十五頁\總數八十三頁\編于九點圖4.11單邊指數信號及其頻譜例4―9利用奇偶虛實性求圖4.11單邊指數信號f(t)=2e-αtu(t)的頻譜。利用奇偶虛實性求頻譜目前四十六頁\總數八十三頁\編于九點

解從波形圖（a）上可見,單邊指數信號f(t)是非偶非奇函數,但可分解為如圖（b）,（c）所示的偶函數和奇函數兩部分,見下式。

f(t)=2e-αtu(t)=fe(t)+fo(t)其中目前四十七頁\總數八十三頁\編于九點目前四十八頁\總數八十三頁\編于九點

例3.5-2

求高頻脈沖信號f(t)(圖3.5-2(a))的頻譜。圖3.5-2高頻脈沖信號及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)頻譜高頻脈沖信號f(t)的頻譜目前四十九頁\總數八十三頁\編于九點

解圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號f(t)可以表述為門函數gτ(t)與cosω0t相乘，即目前五十頁\總數八十三頁\編于九點例4―13求高頻脈沖信號p(t)=gτ(t)·cosω0t的頻譜函數解由于高頻脈沖信號的頻譜函數目前五十一頁\總數八十三頁\編于九點故有根據頻移特性有目前五十二頁\總數八十三頁\編于九點

圖4.14頻移特性目前五十三頁\總數八十三頁\編于九點

例3.5-4

求圖3.5-5(a)所示梯形信號f(t)的頻譜函數。解若直接按定義求圖示信號的頻譜，會遇到形如te-jωt的繁復積分求解問題。而利用時域積分性質，則很容易求解。將f(t)求導，得到圖3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導，得到圖3.5-5(c)所示的f2(t)，顯然有梯形信號f(t)的頻譜函數目前五十四頁\總數八十三頁\編于九點圖3.5-5梯形信號及其求導的波形目前五十五頁\總數八十三頁\編于九點據時移性質有目前五十六頁\總數八十三頁\編于九點目前五十七頁\總數八十三頁\編于九點圖3.5-6另一種梯形信號目前五十八頁\總數八十三頁\編于九點

圖4.15梯形脈沖的傅里葉變換梯形脈沖的傅里葉變換例4―14求圖4.15所示梯形脈沖的傅里葉變換。目前五十九頁\總數八十三頁\編于九點解梯形脈沖可看作是兩個不同寬度的矩形脈沖

f1(t)與f2(t)的卷積，如圖4.15所示。

f(t)=f1(t)*f2(t)

而矩形脈沖的傅里葉變換已在例4―3中求出,具體來說目前六十頁\總數八十三頁\編于九點圖4.16半波正弦脈沖目前六十一頁\總數八十三頁\編于九點圖4.17三角形脈沖及其一、二街導的波形目前六十二頁\總數八十三頁\編于九點例3.6-1

求圖3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數F(jω)。圖3.6-1

周期矩形脈沖信號及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)復振幅Fn;(c)頻譜函數F(jω)周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數目前六十三頁\總數八十三頁\編于九點解周期矩形脈沖f(t)的復振幅Fn為目前六十四頁\總數八十三頁\編于九點

例3.6-2

圖3.6-2(a)為周期沖激函數序列δT(t)，其周期為T，δT(t)可表示為

m為整數圖3.6-2周期沖激序列及其頻譜周期沖激函數序列δT(t)的頻譜目前六十五頁\總數八十三頁\編于九點解先求δT(t)的復振幅Fn：目前六十六頁\總數八十三頁\編于九點

設一周期信號fT(t)，其周期為T，fT(t)中位于第一個周期的信號若為fa(t)，則不難得到目前六十七頁\總數八十三頁\編于九點已經知道目前六十八頁\總數八十三頁\編于九點

例3.8-1

已知激勵信號f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，試求圖3.8-1所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應uCf(t)。圖3.8-1例3.8-1的圖用頻域分析法求響應目前六十九頁\總數八十三頁\編于九點目前七十頁\總數八十三頁\編于九點

注意到δ(ω)的取樣性質，并為了較方便地求得UCf(jω)的逆變換，將UCf(jω)按如下形式整理:目前七十一頁\總數八十三頁\編于九點

圖4.19

例4―20如圖4.19所示,試分析單位階躍信號u(t)通過RC高通網絡傳輸后的波形。用頻域法求響應目前七十二頁\總數八十三頁\編于九點則按H(ω)的定義有對于單位階躍信號u(t)而言,此時

解顯然,當輸入信號uS(t)為復指數信號ejωt時,如圖有目前七十三頁\總數八十三頁\編于九點最后一步考慮了沖激函數的取樣性質。因此目前七十四頁\總數八十三頁\編